2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（二）

2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（二）例1 仔細(xì)觀察下面的圖形，找出變化規(guī)律，猜猜在第3組的右框空白格內(nèi)填一個(gè)什么樣的圖？解：仔細(xì)觀察圖71，可知：第1組左邊是個(gè)大菱形，右邊是個(gè)小菱形。第2組左邊是個(gè)大三角形，右邊是個(gè)小三角形。其規(guī)律是：每組中左右兩邊圖形的形狀相同，大小不同。都是左邊的圖形大，右邊的圖形小。猜出答案：第3組中右邊空白格內(nèi)應(yīng)填個(gè)小長(zhǎng)方形。（如圖73）。仔細(xì)觀察圖72可知：第1組左邊是個(gè)圓，而且左半圓涂有陰影線。右邊是左邊的陰影半圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后放置的。第2組左邊是個(gè)等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有陰影線，右邊是左邊陰影直角三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后放置的。其規(guī)律是：每組的右邊格內(nèi)的圖形都是左邊圖形左邊的一半，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)放置后成為右邊圖形。猜出答案：第3組中右框內(nèi)應(yīng)填個(gè)陰影小長(zhǎng)方形。如圖74示。例2 按順序仔細(xì)觀察圖75、76的形狀，猜一猜第3組的“？”處應(yīng)填什么圖？解：圖75的？處應(yīng)填。注意觀察第1組和第2組，每組都是由三對(duì)小圖形組成；而每對(duì)小圖形都是由一個(gè)“空白”的和一個(gè)“黑色”的小圖形組成；而且它倆的排列順序都是“空白”的在左邊，“黑色”的在右邊。再按著第1、第2、第3組的順序觀察下去，可發(fā)現(xiàn)每對(duì)小圖形在各組中的位置的變化規(guī)律：它們都在向左移動(dòng)，當(dāng)一對(duì)小圖形移動(dòng)到最左邊后，下一步它就回到了最右邊。按這個(gè)移動(dòng)規(guī)律，可知圖75中第3組“？”處應(yīng)填：。圖76的？處應(yīng)填0。仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)第1組和第2組中間的部分都是由三個(gè)小圖形構(gòu)成的。構(gòu)成的規(guī)律是：當(dāng)你按照第1、第2、第3組的順序觀察時(shí)，6個(gè)小圖形都在向左移動(dòng)，而且移動(dòng)的同時(shí)又在重新分組和組合，但排列順序保持不變，當(dāng)某一個(gè)小圖形移動(dòng)到了最左邊時(shí)，下一步它就回到了最右邊。按這個(gè)規(guī)律可知圖76中第3組中間“？”處是：0。例3 觀察圖77的變化，請(qǐng)先回答：在方框（4）中應(yīng)畫出怎樣的圖形？再答按（1）、（2）、（3）、的順序數(shù)下去，第（10）個(gè)方框中是怎樣的圖形？解：先按（1）、（2）、（3）、的順序仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)：方框中的箭頭是按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的；方框中的其他小圖形，如、和也都是按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的。也就是說，方框連同內(nèi)部的所有小圖形作為一個(gè)整體在按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。因此，方框（4）中的小圖形應(yīng)畫成圖78狀。再按已找到的規(guī)律，進(jìn)一步可發(fā)現(xiàn)圖形的變化是有“周期性”的，也就是說，每過4個(gè)方框后，同樣的圖形又重新出現(xiàn)一次。如，你可看到第（1）和第（5）是完全一樣的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）個(gè)圖形應(yīng)當(dāng)是完全一樣的。即第（10）個(gè)方框中的圖形應(yīng)是圖79所示的樣子。例4 觀察圖710的變化，請(qǐng)先回答：第（4）、（8）個(gè)圖中，黑點(diǎn)在什么地方？第（10）、（18）個(gè)圖中，黑點(diǎn)在什么地方？解：（1）按圖710中（1）、（2）、（3）、的順序仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)黑點(diǎn)位置的變化規(guī)律：在（1）中，黑點(diǎn)在最上面第一條橫線上；在（2）中，黑點(diǎn)下降了一格，在上面第二條橫線上；在（3）中，黑點(diǎn)又下降了一格，在中間一條線上了。按黑點(diǎn)位置的這種變化可推測(cè)出：在（4）中，黑點(diǎn)又下降一格，它的位置應(yīng)如圖711所示。繼續(xù)觀察下去：在（5）中，黑點(diǎn)下降到最下面的一條橫線上；在（6）中，黑點(diǎn)開始往上升一格；在（7）中，黑點(diǎn)再上升一格，按著黑點(diǎn)位置的這種變化可推測(cè)出：在（8）中，黑點(diǎn)又上升一格，它的位置應(yīng)如圖712所示。（2）進(jìn)一步仔細(xì)觀察圖710（1）（9），可發(fā)現(xiàn)黑點(diǎn)位置變化的“周期性”規(guī)律：也就是說，每隔8個(gè)小圖，黑點(diǎn)又回到原來的位置。因?yàn)?+8=10，2+8+8=18。所以第（10）、（18）個(gè)小圖中，黑點(diǎn)的位置應(yīng)與第（2）個(gè)小圖相同，見圖713所示。附送：2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（二）例1 數(shù)一數(shù)，圖31中共有多少點(diǎn)？解：（1）方法1：如圖32所示從上往下一層一層數(shù)：第一層 1個(gè)第二層 2個(gè)第三層 3個(gè)第四層 4個(gè)第五層 5個(gè)第六層 6個(gè)第七層 7個(gè)第八層 8個(gè)第九層 9個(gè)第十層 10個(gè)第十一層 9個(gè)第十二層 8個(gè)第十三層 7個(gè)第十四層 6個(gè)第十五層 5個(gè)第十六層 4個(gè)第十七層 3個(gè)第十八層 2個(gè)第十九層 1個(gè)總數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已學(xué)過的知識(shí)計(jì)算）。（2）方法2：如圖33所示：從上往下，沿折線數(shù)第一層 1個(gè)第二層 3個(gè)第三層 5個(gè)第四層 7個(gè)第五層 9個(gè)第六層 11個(gè)第七層 13個(gè)第八層 15個(gè)第九層 17個(gè)第十層 19個(gè)總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已學(xué)過的知識(shí)計(jì)算）。