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2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律法

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2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律法

2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律法觀察、搜集已知事實(shí),從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的線索,用以探索未知事件的奧秘,是人類(lèi)智力活動(dòng)的主要內(nèi)容。數(shù)學(xué)上有很多材料可用以來(lái)模擬這種活動(dòng)、培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。例1 觀察數(shù)列的前面幾項(xiàng),找出規(guī)律,寫(xiě)出該數(shù)列的第100項(xiàng)來(lái)?12345,23451,34512,45123,解:為了尋找規(guī)律,再多寫(xiě)出幾項(xiàng)出來(lái),并給以編號(hào):仔細(xì)觀察,可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的第6項(xiàng)同第1項(xiàng),第7項(xiàng)同第2項(xiàng),第8項(xiàng)同第3項(xiàng),也就是說(shuō)該數(shù)列各項(xiàng)的出現(xiàn)具有周期性,他們是循環(huán)出現(xiàn)的,一個(gè)循環(huán)節(jié)包含5項(xiàng)。100÷5=20。可見(jiàn)第100項(xiàng)與第5項(xiàng)、第10項(xiàng)一樣(項(xiàng)數(shù)都能被5整除),即第100項(xiàng)是51234。例2 把寫(xiě)上1到100這100個(gè)號(hào)碼的牌子,像下面那樣依次分發(fā)給四個(gè)人,你知道第73號(hào)牌子會(huì)落到誰(shuí)的手里?解:仔細(xì)觀察,你會(huì)發(fā)現(xiàn):分給小明的牌子號(hào)碼是1,5,9,13,號(hào)碼除以4余1;分給小英的牌子號(hào)碼是2,6,10,14,號(hào)碼除以4余2;分給小方的牌子號(hào)碼是3,7,11,號(hào)碼除以4余3;分給小軍的牌子號(hào)碼是4,8,12,號(hào)碼除以4余0(整除)。因此,試用4除73看看余幾?73÷4=18余 1可見(jiàn)73號(hào)牌會(huì)落到小明的手里。這就是運(yùn)用了如下的規(guī)律:用這種規(guī)律預(yù)測(cè)第幾號(hào)牌子發(fā)給誰(shuí),是很容易的,請(qǐng)同學(xué)們自己再試一試。例3 四個(gè)小動(dòng)物換位,開(kāi)始小鼠、小猴、小兔和小貓分別坐在1、2、3、4號(hào)位子上(如下圖所示)。第一次它們上下兩排換位,第二次左右換位,第三次又上下交換,第四次左右交換。這樣一直交換下去,問(wèn)十次換位后,小兔坐在第幾號(hào)座位上?解:為了能找出變化規(guī)律,再接著寫(xiě)出幾次換位情況,見(jiàn)下圖。盯住小兔的位置進(jìn)行觀察:第一次換位后,它到了第1號(hào)位;第二次換位后,它到了第2號(hào)位;第三次換位后,它到了第4號(hào)位;第四次換位后,它到了第3號(hào)位;第五次換位后,它又到了第1號(hào)位;可以發(fā)現(xiàn),每經(jīng)過(guò)四次換位后,小兔又回到了原來(lái)的位置,利用這個(gè)規(guī)律以及10÷4=2余2,可知:第十次換位后,小兔的座位同第二次換位后的位置一樣,即在第二號(hào)位。如果再仔細(xì)地把換位圖連續(xù)起來(lái)研究研究,可以發(fā)現(xiàn),隨著一次次地交換,小兔的座位按順時(shí)針旋轉(zhuǎn),小鼠的座位按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),小猴的座位按順時(shí)針旋轉(zhuǎn),小貓的座位按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),按這個(gè)規(guī)律也可以預(yù)測(cè)任何小動(dòng)物在交換幾次后的座位。