2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 填圖與拆數(shù)

2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 填圖與拆數(shù)填圖是一種運(yùn)算游戲，它要求把一些數(shù)字按照一定的規(guī)則填進(jìn)各類圖形。這不僅可以提高運(yùn)算能力，而且更能促使你積極地去思考問題、分析問題，使你的智力得到更好地發(fā)展。例1 請你把1、2、3這三個數(shù)填在圖9.1中的方格中，使每行、每列和每條對角線上的三個數(shù)字之和都相等。解：這樣想，如果每行的三個數(shù)分別是1、2、3，每列的三個數(shù)也分別是1、2、3，那么自然滿足每行、每列的三個數(shù)之和相等這個條件的要求。試著填填看。有圖92、圖93和圖94三種不同的填法，檢查一下，只有圖94的填法，滿足對角線上的三個數(shù)之和與每行、每列三數(shù)之和相等這個條件的要求。例2 請把19九個數(shù)字填入圖95中，要求每行、每列和每條對角線上三個數(shù)的和都要等于15。解：從19這九個數(shù)字中，5是處于中間的一個數(shù)，而4與6，3與7，2與8，1與9之和都正好是10。所以5應(yīng)當(dāng)填在中心的空格中，而其他八個數(shù)字應(yīng)當(dāng)填到周邊的方格中。上面圖96就是一個符合要求的解答，把5填在中心空格后，嘗試幾次是不難得出這種答案的。例3 如下面圖99所示有八張卡片?？ㄆ戏謩e寫有1、2、3、4、5、6、7、8八個數(shù)。現(xiàn)在請你重新按圖 910進(jìn)行排列，使每邊三張卡片上的數(shù)的和等于：13，15。解：要使每邊三張卡片上的數(shù)相加之和等于13時，就要將13分拆成三個數(shù)之和。以上的分拆是分兩步進(jìn)行的?？梢钥闯?，因為8+5=13，所以8和5不能填在同一邊（若把8和5填在同一邊，再加上第三個數(shù)時必然會大于13，這不符合題目要求），也就是說，要把8和5分別填在相對的兩個角上的方格里。如圖911所示。要使每邊三張卡片上的數(shù)相加之和等于15時，就要將15分拆成三個數(shù)之和：以上的分拆也是分兩步進(jìn)行的?？梢钥闯觯驗?+7=15，所以8和7不能填在同一邊，也就是說，要把8和7分別填在相對的兩個角的方格里，如圖912所示。例4 圖913是由八個小圓圈組成的，每個小圓圈都有直線與相鄰的小圓圈相接連。請你把1、2、3、4、5、6、7、8八個數(shù)字分別填在八個小圓圈內(nèi)，但相鄰的兩個數(shù)不能填入有直線相連的兩個小圓圈（例如，你在最上頭的一個小圓圈中填了5，那么4和6就不能填在第二層三個小圓圈中了）。解：答案如圖914所示。中間的兩個圈只能填1和8，是這樣分析出來的：在1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)字中，只有“1”和“8”這兩個數(shù)，各有一個相鄰的數(shù)，也就是有六個不相鄰的數(shù)。中間的兩個小圓圈，每個都有六條線連著六個小圓圈，每個小圓圈中恰好能填一個與它不相鄰的數(shù)。其余的數(shù)每個都有兩個相鄰的數(shù)，如4有兩個相鄰的數(shù)2和3，所以在1至8這八個數(shù)中4只有五個不相鄰的數(shù)，這樣4就不能填到中間的小圓圈中了。附送：2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律法觀察、搜集已知事實，從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的線索，用以探索未知事件的奧秘，是人類智力活動的主要內(nèi)容。數(shù)學(xué)上有很多材料可用以來模擬這種活動、培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。例1 觀察數(shù)列的前面幾項，找出規(guī)律，寫出該數(shù)列的第100項來？12345，23451，34512，45123，解：為了尋找規(guī)律，再多寫出幾項出來，并給以編號：仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的第6項同第1項，第7項同第2項，第8項同第3項，也就是說該數(shù)列各項的出現(xiàn)具有周期性，他們是循環(huán)出現(xiàn)的，一個循環(huán)節(jié)包含5項。100÷5=20。可見第100項與第5項、第10項一樣（項數(shù)都能被5整除），即第100項是51234。例2 把寫上1到100這100個號碼的牌子，像下面那樣依次分發(fā)給四個人，你知道第73號牌子會落到誰的手里？解：仔細(xì)觀察，你會發(fā)現(xiàn)：分給小明的牌子號碼是1，5，9，13，號碼除以4余1；分給小英的牌子號碼是2，6，10，14，號碼除以4余2；分給小方的牌子號碼是3，7，11，號碼除以4余3；分給小軍的牌子號碼是4，8，12，號碼除以4余0（整除）。