2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（一）

2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（一）例1 觀察下面由點(diǎn)組成的圖形（點(diǎn)群），請回答：（1）方框內(nèi)的點(diǎn)群包含多少個點(diǎn)？（2）第（10）個點(diǎn)群中包含多少個點(diǎn)？（3）前十個點(diǎn)群中，所有點(diǎn)的總數(shù)是多少？解：數(shù)一數(shù)可知：前四個點(diǎn)群中包含的點(diǎn)數(shù)分別是：1，4，7，10?？梢?，這是一個等差數(shù)列，在每相鄰的兩個數(shù)中，后一個數(shù)都比前一個數(shù)大3（即公差是3）。（1）因?yàn)榉娇騼?nèi)應(yīng)是第（5）個點(diǎn)群，它的點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是10+3=13（個）。（2）列表，依次寫出各點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)，可知第（10）個點(diǎn)群包含有28個點(diǎn)。（3）前十個點(diǎn)群，所有點(diǎn)的總數(shù)是：1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（個）例2 圖62表示“寶塔”，它們的層數(shù)不同，但都是由一樣大的小三角形擺成的。仔細(xì)觀察后，請你回答：（1）五層的“寶塔”的最下層包含多少個小三角形？（2）整個五層“寶塔”一共包含多少個小三角形？（3） 從第（1）到第（10）的十個“寶塔”，共包含多少個小三角形？解：（1）數(shù)一數(shù)“寶塔”每層包含的小三角形數(shù)：可見1，3，5，7是個奇數(shù)列，所以由這個規(guī)律猜出第五層應(yīng)包含的小三角形是9個。（2）整個五層塔共包含的小三角形個數(shù)是：1+3+5+7+9=25（個）。（3）每個“寶塔”所包含的小三角形數(shù)可列表如下：由此發(fā)現(xiàn)從第（1）到第（10）共十個“寶塔”所包含的小三角形數(shù)是從1開始的自然數(shù)平方數(shù)列前十項(xiàng)之和：例3 下面的圖形表示由一些方磚堆起來的“寶塔”。仔細(xì)觀察后，請你回答：（1）從上往下數(shù)，第五層包含幾塊磚？（2）整個五層的“寶塔”共包含多少塊磚？（3）若另有一座這樣的十層寶塔，共包含多少塊磚？解：（1）數(shù)一數(shù)，“寶塔”每層包含的方磚塊數(shù)：可見各層的方磚塊數(shù)組成自然數(shù)平方數(shù)列，按此規(guī)律，第五層應(yīng)包含的方磚塊數(shù)是：5×5=25（塊）。（2）整個五層“寶塔”共包含的方磚塊數(shù)應(yīng)是從1開始的前五個自然數(shù)的平方數(shù)相加之和，即：1+4+9+16+25=55（塊）。（3）根據(jù)上面得到的規(guī)律，可求出十層寶塔所包含的方磚的塊數(shù)：附送：2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（三）數(shù)學(xué)家看問題，總想找規(guī)律.我們學(xué)數(shù)學(xué)，也要向他們學(xué)習(xí)。找規(guī)律，要從簡單的情況著手，仔細(xì)觀察，得到啟示，大膽猜想，找出一般規(guī)律，還要進(jìn)行驗(yàn)證，最后還需要證明（在小學(xué)階段不要求同學(xué)們進(jìn)行證明）。例1 沿直尺的邊緣把紙上的兩個點(diǎn)連起來，這個圖形就叫做線段。這兩個點(diǎn)就叫線段的端點(diǎn)，如圖811所示。不難看出，線段也可以看成是直線上兩點(diǎn)間的部分。如果一條直線上標(biāo)出11個點(diǎn)，如圖812所示，任何兩點(diǎn)間的部分都是一條線段，問共有多少條線段。解：先從簡單的情況著手。（1）畫一畫，數(shù)一數(shù)：（見圖813）（2）試著分析：2個點(diǎn)，線段條數(shù)：1=13個點(diǎn)，線段條數(shù)：3=2+14個點(diǎn)，線段條數(shù)：6=3+2+15個點(diǎn)，線段條數(shù)：10=4+3+2+1（3）大膽猜想：一條直線上有若干點(diǎn)時線段的條數(shù)總是從1開始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比點(diǎn)數(shù)小1。（4）進(jìn)行驗(yàn)證：對于更多點(diǎn)的情況，對猜想進(jìn)行驗(yàn)證，看猜想是否正確，如果正確，就增加了對猜想的信心。如：6個點(diǎn)時：對不對？對。見圖 814。線段條數(shù)：5+4+3+2+1=15（條）。（5）應(yīng)用規(guī)律：應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問題。當(dāng)直線上有11個點(diǎn)時，線段的條數(shù)應(yīng)是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（條）。例2 如圖82中（1）（5）所示兩條直線相交只有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個交點(diǎn)，那么，11條直線相交最多有多少交點(diǎn)？解：從簡單情況著手研究：（1）畫一畫、數(shù)一數(shù)圖8-2（2）試著分析：直線條數(shù) 最多交點(diǎn)數(shù)1 02 1=13 3=2+14 6=3+2+15 10=4+3+2+1（3）大膽猜想：若干條直線相交時，最多的交點(diǎn)數(shù)是從1開始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比直線條數(shù)小1。（4）進(jìn)行驗(yàn)證：見圖83。取6條直線相交，畫一畫，數(shù)一數(shù)，看一看最多交點(diǎn)個數(shù)與猜想的是否一致，若相符，則更增強(qiáng)了對猜想的信心。用猜想的算法進(jìn)行計算：最多交點(diǎn)數(shù)應(yīng)是5+4+3+2+1=15（個）。（5）應(yīng)用規(guī)律：應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問題。當(dāng)有11條直線相交時，最多的交點(diǎn)數(shù)應(yīng)是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（個）。例3 如圖84所示，一張大餅，切1刀最多切成2塊，切2刀最多切成4塊，切3刀最多切成7塊，問切10刀最多切成多少塊？解：從最簡單情況著手研究。（1）畫一畫、數(shù)一數(shù)（2）試著分析：所切刀數(shù) 切出的塊數(shù)0 11 2=1+12 4=1+1+23 7=1+1+2+34 11=1+1+2+3+4（3）大膽猜想：把一張大餅切若干刀時，切成的最多塊數(shù)等于從1開始的一串自然數(shù)相加之和加1。其中最大的自然數(shù)等于切的刀數(shù)。（4）進(jìn)行驗(yàn)證：見圖85對大餅切5刀的情況用兩種方法求解，看結(jié)果是否一致，若一致則更增強(qiáng)了對猜想的信心。數(shù)一數(shù)：16塊。算一算：1+1+2+3+4+5=16（塊）。（5）應(yīng)用規(guī)律：把大餅切10刀時，最多切成的塊數(shù)是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+55=56（塊）。