2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 枚舉法

2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 枚舉法例1 如下圖所示，已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為20厘米，長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方形有多少種可能形狀？哪種形狀的長(zhǎng)方形面積最大？（邊長(zhǎng)為1厘米的正方形的面積叫做1平方厘米）。解：由于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是20厘米，可知它的長(zhǎng)與寬之和為10厘米。下面列舉出符合這個(gè)條件的各種長(zhǎng)方形。（注意，正方形可以說(shuō)成是長(zhǎng)與寬相等的長(zhǎng)方形）。下面把5種長(zhǎng)方形按實(shí)際尺寸大小一一畫(huà)出來(lái)，見(jiàn)下面圖（1）（5）。例2 如右圖所示，ABCD是一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為2厘米，沿著圖中線段從A到C的最短長(zhǎng)度為4厘米。問(wèn)這樣的最短路線共有多少條？請(qǐng)一一畫(huà)出來(lái)。解：將各種路線一一列出，可知共6條，見(jiàn)下圖。注意，如果題中不要求將路徑一一畫(huà)出，可采用如右圖所示方法較為便捷。圖中交點(diǎn)處的數(shù)字表示到達(dá)該點(diǎn)的路線條數(shù)，如O點(diǎn)處的數(shù)字2，表示由A到O有2條不同的路徑，見(jiàn)上圖中的（1）和（2）；又H點(diǎn)處的數(shù)字3的意義也如此，見(jiàn)上圖中的（1）、（2）、（3）可知有3條路徑可由A到H。仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)各交點(diǎn)處的數(shù)字之間的關(guān)系，如O點(diǎn)的2等于F點(diǎn)和E點(diǎn)的數(shù)字相加之和，即1+1=2，又如，C點(diǎn)的6等于G點(diǎn)和H點(diǎn)的數(shù)字相加之和，即3+3=6。例3 在10和31之間有多少個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)？解：由嘗試法可求出答案：3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=213×8=24 3×9=27 3×10=30可知滿足條件的數(shù)是 12、15、18、21、24、27和30共7個(gè)。注意，倘若問(wèn)10和1000之間有多少個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，則用上述一一列舉的方法就顯得太繁瑣了，此時(shí)可采用下述方法：10÷3=3余1，可知10以內(nèi)有3個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)；1000÷3=333余1，可知1000以內(nèi)有333個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)；333-3=330，則知101000之內(nèi)有330個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。由上述這些例題可體會(huì)枚舉法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)及其適用范圍。例4 兩個(gè)整數(shù)之積為144，差為10，求這兩個(gè)數(shù)？解：列出兩個(gè)數(shù)積為144的各種情況，再尋找滿足題目條件的一對(duì)出來(lái)： 1 2 3 4 6 8 9 12144 72 48 36 24 18 16 12可見(jiàn)其中差是10的兩個(gè)數(shù)是8和18，這一對(duì)數(shù)即為所求。例5 12枚硬幣的總值是1元，其中只有5分和1角的兩種，問(wèn)每種硬幣各多少個(gè)？解：列舉出兩種硬幣的可能搭配：可見(jiàn)滿足題目要求的搭配是：四個(gè)5分幣，八個(gè)1角幣。例6 小虎給4個(gè)小朋友寫(xiě)信。由于粗心，在把信紙裝入信封時(shí)都給裝錯(cuò)了。4個(gè)好朋友收到的都是給別人的信。問(wèn)小虎裝錯(cuò)的情況共有多少種可能？解：把4封信編號(hào)：1，2，3，4。把小朋友編號(hào)，友1，友2，友3，友4。并假定1號(hào)信是給友1寫(xiě)的，2號(hào)信是給友2寫(xiě)的，3號(hào)信是給友3的，4號(hào)信是給友4寫(xiě)的：再把各種可能的錯(cuò)裝情況列成下表：說(shuō)明：如第一種錯(cuò)收情況是友1得2號(hào)信，友2得了1號(hào)信，友3得了4號(hào)信，友4得了3號(hào)信。