【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科集合與常用邏輯用語】第1練
第1練小集合,大功能題型分析高考展望集合是高考每年必考內(nèi)容,題型基本都是選擇題、填空題,題目難度大多數(shù)為最低檔,有時候在填空題中以創(chuàng)新題型出現(xiàn),難度稍高在二輪復(fù)習(xí)中,本部分應(yīng)該重點(diǎn)掌握集合的表示、集合的性質(zhì)、集合的運(yùn)算及集合關(guān)系在常用邏輯用語、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面的應(yīng)用同時注意研究有關(guān)集合的創(chuàng)新問題,研究問題的切入點(diǎn)及集合知識在相關(guān)問題中所起的作用??碱}型精析題型一單獨(dú)命題獨(dú)立考查常用的運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論:(1)AAA,AA,ABBA;(2)AAA,A,ABBA;(3)A(UA),A(UA)U;(4)ABAABABB.例1(1)(2015山東)已知集合Ax|x24x3<0,Bx|2<x<4,則AB等于()A(1,3) B(1,4) C(2,3) D(2,4)(2)(2014湖北)設(shè)U為全集,A,B是集合,則“存在集合C使得AC,BUC”是“AB”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件(3)已知集合Ax|log2x2,B(,a),若AB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c,),其中c_.答案(1)C(2)C(3)4解析(1)Ax|x24x30x|(x1)(x3)x|1x3,Bx|2x4,ABx|2x3(2,3)(2)若存在集合C使得AC,BUC,則可以推出AB;若AB,由Venn圖(如圖)可知,存在AC,同時滿足AC,BUC.故“存在集合C使得AC,BUC”是“AB”的充要條件(3)由log2x2,得0<x4,即Ax|0<x4,而B(,a),由于AB,如圖所示,則a>4,即c4.點(diǎn)評(1)弄清集合中所含元素的性質(zhì)是集合運(yùn)算的關(guān)鍵,這主要看代表元素,即“|”前面的表述(2)當(dāng)集合之間的關(guān)系不易確定時,可借助Venn圖或列舉實(shí)例變式訓(xùn)練1(1)(2015浙江)已知集合Px|x22x0,Qx|1x2,則(RP)Q等于()A0,1) B(0,2 C(1,2) D1,2答案C解析Px|x2或x0,RPx|0x2,(RP)Qx|1x2,故選C.(2)已知集合Ax|x23x20,Bx|0ax13若ABB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解Ax|x23x201,2,又Bx|0ax13x|1ax2,ABB,AB.當(dāng)a0時,BR,滿足題意當(dāng)a>0時,Bx|x,AB,2,解得0<a1.當(dāng)a<0時,Bx|x,AB,2,解得a<0.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.題型二集合與其他知識的綜合考查集合常與不等式、向量、解析幾何等知識綜合考查集合運(yùn)算的常用方法:(1)若已知集合是不等式的解集,用數(shù)軸求解;(2)若已知集合是點(diǎn)集,用數(shù)形結(jié)合法求解;(3)若已知集合是抽象集合,用Venn圖求解例2(2014安徽)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量a,b,|a|b|1,ab0,點(diǎn)Q滿足(ab)曲線CP|acos bsin ,0<2,區(qū)域P|0<r|R,r<R若C為兩段分離的曲線,則()A1<r<R<3 B1<r<3RCr1<R<3 D1<r<3<R答案A解析|a|b|1,ab0,又(ab),|22(ab)22(a2b22ab)4,點(diǎn)Q在以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓上又acos bsin ,|2a2cos2b2sin2cos2sin21.曲線C為單位圓又P|0<r|R,r<R,要使C為兩段分離的曲線,如圖,可知1<r<R<3,其中圖中兩段分離的曲線是指與.故選A.點(diǎn)評以集合為載體的問題,一定要弄清集合中的元素是什么,范圍如何對于點(diǎn)集,一般利用數(shù)形結(jié)合,畫出圖形,更便于直觀形象地展示集合之間的關(guān)系,使復(fù)雜問題簡單化變式訓(xùn)練2(2014天津)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)設(shè)集合M0,1,2,q1,集合Ax|xx1x2qxnqn1,xiM,i1,2,n(1)當(dāng)q2,n3時,用列舉法表示集合A;(2)設(shè)s,tA,sa1a2qanqn1,tb1b2qbnqn1,其中ai,biM,i1,2,n.證明:若an<bn,則s<t.(1)解當(dāng)q2,n3時,M0,1,Ax|xx1x22x322,xiM,i1,2,3,可得,A0,1,2,3,4,5,6,7(2)證明由s,tA,sa1a2qanqn1,tb1b2qbnqn1,ai,biM,i1,2,n及an<bn,可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn11<0.所以s<t.題型三與集合有關(guān)的創(chuàng)新問題與集合有關(guān)的創(chuàng)新題目,主要以新定義的形式呈現(xiàn),考查對集合含義的深層次理解在新定義下求集合中的元素、確定元素個數(shù)、確定兩集合的關(guān)系等例3(2015湖北)已知集合A(x,y)|x2y21,x,yZ,B(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定義集合AB(x1x2,y1y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,則AB中元素的個數(shù)為()A77 B49 C45 D30答案C解析如圖,集合A表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“”,集合B表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“”所有圓點(diǎn)“”,集合AB顯然是集合(x,y)|x|3,|y|3,x,yZ中除去四個點(diǎn)(3,3),(3,3),(3,3),(3,3)之外的所有整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)),即集合AB表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“”所有圓點(diǎn)“”所有圓點(diǎn)“”,共45個故AB中元素的個數(shù)為45.