例4 從1開(kāi)始,每隔兩個(gè)數(shù)寫(xiě)出一個(gè)數(shù),得到一列數(shù),求這列數(shù)的第100個(gè)數(shù)是多少?1,4,7,10,13,解:不難看出,這是一個(gè)等差數(shù)列,它的后一項(xiàng)都比相鄰的前一項(xiàng)大3,即公差=3,還可以發(fā)現(xiàn):第2項(xiàng)等于第1項(xiàng)加1個(gè)公差即4=1+1×3。第3項(xiàng)等于第1項(xiàng)加2個(gè)公差即7=1+2×3。第4項(xiàng)等于第1項(xiàng)加3個(gè)公差即10=1+3×3。第5項(xiàng)等于第1項(xiàng)加4個(gè)公差即13=1+4×3??梢?jiàn)第n項(xiàng)等于第1項(xiàng)加(n-1)個(gè)公差,即按這個(gè)規(guī)律,可求出:第100項(xiàng)=1+(100-1)×3=1+99×3=298。例5 畫(huà)圖游戲先畫(huà)第一代,一個(gè),再畫(huà)第二代,在下面畫(huà)出兩條線段,在一條線段的末端又畫(huà)一個(gè),在另一條的末端畫(huà)一個(gè);畫(huà)第三代,在第二代的下面又畫(huà)出兩條線段,一條末端畫(huà),另一條末端畫(huà);而在第二代的的下面畫(huà)一條線,線的末端再畫(huà)一個(gè);一直照此畫(huà)下去(見(jiàn)下圖),問(wèn)第十次的和共有多少個(gè)?解:按著畫(huà)圖規(guī)則繼續(xù)畫(huà)出幾代,以便于觀察,以期從中找出圖形的生成規(guī)律,見(jiàn)下圖。數(shù)一數(shù),各代的圖形(包括和)的個(gè)數(shù)列成下表:可以發(fā)現(xiàn)各代圖形個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)列,這個(gè)數(shù)列的生成規(guī)律是,從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)之和。按此規(guī)律接著把數(shù)列寫(xiě)下去,可得出第十代的和共有89個(gè)(見(jiàn)下表):這就是著名的裴波那契數(shù)列。裴波那契是意大利的數(shù)學(xué)家,他生活在距今大約七百多年以前的時(shí)代。例6 如下圖所示,5個(gè)大小不等的中心有孔的圓盤(pán),按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構(gòu)成了一座圓盤(pán)塔?,F(xiàn)在要把這座圓盤(pán)塔移到另一個(gè)木樁上。規(guī)定移動(dòng)時(shí)要遵守一個(gè)條件,每搬一次只許拿一個(gè)圓盤(pán)而且任何時(shí)候大圓盤(pán)都不能壓住小圓盤(pán)。假如還有第三個(gè)木樁可作臨時(shí)存放圓盤(pán)之用。問(wèn)把這5個(gè)圓盤(pán)全部移到另一個(gè)木樁上至少需要搬動(dòng)多少次?(下圖所示)解:先從最簡(jiǎn)單情形試起。當(dāng)僅有一個(gè)圓盤(pán)時(shí),顯然只需搬動(dòng)一次(見(jiàn)下頁(yè)圖)。當(dāng)有兩個(gè)圓盤(pán)時(shí),只需搬動(dòng)3次(見(jiàn)下圖)。當(dāng)有三個(gè)圓盤(pán)時(shí),需要搬動(dòng)7次(見(jiàn)下頁(yè)圖)。總結(jié),找規(guī)律:當(dāng)僅有一個(gè)圓盤(pán)時(shí),只需搬1次。當(dāng)有兩個(gè)圓盤(pán),上面的小圓盤(pán)先要搬到臨時(shí)樁上,等大圓盤(pán)搬到中間樁后,小圓盤(pán)還得再搬回來(lái)到大圓盤(pán)上。所以小的要搬兩次,下面的大盤(pán)要搬1次。這樣搬到兩個(gè)圓盤(pán)需3次。當(dāng)有三個(gè)圓盤(pán)時(shí),必須先要把上面的兩個(gè)小的圓盤(pán)搬到臨時(shí)樁上,見(jiàn)上圖中的(1)(3)。由前面可知,這需要搬動(dòng)3次。然后把最下層的最大圓盤(pán)搬一次到中間樁上,見(jiàn)圖(4),之后再把上面的兩個(gè)搬到中間樁上,這又需搬3次,見(jiàn)圖中(5)(7)。所以共搬動(dòng)2×3+1=7次。