2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單數(shù)列

2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單數(shù)列我們把按一定規(guī)律排列起來(lái)的一列數(shù)叫數(shù)列。在這一講里，我們要認(rèn)識(shí)一些重要的簡(jiǎn)單數(shù)列，還要學(xué)習(xí)找出數(shù)列的生成規(guī)律；學(xué)會(huì)把數(shù)列中缺少的數(shù)寫(xiě)出來(lái)，最后還要學(xué)習(xí)解答一些生活中涉及數(shù)列知識(shí)的實(shí)際問(wèn)題。例1 找出下面各數(shù)列的規(guī)律，并填空。（1）1，2，3，4，5，8，9，10。（2）1，3，5，7，9，15，17，19。（3）2，4，6，8，10，16，18，20。（4）1，4，7，10，19，22，25。（5） 5，10，15，20，35，40，45。注意：自然數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列也是等差數(shù)列。例2 找出下面的數(shù)列的規(guī)律并填空。1，1，2，3，5，8，13，55，89。解：這叫斐波那契數(shù)列，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面的兩個(gè)數(shù)之和。這是個(gè)有重要用途的數(shù)列。8+13=21，13+21=34。所以：空處依次填：例3 找出下面數(shù)列的生成規(guī)律并填空。1，2，4，8，16，128，256。解：它叫等比數(shù)列，它的后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的2倍。16×2=32，32×2=64，所以空處依次填：例4 找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空。1，2，4，7，11，29，37。解：這數(shù)列規(guī)律是：后一個(gè)數(shù)減前一個(gè)數(shù)的差是逐漸變大的，這些差是個(gè)自然數(shù)列：例5 找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空：1，3，7，15，31，255，511。解：規(guī)律是：后一個(gè)數(shù)減前一個(gè)數(shù)的差是逐漸變大的，差的變化規(guī)律是個(gè)等比數(shù)列，后一個(gè)差是前一個(gè)差的2倍。另外，原數(shù)列的規(guī)律也可以這樣看：后一個(gè)數(shù)等于前一個(gè)數(shù)乘以2再加1，即后一個(gè)數(shù)=前一個(gè)數(shù)×2+1。例6 找出下面數(shù)列的生成規(guī)律，并填空。1，4，9，16，25，64，81，100。解：這是自然數(shù)平方數(shù)列，它的每一個(gè)數(shù)都是自然數(shù)的自乘積。如：1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，36=6×6，47=7×7，64=8×8，81=9×9，100=10×10。若寫(xiě)成下面對(duì)應(yīng)起來(lái)的形式，就看得更清楚。自然數(shù)列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 自然數(shù)平方數(shù)列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100例7 一輛公共汽車(chē)有78個(gè)座位，空車(chē)出發(fā)。第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，車(chē)上坐滿(mǎn)乘客？（假定在坐滿(mǎn)以前，無(wú)乘客下車(chē)，見(jiàn)表四（1）方法2：由上表可知，車(chē)上的人數(shù)是自1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，到第幾站后，就加到幾，所以只要加到出現(xiàn)78時(shí)，就可知道是到多少站了，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）可見(jiàn)第12站以后，車(chē)上坐滿(mǎn)乘客。例8 如果第一個(gè)數(shù)是3，以后每隔6個(gè)數(shù)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)，得到一列數(shù)：3，10，17，73。這里3叫第一項(xiàng)，10叫第二項(xiàng)，17叫第三項(xiàng)，試求73是第幾項(xiàng)？解：從第1項(xiàng)開(kāi)始，把各項(xiàng)依次寫(xiě)出來(lái)，一直寫(xiě)到73出現(xiàn)為止（見(jiàn)表四（2）。可見(jiàn)73是第11項(xiàng)。例9 一天，爸爸給小明買(mǎi)了一包糖，數(shù)一數(shù)剛好100塊。爸爸靈機(jī)一動(dòng)，又拿來(lái)了10個(gè)紙盒，接著說(shuō)：“小明，現(xiàn)在你把糖往盒子里放，我要求你在第一個(gè)盒子里放2塊，第二個(gè)盒子里放4塊，第三個(gè)盒子里放8塊，第四個(gè)盒子里放16塊，照這樣一直放下去。要放滿(mǎn)這10個(gè)盒，你說(shuō)這100塊糖夠不夠？”小朋友，請(qǐng)你幫小明想一想？解：小朋友，你是不是以為100塊糖肯定能夠放滿(mǎn)這10個(gè)紙盒的了！下面讓我們算一算，看你想得對(duì)不對(duì)（見(jiàn)表四（3）。表四（3）放滿(mǎn)10個(gè)盒所需要的糖塊總數(shù)：可見(jiàn)100塊糖是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還差1946塊呢！