2012年全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案.doc

2012年全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案一、選擇題：共8小題，每題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定的位置上。1、曲線漸近線的條數(shù)（ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。解：（C）：，可得有一條水平漸近線；，可得有一條鉛直漸近線；，可得不是鉛直漸近線，故答案為（C）。2、設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。解：（A）：；則。故答案為（A）。3如果函數(shù)在處連續(xù)，那么下列例題正確的是（ ）（A）若極限存在，則在處可微；（B）若極限存在，則在處可微；（C）若在處可微，則極限存在；（D）若在處可微，則極限存在。解：（B）：在處連續(xù)：對(duì)（A）：令，可得，則不存在，同理得也不存在，故（A）錯(cuò)；對(duì)（B）：令，可得，同理，則由微分定義可得在處可微，故答案為（B）；對(duì)（C）和（D）：在處可微，可知在處偏導(dǎo)，即， 則，顯然極限不存在，同理，顯然極限不存在，故（C）和（D）選項(xiàng)錯(cuò)誤。4、設(shè)，則有（ ）（A）；（B）；（C）；（D）解：（A）：方法一：令，則，可得在上嚴(yán)格單調(diào)增加，可得，故答案為（A）；方法二：由定積分的幾何意可得，故答案為（A）。5、設(shè)，其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。解：（C）：，故線性相關(guān)，可得答案為（C）。6、設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，則（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。解：（B）：，可得，故答案為（B）。7、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1和參數(shù)為4的指數(shù)分布，則（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。解：（A）：由題意得與的概率密度分別為和，由與相互獨(dú)立，可得，則，故答案為（A）。8、將長(zhǎng)度為的木棒隨機(jī)的截成兩段，則兩段長(zhǎng)度的相關(guān)系數(shù)為（ ）（A）1； （B）； （C）； （D）。解：（D）：設(shè)兩段長(zhǎng)度分別為和，則，可得相關(guān)系為，故答案為（D）。二、填空題：9-14，共6題，滿(mǎn)分24分請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定的位置上。9、若函數(shù)滿(mǎn)足方程及，則 。解：的特征方程為解得，可得通解為：，代入得，可得。故可得答案為。10、 。解：，令，可得由對(duì)稱(chēng)性得，再令可得。11、 。解：或：令，則，可得。12、已知曲面，則 。解：由曲面可得，向面投影，可得，則。13、設(shè)為三維單位向量，為階單位矩陣，則矩陣的秩為 。解：因?yàn)闉槿S單位向量，則，且，可得的特征值為，故的特征值為，且這實(shí)對(duì)稱(chēng)矩，必可對(duì)角化，其秩等于非零特征值的個(gè)數(shù)。14設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，則 。解：，而，互不相容可得，可得。三、解答題：15-23，共9題，共94分，將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。15（本題10分）、證明：，其中。證明：令，當(dāng)時(shí)，可導(dǎo)，且（1）當(dāng)時(shí)，顯然，則可得當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，可得；（2）當(dāng)時(shí)，顯然可得當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，可得；由（1）和（2）可得當(dāng)時(shí)，。16（本題10分）、求的極值。解：先求函數(shù)的駐點(diǎn)，可得駐點(diǎn)為；又所以，可得，而，故可得在點(diǎn)處取得極大值。17（本題10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解：，可得當(dāng)，可得級(jí)數(shù)，顯然發(fā)散，故收斂域?yàn)椋?；，可得，即；，可得，可得，可得?dāng)時(shí)，則。18（本題10分）、已知曲線，其中有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，若曲線的切線與軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，求的表達(dá)式，并求此曲線與軸、軸無(wú)邊界區(qū)域的面積。解：（1）設(shè)為上的任意一點(diǎn)，可得切線斜率為，可得過(guò)點(diǎn)的切線方程為，令，可得，由于曲線的切線與軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，故有化簡(jiǎn)得，解得，代入得，則，；（2）曲線與軸、軸無(wú)邊界區(qū)域的面積為：。19（本題10分）、計(jì)算曲線積分，其中是第一象限中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn)，再沿圓周到點(diǎn)曲線段。 解：圓周為圓，圓周為圓，補(bǔ)一直線段，令顯然在、和所圍閉區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，且取為正方向，由格林公式可得。20（本題11分）設(shè)。（1）求；（2）已知線性方程組有無(wú)窮解，求，并求的通解。解：（1）；（2）要使方程組有無(wú)窮解，則必有解得，則可得的同解方程組為，可得的通解為。21（本題11分）三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，已知，且二次型。（1）求；（2）求二次型對(duì)應(yīng)二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫(xiě)出正交變換過(guò)程。解：（1），由得，解得；（2）當(dāng)，則解得； 當(dāng)時(shí)，與同解，可得特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，則與同解，可得特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量為；時(shí)，與同解，可得特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量為；令，可得。22（本題11分）已知隨機(jī)變量及分布律如下，求（1）；（2）與解：（1），；（2），而，其中，可得；，可得；，從而可得相關(guān)系數(shù)。23（本題11分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且分別服從正態(tài)分布與，其中是求知參數(shù)，設(shè)。（1）求的概率密度；（2）設(shè)是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)量；（3）證明是的無(wú)偏估計(jì)量。解：（1）與相互獨(dú)立，且與，也服從正態(tài)分布，且，則的概率密度；（2）設(shè)是樣本所對(duì)應(yīng)的一個(gè)樣本值，則樣本的最大似然函數(shù)為，令，解得最大似然估計(jì)值為，從而可得最大似然估計(jì)量為；（3），即可以證得是的無(wú)偏估計(jì)量。