推論,當(dāng)有4個(gè)圓盤(pán)時(shí),就需要先把上面的3個(gè)圓盤(pán)搬到臨時(shí)樁上,需要7次,然后把下面的大圓盤(pán)搬到中間樁上(1次),之后再把臨時(shí)樁上的3個(gè)圓盤(pán)搬到中間樁上,這又需要7次,所以共需搬動(dòng)2×7+1=15次。可見(jiàn)當(dāng)有5個(gè)圓盤(pán)時(shí),要把它按規(guī)定搬到中間樁上去共需要:2×15+1=31次。這樣也可以寫(xiě)出一個(gè)一般的公式(叫遞推公式)對(duì)于有更多圓盤(pán)的情況可由這個(gè)公式算出來(lái)。進(jìn)一步進(jìn)行考察,并聯(lián)想到另一個(gè)數(shù)列:若把n個(gè)圓盤(pán)搬動(dòng)的次數(shù)寫(xiě)成an,把兩個(gè)表對(duì)照后,可得出 有了這個(gè)公式后直接把圓盤(pán)數(shù)代入計(jì)算就行了,不必再像前一個(gè)公式那樣進(jìn)行遞推了。附送:2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律(一)例1 觀察下面由點(diǎn)組成的圖形(點(diǎn)群),請(qǐng)回答:(1)方框內(nèi)的點(diǎn)群包含多少個(gè)點(diǎn)?(2)第(10)個(gè)點(diǎn)群中包含多少個(gè)點(diǎn)?(3)前十個(gè)點(diǎn)群中,所有點(diǎn)的總數(shù)是多少?解:數(shù)一數(shù)可知:前四個(gè)點(diǎn)群中包含的點(diǎn)數(shù)分別是:1,4,7,10。可見(jiàn),這是一個(gè)等差數(shù)列,在每相鄰的兩個(gè)數(shù)中,后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大3(即公差是3)。(1)因?yàn)榉娇騼?nèi)應(yīng)是第(5)個(gè)點(diǎn)群,它的點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是10+3=13(個(gè))。(2)列表,依次寫(xiě)出各點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù),可知第(10)個(gè)點(diǎn)群包含有28個(gè)點(diǎn)。(3)前十個(gè)點(diǎn)群,所有點(diǎn)的總數(shù)是:1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145(個(gè))例2 圖62表示“寶塔”,它們的層數(shù)不同,但都是由一樣大的小三角形擺成的。仔細(xì)觀察后,請(qǐng)你回答:(1)五層的“寶塔”的最下層包含多少個(gè)小三角形?(2)整個(gè)五層“寶塔”一共包含多少個(gè)小三角形?(3) 從第(1)到第(10)的十個(gè)“寶塔”,共包含多少個(gè)小三角形?解:(1)數(shù)一數(shù)“寶塔”每層包含的小三角形數(shù):可見(jiàn)1,3,5,7是個(gè)奇數(shù)列,所以由這個(gè)規(guī)律猜出第五層應(yīng)包含的小三角形是9個(gè)。(2)整個(gè)五層塔共包含的小三角形個(gè)數(shù)是:1+3+5+7+9=25(個(gè))。(3)每個(gè)“寶塔”所包含的小三角形數(shù)可列表如下:由此發(fā)現(xiàn)從第(1)到第(10)共十個(gè)“寶塔”所包含的小三角形數(shù)是從1開(kāi)始的自然數(shù)平方數(shù)列前十項(xiàng)之和:例3 下面的圖形表示由一些方磚堆起來(lái)的“寶塔”。仔細(xì)觀察后,請(qǐng)你回答:(1)從上往下數(shù),第五層包含幾塊磚?(2)整個(gè)五層的“寶塔”共包含多少塊磚?(3)若另有一座這樣的十層寶塔,共包含多少塊磚?解:(1)數(shù)一數(shù),“寶塔”每層包含的方磚塊數(shù):可見(jiàn)各層的方磚塊數(shù)組成自然數(shù)平方數(shù)列,按此規(guī)律,第五層應(yīng)包含的方磚塊數(shù)是:5×5=25(塊)。(2)整個(gè)五層“寶塔”共包含的方磚塊數(shù)應(yīng)是從1開(kāi)始的前五個(gè)自然數(shù)的平方數(shù)相加之和,即:1+4+9+16+25=55(塊)。(3)根據(jù)上面得到的規(guī)律,可求出十層寶塔所包含的方磚的塊數(shù):

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