因此，試用4除73看看余幾？73÷4=18余 1可見73號牌會落到小明的手里。這就是運(yùn)用了如下的規(guī)律：用這種規(guī)律預(yù)測第幾號牌子發(fā)給誰，是很容易的，請同學(xué)們自己再試一試。例3 四個小動物換位，開始小鼠、小猴、小兔和小貓分別坐在1、2、3、4號位子上（如下圖所示）。第一次它們上下兩排換位，第二次左右換位，第三次又上下交換，第四次左右交換。這樣一直交換下去，問十次換位后，小兔坐在第幾號座位上？解：為了能找出變化規(guī)律，再接著寫出幾次換位情況，見下圖。盯住小兔的位置進(jìn)行觀察：第一次換位后，它到了第1號位；第二次換位后，它到了第2號位；第三次換位后，它到了第4號位；第四次換位后，它到了第3號位；第五次換位后，它又到了第1號位；可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過四次換位后，小兔又回到了原來的位置，利用這個規(guī)律以及10÷4=2余2，可知：第十次換位后，小兔的座位同第二次換位后的位置一樣，即在第二號位。如果再仔細(xì)地把換位圖連續(xù)起來研究研究，可以發(fā)現(xiàn)，隨著一次次地交換，小兔的座位按順時針旋轉(zhuǎn)，小鼠的座位按逆時針旋轉(zhuǎn)，小猴的座位按順時針旋轉(zhuǎn)，小貓的座位按逆時針旋轉(zhuǎn)，按這個規(guī)律也可以預(yù)測任何小動物在交換幾次后的座位。例4 從1開始，每隔兩個數(shù)寫出一個數(shù)，得到一列數(shù)，求這列數(shù)的第100個數(shù)是多少？1，4，7，10，13，解：不難看出，這是一個等差數(shù)列，它的后一項都比相鄰的前一項大3，即公差=3，還可以發(fā)現(xiàn)：第2項等于第1項加1個公差即4=1+1×3。第3項等于第1項加2個公差即7=1+2×3。第4項等于第1項加3個公差即10=1+3×3。第5項等于第1項加4個公差即13=1+4×3?？梢姷趎項等于第1項加（n-1）個公差，即按這個規(guī)律，可求出：第100項=1+（100-1）×3=1+99×3=298。例5 畫圖游戲先畫第一代，一個，再畫第二代，在下面畫出兩條線段，在一條線段的末端又畫一個，在另一條的末端畫一個；畫第三代，在第二代的下面又畫出兩條線段，一條末端畫，另一條末端畫；而在第二代的的下面畫一條線，線的末端再畫一個；一直照此畫下去（見下圖），問第十次的和共有多少個？解：按著畫圖規(guī)則繼續(xù)畫出幾代，以便于觀察，以期從中找出圖形的生成規(guī)律，見下圖。數(shù)一數(shù)，各代的圖形（包括和）的個數(shù)列成下表：可以發(fā)現(xiàn)各代圖形個數(shù)組成一個數(shù)列，這個數(shù)列的生成規(guī)律是，從第三項起每一項都是前面兩項之和。按此規(guī)律接著把數(shù)列寫下去，可得出第十代的和共有89個（見下表）：這就是著名的裴波那契數(shù)列。裴波那契是意大利的數(shù)學(xué)家，他生活在距今大約七百多年以前的時代。例6 如下圖所示，5個大小不等的中心有孔的圓盤，按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構(gòu)成了一座圓盤塔?，F(xiàn)在要把這座圓盤塔移到另一個木樁上。規(guī)定移動時要遵守一個條件，每搬一次只許拿一個圓盤而且任何時候大圓盤都不能壓住小圓盤。假如還有第三個木樁可作臨時存放圓盤之用。問把這5個圓盤全部移到另一個木樁上至少需要搬動多少次？（下圖所示）解：先從最簡單情形試起。當(dāng)僅有一個圓盤時，顯然只需搬動一次（見下頁圖）。當(dāng)有兩個圓盤時，只需搬動3次（見下圖）。當(dāng)有三個圓盤時，需要搬動7次（見下頁圖）?？偨Y(jié)，找規(guī)律：當(dāng)僅有一個圓盤時，只需搬1次。當(dāng)有兩個圓盤，上面的小圓盤先要搬到臨時樁上，等大圓盤搬到中間樁后，小圓盤還得再搬回來到大圓盤上。所以小的要搬兩次，下面的大盤要搬1次。這樣搬到兩個圓盤需3次。當(dāng)有三個圓盤時，必須先要把上面的兩個小的圓盤搬到臨時樁上，見上圖中的（1）（3）。由前面可知，這需要搬動3次。然后把最下層的最大圓盤搬一次到中間樁上，見圖（4），之后再把上面的兩個搬到中間樁上，這又需搬3次，見圖中（5）（7）。所以共搬動2×3+1=7次。推論，當(dāng)有4個圓盤時，就需要先把上面的3個圓盤搬到臨時樁上，需要7次，然后把下面的大圓盤搬到中間樁上（1次），之后再把臨時樁上的3個圓盤搬到中間樁上，這又需要7次，所以共需搬動2×7+1=15次?？梢姰?dāng)有5個圓盤時，要把它按規(guī)定搬到中間樁上去共需要：2×15+1=31次。這樣也可以寫出一個一般的公式（叫遞推公式）對于有更多圓盤的情況可由這個公式算出來。進(jìn)一步進(jìn)行考察，并聯(lián)想到另一個數(shù)列：若把n個圓盤搬動的次數(shù)寫成an，把兩個表對照后，可得出 有了這個公式后直接把圓盤數(shù)代入計算就行了，不必再像前一個公式那樣進(jìn)行遞推了。