2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律法

2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律法觀察、搜集已知事實(shí)，從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的線索，用以探索未知事件的奧秘，是人類(lèi)智力活動(dòng)的主要內(nèi)容。數(shù)學(xué)上有很多材料可用以來(lái)模擬這種活動(dòng)、培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。例1 觀察數(shù)列的前面幾項(xiàng)，找出規(guī)律，寫(xiě)出該數(shù)列的第100項(xiàng)來(lái)？12345，23451，34512，45123，解：為了尋找規(guī)律，再多寫(xiě)出幾項(xiàng)出來(lái)，并給以編號(hào)：仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的第6項(xiàng)同第1項(xiàng)，第7項(xiàng)同第2項(xiàng)，第8項(xiàng)同第3項(xiàng)，也就是說(shuō)該數(shù)列各項(xiàng)的出現(xiàn)具有周期性，他們是循環(huán)出現(xiàn)的，一個(gè)循環(huán)節(jié)包含5項(xiàng)。100÷5=20。可見(jiàn)第100項(xiàng)與第5項(xiàng)、第10項(xiàng)一樣（項(xiàng)數(shù)都能被5整除），即第100項(xiàng)是51234。例2 把寫(xiě)上1到100這100個(gè)號(hào)碼的牌子，像下面那樣依次分發(fā)給四個(gè)人，你知道第73號(hào)牌子會(huì)落到誰(shuí)的手里？解：仔細(xì)觀察，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：分給小明的牌子號(hào)碼是1，5，9，13，號(hào)碼除以4余1；分給小英的牌子號(hào)碼是2，6，10，14，號(hào)碼除以4余2；分給小方的牌子號(hào)碼是3，7，11，號(hào)碼除以4余3；分給小軍的牌子號(hào)碼是4，8，12，號(hào)碼除以4余0（整除）。因此，試用4除73看看余幾？73÷4=18余 1可見(jiàn)73號(hào)牌會(huì)落到小明的手里。這就是運(yùn)用了如下的規(guī)律：用這種規(guī)律預(yù)測(cè)第幾號(hào)牌子發(fā)給誰(shuí)，是很容易的，請(qǐng)同學(xué)們自己再試一試。例3 四個(gè)小動(dòng)物換位，開(kāi)始小鼠、小猴、小兔和小貓分別坐在1、2、3、4號(hào)位子上（如下圖所示）。第一次它們上下兩排換位，第二次左右換位，第三次又上下交換，第四次左右交換。這樣一直交換下去，問(wèn)十次換位后，小兔坐在第幾號(hào)座位上？解：為了能找出變化規(guī)律，再接著寫(xiě)出幾次換位情況，見(jiàn)下圖。盯住小兔的位置進(jìn)行觀察：第一次換位后，它到了第1號(hào)位；第二次換位后，它到了第2號(hào)位；第三次換位后，它到了第4號(hào)位；第四次換位后，它到了第3號(hào)位；第五次換位后，它又到了第1號(hào)位；可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過(guò)四次換位后，小兔又回到了原來(lái)的位置，利用這個(gè)規(guī)律以及10÷4=2余2，可知：第十次換位后，小兔的座位同第二次換位后的位置一樣，即在第二號(hào)位。如果再仔細(xì)地把換位圖連續(xù)起來(lái)研究研究，可以發(fā)現(xiàn)，隨著一次次地交換，小兔的座位按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，小鼠的座位按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，小猴的座位按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，小貓的座位按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，按這個(gè)規(guī)律也可以預(yù)測(cè)任何小動(dòng)物在交換幾次后的座位。