故選C.點(diǎn)評解決以集合為背景的新定義問題,要抓住兩點(diǎn):(1)緊扣新定義首先分析新定義的特點(diǎn),把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中,這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在;(2)用好集合的性質(zhì)解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)變式訓(xùn)練3在整數(shù)集Z中,被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”,記為k,即k5nk|nZ,k0,1,2,3,4給出如下四個結(jié)論:2 0161;33;Z01234;“整數(shù)a,b屬于同一類”的充要條件是“ab0”其中,正確結(jié)論的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案C解析對于:2 01654031,2 0161,故正確;對于:35(1)2,32,故不正確;對于:整數(shù)集Z被5除,所得余數(shù)共分為五類Z01234,故正確;對于:若整數(shù)a,b屬于同一類,則a5n1k,b5n2k,ab5n1k(5n2k)5(n1n2)5n,ab0,若ab0,則ab5n,即ab5n,故a與b被5除的余數(shù)為同一個數(shù),a與b屬于同一類,所以“整數(shù)a,b屬于同一類”的充要條件是“ab0”,故正確,正確結(jié)論的個數(shù)是3.高考題型精練1(2015天津)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8,集合A2,3,5,6,集合B1,3,4,6,7,則集合A(UB)等于()A2,5 B3,6C2,5,6 D2,3,5,6,8答案A解析由題意知,UB2,5,8,則A(UB)2,5,選A.2(2014安徽)“x<0”是“l(fā)n(x1)<0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析ln(x1)<0,0<x1<1,1<x<0.x<0是1<x<0的必要不充分條件,故選B.3(2015陜西)設(shè)集合Mx|x2x,Nx|lg x0,則MN等于()A0,1 B(0,1C0,1) D(,1答案A解析由題意得M0,1,N(0,1,故MN0,1,故選A.4(2014山東)設(shè)集合Ax|x1|<2,By|y2x,x0,2,則AB等于()A0,2 B(1,3)C1,3) D(1,4)答案C解析由|x1|<2,解得1<x<3,由y2x,x0,2,解得1y4,AB(1,3)1,41,3)5設(shè)常數(shù)aR,集合Ax|(x1)(xa)0,Bx|xa1,若ABR,則a的取值范圍為()A(,2) B(,2C(2,) D2,)答案B解析方法一代值法、排除法當(dāng)a1時,AR,符合題意;當(dāng)a2時,因?yàn)锽1,),A(,12,)所以ABR,符合題意綜上,選B.方法二因?yàn)锽a1,),ABR,所以A(,a1),又(x1)(xa)0.所以當(dāng)a1時,xR,符合題意;當(dāng)a>1時,A(,1a,),1a1,解得1<a2;當(dāng)a<1時,A(,a1,),aa1,a<1.綜上,a2.6設(shè)集合A0,1,2,則集合Bxy|xA,yA中元素的個數(shù)是()A1 B3 C5 D9答案C解析xy的取值分別為2,1,0,1,2.7已知M,N為集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N(IM),則MN等于()AM BN CI D答案A解析如圖,因?yàn)镹(IM),所以NM,所以MNM.8在R上定義運(yùn)算:xy,若關(guān)于x的不等式(xa)(x1a)>0的解集是集合x|2x2的子集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A2a2 B1a1C2a1 D1a2答案C解析因?yàn)?xa)(x1a)>0,所以>0,即a<x<a1,則a2且a12,即2a1.9已知集合Ax|ylg(xx2),Bx|x2cx<0,c>0,若AB,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()A(0,1 B1,)C(0,1) D(1,)答案B解析Ax|ylg(xx2)x|xx2>0(0,1),Bx|x2cx<0,c>0(0,c),因?yàn)锳B,畫出數(shù)軸,如圖所示,得c1.應(yīng)選B.10已知a,b均為實(shí)數(shù),設(shè)集合Ax|axa,Bx|bxb,且A、B都是集合x|0x1的子集如果把nm叫做集合x|mxn的“長度”,那么集合AB的“長度”的最小值是_答案解析,0a,b1,利用數(shù)軸分類討論可得集合AB的“長度”的最小值為.11對任意兩個集合M、N,定義:MNx|xM,且xN,M*N(MN)(NM),設(shè)My|yx2,xR,Ny|y3sin x,xR,則M*N_.答案y|y>3或3y<0解析My|yx2,xRy|y0,Ny|y3sin x,xRy|3y3,MNy|y>3,NMy|3y<0,M*N(MN)(NM)y|y>3y|3y<0y|y>3或3y<012已知集合Ax|x23x20,集合By|yx22xa,集合Cx|x2ax40命題p:AB;命題q:AC.(1)若命題p為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若命題pq為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)A1,2,Ba1,),若p為假命題,則AB,故a1>2,即a>3.(2)命題p為真,則a3.命題q為真,即轉(zhuǎn)化為當(dāng)x1,2時,f(x)x2ax40恒成立,方法一解得a0.方法二當(dāng)x1,2時,ax恒成立,而x在1,2上單調(diào)遞增,故amax0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,3