2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（二）

2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（二）例1 數(shù)一數(shù)，圖31中共有多少點(diǎn)？解：（1）方法1：如圖32所示從上往下一層一層數(shù)：第一層 1個第二層 2個第三層 3個第四層 4個第五層 5個第六層 6個第七層 7個第八層 8個第九層 9個第十層 10個第十一層 9個第十二層 8個第十三層 7個第十四層 6個第十五層 5個第十六層 4個第十七層 3個第十八層 2個第十九層 1個總數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已學(xué)過的知識計(jì)算）。（2）方法2：如圖33所示：從上往下，沿折線數(shù)第一層 1個第二層 3個第三層 5個第四層 7個第五層 9個第六層 11個第七層 13個第八層 15個第九層 17個第十層 19個總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已學(xué)過的知識計(jì)算）。（3）方法3：把點(diǎn)群的整體轉(zhuǎn)個角度，成為如圖34所示的樣子，變成為10行10列的點(diǎn)陣。顯然點(diǎn)的總數(shù)為10×10=100（個）。想一想：數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)，有時有不同的方法，需要多動腦筋。由方法1和方法3得出下式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10即等號左邊這樣的一串?dāng)?shù)之和等于中間數(shù)的自乘積。由此我們猜想：1=1×11+2+1=2×21+2+3+2+1=3×31+2+3+4+3+2+1=4×41+2+3+4+5+4+3+2+1=5×51+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×61+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×71+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×81+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×91+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10這樣的等式還可以一直寫下去，能寫出很多很多。同學(xué)們可以自己檢驗(yàn)一下，看是否正確，如果正確我們就發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。由方法2和方法3也可以得出下式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10。即從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的自乘積。由此我們猜想：1+3=2×21+3+5=3×31+3+5+7=4×41+3+5+7+9=5×51+3+5+7+9+11=6×61+3+5+7+9+11+13=7×71+3+5+7+9+11+13+15=8×81+3+5+7+9+11+13+15+17=9×91+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10還可往下一直寫下去，同學(xué)們自己檢驗(yàn)一下，看是否正確，如果正確，我們就又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。例2 數(shù)一數(shù)，圖35中有多少條線段？解：（1）我們已知，兩點(diǎn)間的直線部分是一條線段。以A點(diǎn)為共同端點(diǎn)的線段有：AB AC AD AE AF 5條。以B點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：BC BD BE BF 4條。以C點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：CD CE CF 3條。以D點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：DE DF 2條。以E點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：EF1條?？倲?shù)5+4+3+2+1=15條。（2）用圖示法更為直觀明了。見圖36。總數(shù)5+4+3+2+1=15（條）。想一想：由例2可知，一條大線段上有六個點(diǎn)，就有：總數(shù)=5+4+3+2+1條線段。由此猜想如下規(guī)律（見圖37）：還可以一直做下去?？傊?，線段總條線是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比總數(shù)小1。我們又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。它說明了點(diǎn)數(shù)與線段總數(shù)之間的關(guān)系。上面的事實(shí)也可以這樣說：如果把相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，那么一條大線段上的基本線段數(shù)和線段總條數(shù)之間的關(guān)系是：線段總條數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本線段的條數(shù)（見圖38）?；揪€段數(shù) 線段總條數(shù)還可以一直寫下去，同學(xué)們可以自己試試看。例3 數(shù)一數(shù)，圖39中共有多少個銳角？解：（1）我們知道，圖中任意兩條從O點(diǎn)發(fā)出的射線都組成一個銳角。所以，以O(shè)A邊為公共邊的銳角有：LAOB，AOC，AOD，AOE，AOF共5個。以O(shè)B邊為公共邊的銳角有：BOC，BOD，BOE，BOF共4個。以O(shè)C邊為公共邊的銳角有：COD，COE，COF共3個。以O(shè)D邊為公共邊的銳角有：DOE，DOF共2個。以O(shè)E邊為一邊的銳角有：EOF只1個。銳角總數(shù)5+4+3+2+115（個）。