例4 從1開(kāi)始，每隔兩個(gè)數(shù)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)，得到一列數(shù)，求這列數(shù)的第100個(gè)數(shù)是多少？1，4，7，10，13，解：不難看出，這是一個(gè)等差數(shù)列，它的后一項(xiàng)都比相鄰的前一項(xiàng)大3，即公差=3，還可以發(fā)現(xiàn)：第2項(xiàng)等于第1項(xiàng)加1個(gè)公差即4=1+1×3。第3項(xiàng)等于第1項(xiàng)加2個(gè)公差即7=1+2×3。第4項(xiàng)等于第1項(xiàng)加3個(gè)公差即10=1+3×3。第5項(xiàng)等于第1項(xiàng)加4個(gè)公差即13=1+4×3?？梢?jiàn)第n項(xiàng)等于第1項(xiàng)加（n-1）個(gè)公差，即按這個(gè)規(guī)律，可求出：第100項(xiàng)=1+（100-1）×3=1+99×3=298。例5 畫(huà)圖游戲先畫(huà)第一代，一個(gè)，再畫(huà)第二代，在下面畫(huà)出兩條線段，在一條線段的末端又畫(huà)一個(gè)，在另一條的末端畫(huà)一個(gè)；畫(huà)第三代，在第二代的下面又畫(huà)出兩條線段，一條末端畫(huà)，另一條末端畫(huà)；而在第二代的的下面畫(huà)一條線，線的末端再畫(huà)一個(gè)；一直照此畫(huà)下去（見(jiàn)下圖），問(wèn)第十次的和共有多少個(gè)？解：按著畫(huà)圖規(guī)則繼續(xù)畫(huà)出幾代，以便于觀察，以期從中找出圖形的生成規(guī)律，見(jiàn)下圖。數(shù)一數(shù)，各代的圖形（包括和）的個(gè)數(shù)列成下表：可以發(fā)現(xiàn)各代圖形個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的生成規(guī)律是，從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)之和。按此規(guī)律接著把數(shù)列寫(xiě)下去，可得出第十代的和共有89個(gè)（見(jiàn)下表）：這就是著名的裴波那契數(shù)列。裴波那契是意大利的數(shù)學(xué)家，他生活在距今大約七百多年以前的時(shí)代。例6 如下圖所示，5個(gè)大小不等的中心有孔的圓盤(pán)，按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構(gòu)成了一座圓盤(pán)塔?，F(xiàn)在要把這座圓盤(pán)塔移到另一個(gè)木樁上。規(guī)定移動(dòng)時(shí)要遵守一個(gè)條件，每搬一次只許拿一個(gè)圓盤(pán)而且任何時(shí)候大圓盤(pán)都不能壓住小圓盤(pán)。假如還有第三個(gè)木樁可作臨時(shí)存放圓盤(pán)之用。問(wèn)把這5個(gè)圓盤(pán)全部移到另一個(gè)木樁上至少需要搬動(dòng)多少次？（下圖所示）解：先從最簡(jiǎn)單情形試起。當(dāng)僅有一個(gè)圓盤(pán)時(shí)，顯然只需搬動(dòng)一次（見(jiàn)下頁(yè)圖）。當(dāng)有兩個(gè)圓盤(pán)時(shí)，只需搬動(dòng)3次（見(jiàn)下圖）。當(dāng)有三個(gè)圓盤(pán)時(shí)，需要搬動(dòng)7次（見(jiàn)下頁(yè)圖）。總結(jié)，找規(guī)律：當(dāng)僅有一個(gè)圓盤(pán)時(shí)，只需搬1次。當(dāng)有兩個(gè)圓盤(pán)，上面的小圓盤(pán)先要搬到臨時(shí)樁上，等大圓盤(pán)搬到中間樁后，小圓盤(pán)還得再搬回來(lái)到大圓盤(pán)上。所以小的要搬兩次，下面的大盤(pán)要搬1次。這樣搬到兩個(gè)圓盤(pán)需3次。當(dāng)有三個(gè)圓盤(pán)時(shí)，必須先要把上面的兩個(gè)小的圓盤(pán)搬到臨時(shí)樁上，見(jiàn)上圖中的（1）（3）。由前面可知，這需要搬動(dòng)3次。然后把最下層的最大圓盤(pán)搬一次到中間樁上，見(jiàn)圖（4），之后再把上面的兩個(gè)搬到中間樁上，這又需搬3次，見(jiàn)圖中（5）（7）。所以共搬動(dòng)2×3+1=7次。