附送：2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 猜猜湊湊有些數(shù)學(xué)題可以用猜猜湊湊的方法求出答案。猜，很難一次猜中；湊，也不一定湊得準(zhǔn)。那不要緊，再猜再湊，對(duì)于比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，最后總能湊出答案來(lái)。數(shù)學(xué)家說(shuō)，猜猜湊湊也是一種數(shù)學(xué)方法，它的正式的名字叫“嘗試法”。有時(shí)，它還是一種極為有效的方法，數(shù)學(xué)上的有些重大的發(fā)現(xiàn)往往都是大數(shù)學(xué)家們大膽地猜出來(lái)的。猜，要大膽；湊，要細(xì)心。要知道猜的對(duì)不對(duì)，還要根據(jù)題目中的條件進(jìn)行檢驗(yàn)。例1 小明心中想到三個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和等于這三個(gè)數(shù)的積，你知道小明想的三個(gè)數(shù)都是什么嗎？解：猜小明想的三個(gè)數(shù)是1、2、3。檢驗(yàn)：1+2+3=61×2×3=6所以 1+2+3=1×2×3對(duì)了！解：猜由+=3可猜=1，=2；又由+=4可猜=1，=3；檢驗(yàn)：+=2+3=5，對(duì)了！所以=1，=2，=3。例3 一些老人去趕集，買了一堆大鴨梨，一人一梨多一梨，一人兩梨少兩梨，問(wèn)幾個(gè)老人幾個(gè)梨？解：猜可以先從小數(shù)猜起。2個(gè)老人3個(gè)梨。檢驗(yàn)：2個(gè)老人3個(gè)梨符合一人一梨多一梨的條件。但是不是符合另一個(gè)條件呢？先看：若一人分兩個(gè)梨，2個(gè)老人就需要有4個(gè)梨，因?yàn)榧僭O(shè)3個(gè)梨，這樣就會(huì)還少4-3=1個(gè)梨，這不符合少兩梨的條件。再猜：若是3個(gè)老人4個(gè)梨呢？顯然這符合第一個(gè)條件。再看第二個(gè)條件是不是也符合呢？若是一個(gè)老人分2個(gè)梨，3個(gè)老人就需要有6個(gè)梨，假設(shè)有4個(gè)梨，這樣就少6-4=2個(gè)梨，對(duì)了！所以最后答案就是3個(gè)老人4個(gè)梨。例4 100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，大和尚每人分3個(gè)饅頭，小和尚3人分1個(gè)饅頭，恰好分完。問(wèn)大和尚、小和尚各多少人？解：這是一道古代的算題。猜若是大和尚33人，就要分3×33=99個(gè)饅頭，還剩100-99=1（個(gè)）饅頭，分給3個(gè)小和尚，這樣和尚總?cè)藬?shù)為33+3=36人，與已知有100個(gè)和尚不符，不對(duì)！大和尚的人數(shù)減少些。若是有30個(gè)大和尚，分3×30=90個(gè)饅頭，還剩10個(gè)饅頭，可以分給3×10=30個(gè)小和尚，這樣和尚總數(shù)是30+30=60人。還必須減少大和尚的人數(shù)。若是有25個(gè)大和尚，分3×25=75個(gè)饅頭，還剩100-75=25個(gè)饅頭，可以分給3×25=75個(gè)小和尚。這樣和尚總數(shù)是25+75=100人，對(duì)了。所以答案是大和尚25人，小和尚75人。例5 甲、乙、丙三個(gè)小朋友在操場(chǎng)跑步。甲2分鐘跑一圈，乙3分鐘跑一圈，丙5分鐘跑一圈。如果他們?nèi)送瑫r(shí)從同一起點(diǎn)起跑，問(wèn)多少分鐘后他們?nèi)嗽俅蜗嘤?？解：猜與湊。先猜過(guò)6分鐘后，甲跑了3圈，乙跑了2圈，他們?cè)谄鹋茳c(diǎn)又相遇了。再看丙是否與他倆相遇呢？丙5分鐘跑一圈，6分鐘跑了1圈多一點(diǎn)，錯(cuò)過(guò)了，丙沒(méi)能與甲、乙相遇在一起。若再過(guò)6分鐘，即12分鐘后，甲和乙又相遇了。但是丙還不能與甲、乙相遇；因?yàn)椋?2÷5=2（圈）2即丙跑了2圈又多一些。這樣，已看出一個(gè)規(guī)律來(lái)了，能夠估計(jì)出若起跑后經(jīng)過(guò)5個(gè)6分鐘，即6×5=30分鐘，這時(shí)丙跑了30÷5=6圈整，這樣丙就能夠與甲、乙相遇了。例6 有人問(wèn)孩子年齡，回答說(shuō)：“比父親的歲數(shù)的一半少9歲”。又問(wèn)父親年齡，回答說(shuō)：“比孩子的歲數(shù)的3倍多3歲”。求父親和孩子的年齡各是多少歲？解：猜猜湊湊要找到對(duì)題中的兩句話都適合的年齡。先猜父親40歲，則兒子年齡是：40÷2-9=20-9=11（歲）檢驗(yàn)父齡：11×3+3=33+3=36歲，不對(duì)！再猜父親42歲，則兒子：42÷2-9=21-9=12（歲）檢驗(yàn)父齡：12×3+3=36+3=39（歲），不對(duì)！再猜父親44歲，則兒子：44÷2-9=22-9=13歲檢驗(yàn)父齡：13×3+3=39+3=42歲，不對(duì)！再猜父親46歲，則兒子：46÷2-9=23-9=14歲檢驗(yàn)父齡：14×3+3=42+3=45歲，不對(duì)！再猜父親48歲，則兒子：48÷2-9=24-9=15歲檢驗(yàn)父齡：15×3+3=45+3=48歲，對(duì)了！所以答案是：父親年齡48歲，兒子年齡15歲。