（3）方法3：把點(diǎn)群的整體轉(zhuǎn)個(gè)角度，成為如圖34所示的樣子，變成為10行10列的點(diǎn)陣。顯然點(diǎn)的總數(shù)為10×10=100（個(gè)）。想一想：數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)，有時(shí)有不同的方法，需要多動(dòng)腦筋。由方法1和方法3得出下式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10即等號(hào)左邊這樣的一串?dāng)?shù)之和等于中間數(shù)的自乘積。由此我們猜想：1=1×11+2+1=2×21+2+3+2+1=3×31+2+3+4+3+2+1=4×41+2+3+4+5+4+3+2+1=5×51+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×61+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×71+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×81+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×91+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10這樣的等式還可以一直寫下去，能寫出很多很多。同學(xué)們可以自己檢驗(yàn)一下，看是否正確，如果正確我們就發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。由方法2和方法3也可以得出下式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10。即從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的自乘積。由此我們猜想：1+3=2×21+3+5=3×31+3+5+7=4×41+3+5+7+9=5×51+3+5+7+9+11=6×61+3+5+7+9+11+13=7×71+3+5+7+9+11+13+15=8×81+3+5+7+9+11+13+15+17=9×91+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10還可往下一直寫下去，同學(xué)們自己檢驗(yàn)一下，看是否正確，如果正確，我們就又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。例2 數(shù)一數(shù)，圖35中有多少條線段？解：（1）我們已知，兩點(diǎn)間的直線部分是一條線段。以A點(diǎn)為共同端點(diǎn)的線段有：AB AC AD AE AF 5條。以B點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：BC BD BE BF 4條。以C點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：CD CE CF 3條。以D點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：DE DF 2條。以E點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：EF1條。總數(shù)5+4+3+2+1=15條。（2）用圖示法更為直觀明了。見圖36?？倲?shù)5+4+3+2+1=15（條）。想一想：由例2可知，一條大線段上有六個(gè)點(diǎn)，就有：總數(shù)=5+4+3+2+1條線段。由此猜想如下規(guī)律（見圖37）：還可以一直做下去?？傊€段總條線是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比總數(shù)小1。我們又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。它說明了點(diǎn)數(shù)與線段總數(shù)之間的關(guān)系。上面的事實(shí)也可以這樣說：如果把相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，那么一條大線段上的基本線段數(shù)和線段總條數(shù)之間的關(guān)系是：線段總條數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本線段的條數(shù)（見圖38）?；揪€段數(shù) 線段總條數(shù)還可以一直寫下去，同學(xué)們可以自己試試看。例3 數(shù)一數(shù)，圖39中共有多少個(gè)銳角？解：（1）我們知道，圖中任意兩條從O點(diǎn)發(fā)出的射線都組成一個(gè)銳角。所以，以O(shè)A邊為公共邊的銳角有：LAOB，AOC，AOD，AOE，AOF共5個(gè)。以O(shè)B邊為公共邊的銳角有：BOC，BOD，BOE，BOF共4個(gè)。以O(shè)C邊為公共邊的銳角有：COD，COE，COF共3個(gè)。以O(shè)D邊為公共邊的銳角有：DOE，DOF共2個(gè)。以O(shè)E邊為一邊的銳角有：EOF只1個(gè)。銳角總數(shù)5+4+3+2+115（個(gè)）。用圖示法更為直觀明了：如圖310所示，銳角總數(shù)為：5+4+3+2+1=15（個(gè)）。想一想：由例3可知：由一點(diǎn)發(fā)出的六條射線，組成的銳角的總數(shù)=5+4+3+2+1（個(gè)），由此猜想出如下規(guī)律：（見圖31115）兩條射線1個(gè)角（見圖311）三條射線2+1個(gè)角（見圖312）四條射線3+2+1個(gè)角（見圖313）五條射線4+3+2+1個(gè)角（見圖314）六條射線5+4+3+2+1個(gè)角（見圖315）總之，角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比射線數(shù)小1。同樣，也可以這樣想：如果把相鄰兩條射線構(gòu)成的角叫做基本角，那么有共同頂點(diǎn)的基本角和角的總數(shù)之間的關(guān)系是：角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本角個(gè)數(shù)。注意，例2和例3的情況極其相似。雖然例2是關(guān)于線段的，例3是關(guān)于角的，但求總數(shù)時(shí)，它們有同樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式。同學(xué)們可以看出，一個(gè)數(shù)學(xué)式子可以表達(dá)表面上完全不同的事物中的數(shù)量關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)的魔力。