推論，當(dāng)有4個(gè)圓盤(pán)時(shí)，就需要先把上面的3個(gè)圓盤(pán)搬到臨時(shí)樁上，需要7次，然后把下面的大圓盤(pán)搬到中間樁上（1次），之后再把臨時(shí)樁上的3個(gè)圓盤(pán)搬到中間樁上，這又需要7次，所以共需搬動(dòng)2×7+1=15次。可見(jiàn)當(dāng)有5個(gè)圓盤(pán)時(shí)，要把它按規(guī)定搬到中間樁上去共需要：2×15+1=31次。這樣也可以寫(xiě)出一個(gè)一般的公式（叫遞推公式）對(duì)于有更多圓盤(pán)的情況可由這個(gè)公式算出來(lái)。進(jìn)一步進(jìn)行考察，并聯(lián)想到另一個(gè)數(shù)列：若把n個(gè)圓盤(pán)搬動(dòng)的次數(shù)寫(xiě)成an，把兩個(gè)表對(duì)照后，可得出 有了這個(gè)公式后直接把圓盤(pán)數(shù)代入計(jì)算就行了，不必再像前一個(gè)公式那樣進(jìn)行遞推了。附送：2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（一）例1 觀察下面由點(diǎn)組成的圖形（點(diǎn)群），請(qǐng)回答：（1）方框內(nèi)的點(diǎn)群包含多少個(gè)點(diǎn)？（2）第（10）個(gè)點(diǎn)群中包含多少個(gè)點(diǎn)？（3）前十個(gè)點(diǎn)群中，所有點(diǎn)的總數(shù)是多少？解：數(shù)一數(shù)可知：前四個(gè)點(diǎn)群中包含的點(diǎn)數(shù)分別是：1，4，7，10。可見(jiàn)，這是一個(gè)等差數(shù)列，在每相鄰的兩個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大3（即公差是3）。（1）因?yàn)榉娇騼?nèi)應(yīng)是第（5）個(gè)點(diǎn)群，它的點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是10+3=13（個(gè)）。（2）列表，依次寫(xiě)出各點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)，可知第（10）個(gè)點(diǎn)群包含有28個(gè)點(diǎn)。（3）前十個(gè)點(diǎn)群，所有點(diǎn)的總數(shù)是：1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（個(gè)）例2 圖62表示“寶塔”，它們的層數(shù)不同，但都是由一樣大的小三角形擺成的。仔細(xì)觀察后，請(qǐng)你回答：（1）五層的“寶塔”的最下層包含多少個(gè)小三角形？（2）整個(gè)五層“寶塔”一共包含多少個(gè)小三角形？（3） 從第（1）到第（10）的十個(gè)“寶塔”，共包含多少個(gè)小三角形？解：（1）數(shù)一數(shù)“寶塔”每層包含的小三角形數(shù)：可見(jiàn)1，3，5，7是個(gè)奇數(shù)列，所以由這個(gè)規(guī)律猜出第五層應(yīng)包含的小三角形是9個(gè)。（2）整個(gè)五層塔共包含的小三角形個(gè)數(shù)是：1+3+5+7+9=25（個(gè)）。（3）每個(gè)“寶塔”所包含的小三角形數(shù)可列表如下：由此發(fā)現(xiàn)從第（1）到第（10）共十個(gè)“寶塔”所包含的小三角形數(shù)是從1開(kāi)始的自然數(shù)平方數(shù)列前十項(xiàng)之和：例3 下面的圖形表示由一些方磚堆起來(lái)的“寶塔”。仔細(xì)觀察后，請(qǐng)你回答：（1）從上往下數(shù)，第五層包含幾塊磚？（2）整個(gè)五層的“寶塔”共包含多少塊磚？（3）若另有一座這樣的十層寶塔，共包含多少塊磚？解：（1）數(shù)一數(shù)，“寶塔”每層包含的方磚塊數(shù)：可見(jiàn)各層的方磚塊數(shù)組成自然數(shù)平方數(shù)列，按此規(guī)律，第五層應(yīng)包含的方磚塊數(shù)是：5×5=25（塊）。（2）整個(gè)五層“寶塔”共包含的方磚塊數(shù)應(yīng)是從1開(kāi)始的前五個(gè)自然數(shù)的平方數(shù)相加之和，即：1+4+9+16+25=55（塊）。（3）根據(jù)上面得到的規(guī)律，可求出十層寶塔所包含的方磚的塊數(shù)：