這可能是你沒(méi)有想到的吧！其實(shí)，數(shù)學(xué)中還有很多很多奇妙無(wú)比的故事呢。 附送：2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 逆序推理法逆序推理法，也叫逆推法或倒推法。簡(jiǎn)單說(shuō)，就是調(diào)過(guò)頭來(lái)往回想。例1 老師心中想了一個(gè)數(shù)，對(duì)他的學(xué)生說(shuō)：“給這個(gè)數(shù)加上9，再取和的一半應(yīng)是5?！彼袑W(xué)生們把這個(gè)數(shù)算出來(lái)。你會(huì)算嗎？解：用逆推法求解，就是這樣想：因?yàn)槔蠋熛氲臄?shù)加上9后之和的一半是5，那么和就應(yīng)是 5×2=10；再往前逆推，在沒(méi)有加上9之前應(yīng)是10-9=1，這就是老師心中想的數(shù)。讓我們?cè)購(gòu)牧硪环N思路去想：首先，把老師想的數(shù)用代表，順著題意列式應(yīng)有：（+9）÷2=5，我們可以叫它做順序式。然后，再把前面的逆推過(guò)程寫(xiě)成算式，就應(yīng)有：5×2-9=1，“1”就是方框所代表的數(shù)，所以把它寫(xiě)在方框里。我們可以把這個(gè)算式叫做逆序式。把兩式進(jìn)行對(duì)照比較（如下圖如示）可見(jiàn)：順序的運(yùn)算結(jié)果（或最后結(jié)論）是逆序式的已知數(shù)據(jù)（或起始條件）；順序式中除以2變?yōu)槟嫘蚴街谐艘?；順序式中加上9變?yōu)槟嫘蚴街袦p去9；順序式中起始未知數(shù)變?yōu)槟嫘蚴街凶詈筮\(yùn)算結(jié)果；總之，逆序式恰為順序式的逆運(yùn)算。這就是逆推法的由來(lái)和實(shí)質(zhì)。例2 某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，最后結(jié)果等于6。問(wèn)這個(gè)數(shù)是幾？解：依題意，寫(xiě)出順序式，再接著寫(xiě)出逆序式，（某數(shù)+6）×6-6÷6=6順序式（6×6+6）÷6-6=某數(shù)逆序式經(jīng)計(jì)算可知“某數(shù)”=1。例3 小勇拿了媽媽給的零花錢(qián)去買(mǎi)東西。他先用這些錢(qián)的一半買(mǎi)了玩具，之后又買(mǎi)了1元5角錢(qián)的小人書(shū)，最后還剩下3角錢(qián)。你知道媽媽給小勇多少錢(qián)嗎？解：可以這樣倒著想：小勇最后剩下3角錢(qián)，在買(mǎi)書(shū)之前的錢(qián)應(yīng)是3角+1元5角=1元8角。這個(gè)數(shù)目是他買(mǎi)玩具后剩下的，買(mǎi)玩具前的錢(qián)數(shù)應(yīng)當(dāng)是：1元8角×2=3元6角。這就是媽媽給他的錢(qián)數(shù)。若畫(huà)出下面的圖就更清楚了。例4 小亮拿著1包糖，遇見(jiàn)好朋友A，分給了他一半；過(guò)一會(huì)又遇見(jiàn)好朋友B，把剩下的糖的一半分給了他；后來(lái)又遇到了好朋友C，把這時(shí)手中所剩下的糖的一半又分給了C，這時(shí)他自己手里只有一塊了。問(wèn)在沒(méi)有分給A以前，小亮那包糖有幾塊？解：采用逆推法-從最后結(jié)果往前倒著推算。小亮最后手里只剩下一塊糖，這是分給C一半后所剩的數(shù)，則知遇見(jiàn)C之前小亮有糖：1×2=2（塊）。同理，遇到B之前有糖：2×2=4（塊）。遇到A之前有糖：4×2=8（塊）。即小亮未給小朋友前，那包糖應(yīng)有8塊。例5 農(nóng)婦賣(mài)蛋，第一次賣(mài)掉籃中的一半又1個(gè)，第二次又賣(mài)掉剩下的一半又1個(gè)，這時(shí)籃中還剩1個(gè)。問(wèn)原來(lái)籃中有蛋幾個(gè)？解：逆推：籃中最后（即第二次賣(mài)后）剩1個(gè)；第二次賣(mài)前籃中有（1+1）×2=4個(gè)；第一次賣(mài)前籃中有（4+1）×2=10個(gè)；即籃中有10個(gè)蛋。例6 某池中的睡蓮所遮蓋的面積，每天擴(kuò)大1倍，20天恰好遮住整個(gè)水池，問(wèn)若只遮住水池的一半需要多少天？解：倒著想。若是今天睡蓮把整個(gè)池面遮滿(mǎn)了，那么昨天睡蓮只遮住了水面的一半。今天是第20天，昨天就是第19天，也就是說(shuō)睡蓮遮住一半池面需19天。例7 文化用品店新到一批日記本，上一周售出本數(shù)比總數(shù)的一半少12本；這一周售出的本數(shù)比所剩的一半多12本；結(jié)果還有19本。問(wèn)這批日記本有多少？解：由圖上可見(jiàn)本周未售出時(shí)的一半是：19+12=31（本）；本周未售出時(shí)的總數(shù)是：31×2=62（本）；總數(shù)的一半是：62-12=50（本）；總本數(shù)是：50×2=100（本）。列出綜合算式：（19+12）×2-12×2=100（本）。答：這批日記本共有100本。例8 現(xiàn)有一堆棋子，把它分成三等份后還剩一顆；取出其中的兩份又分成三等份后還剩一顆；再取出其中的兩份再分成三等份后還剩一顆。問(wèn)原來(lái)至少有多少顆棋子？解：題中有“至少”這一條。用逆推法從最后的最少棋子情況逆推。先畫(huà)線(xiàn)段圖依次表示分棋子的過(guò)程，見(jiàn)下圖：假設(shè)第三次分時(shí)，三等份中每分是1個(gè)棋子（最少），則此次分前應(yīng)是3+1=4個(gè)；4÷2=2，則第二次分前應(yīng)是2×3+1=7個(gè)，注意7是奇數(shù)（第二次分前的棋子是第一次分后的兩份，應(yīng)是偶數(shù)所以不應(yīng)是7，可見(jiàn)前面假設(shè)不對(duì)）。再假設(shè)第三次分時(shí)每等份是2個(gè)棋子，也不行。又假設(shè)第三次分時(shí)每等份是3個(gè)棋子，則有3×3+1=10；10÷2=5，5×3+1=16；16÷2=8，8×3+1=25；原來(lái)有棋子至少是25個(gè)。