用圖示法更為直觀明了：如圖310所示，銳角總數(shù)為：5+4+3+2+1=15（個）。想一想：由例3可知：由一點(diǎn)發(fā)出的六條射線，組成的銳角的總數(shù)=5+4+3+2+1（個），由此猜想出如下規(guī)律：（見圖31115）兩條射線1個角（見圖311）三條射線2+1個角（見圖312）四條射線3+2+1個角（見圖313）五條射線4+3+2+1個角（見圖314）六條射線5+4+3+2+1個角（見圖315）總之，角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比射線數(shù)小1。同樣，也可以這樣想：如果把相鄰兩條射線構(gòu)成的角叫做基本角，那么有共同頂點(diǎn)的基本角和角的總數(shù)之間的關(guān)系是：角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本角個數(shù)。注意，例2和例3的情況極其相似。雖然例2是關(guān)于線段的，例3是關(guān)于角的，但求總數(shù)時，它們有同樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式。同學(xué)們可以看出，一個數(shù)學(xué)式子可以表達(dá)表面上完全不同的事物中的數(shù)量關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)的魔力。附送：2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 整數(shù)的分拆例1 小兵和小軍用玩具槍做打靶游戲，見下圖所示。他們每人打了兩發(fā)子彈。小兵共打中6環(huán)，小軍共打中5環(huán)。又知沒有哪兩發(fā)子彈打到同一環(huán)帶內(nèi)，并且彈無虛發(fā)。你知道他倆打中的都是哪幾環(huán)嗎？解：已知小兵兩發(fā)子彈打中6環(huán)，要求每次打中的環(huán)數(shù)，可將6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小軍每次打中的環(huán)數(shù)，可將5分拆5=1+4=2+3。由題意：沒有哪兩發(fā)子彈打到同一環(huán)帶內(nèi)并且彈無虛發(fā)，只可能是：小兵打中的是1環(huán)和5環(huán)，小軍打中的是2環(huán)和3環(huán)。例2 某個外星人來到地球上，隨身帶有本星球上的硬幣1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想買7分錢的一件商品，他應(yīng)如何付款？買9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又將如何付款？解：這道題目的實(shí)質(zhì)是要求把7、9、10、13、14、15各數(shù)按1、2、4、8進(jìn)行分拆。7=1+2+49=1+810=2+813=1+4+814=2+4+815=1+2+4+8外星人可按以上方式付款。例3 有人以為8是個吉利數(shù)字，他們得到的東西的數(shù)量都能要夠用“8”表示才好?，F(xiàn)有200塊糖要分發(fā)給一些人，請你幫助想一個吉利的分糖方案。解：可以這樣想：因?yàn)?00的個位數(shù)是0，又知只有5個8相加才能使和的個位數(shù)字為0，這就是說，可以把200分成5個數(shù)，每個數(shù)的個位數(shù)字都應(yīng)是8。這樣由8×5=40及200-40=160，可知再由兩個8作十位數(shù)字可得80×2=160即可。最后得到下式：88+88+8+8+8=200。例4 試將100以內(nèi)的完全平方數(shù)分拆成從1開始的一串奇數(shù)之和。解：1=1×1=12=1（特例）4=2×2=22=1+39=3×3=32=1+3+516=4×4=42=1+3+5+725=5×5=52=1+3+5+7+936=6×6=62=1+3+5+7+9+1149=7×7=72=1+3+5+7+9+11+1364=8×8=82=1+3+5+7+9+11+13+1581=9×9=92=1+3+5+7+9+11+13+15+17100=10×10=102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。觀察上述各式，可得出如下猜想：一個完全平方數(shù)可以寫成從1開始的若干連續(xù)奇數(shù)之和，這個平方數(shù)就等于奇數(shù)個數(shù)的自乘積（平方）。檢驗(yàn)：把11×11=121，和12×12=144，兩個完全平方數(shù)分拆，看其是否符合上述猜想。121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23結(jié)論:上述猜想對121和144兩個完全平方數(shù)是正確的。例5 從19九個數(shù)中選取，將11寫成兩個不同的自然數(shù)之和，有多少種不同的寫法？解：將19的九個自然數(shù)從小到大排成一列：1，2，3，4，5，6，7，8，9。分析 先看最小的1和最大的9相加之和為10不符合要求。但用次大的2和最大的9相加，和為11符合要求，得11=2+9。逐個做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6?？梢姽灿?種不同的寫法。例6 將12分拆成三個不同的自然數(shù)相加之和，共有多少種不同的分拆方式，請把它們一一列出。解：可以做如下考慮：若將12分拆成三個不同的自然數(shù)之和，三個數(shù)中最小的數(shù)應(yīng)為1，其次是2，那么第三個數(shù)就應(yīng)是9得：12=1+2+9。下面進(jìn)行變化，如從9中取1加到2上，又得12=1+3+8。繼續(xù)按類似方法變化，可得下列各式：12=1+4+7=2+3+7，12=1+5+6=2+4+6。12=3+4+5。共有7種不同的分拆方式。例7 將21分拆成四個不同的自然數(shù)相加之和，但四個自然數(shù)只能從19中選取，問共有多少種不同的分拆方式，請你一一列出。解：也可以先從最大的數(shù)9考慮選取，其次選8，算一算21-（9+8）=4，所以接著只能選3和1。這樣就可以得出第一個分拆式：21=9+8+3+1，以這個分拆式為基礎(chǔ)按順序進(jìn)行調(diào)整，就可以得出所有的不同分拆方式：21=7+6+5+3以7開頭的分拆方式有1種 共有11種不同的分拆方式。例8 從112這十二個自然數(shù)中選取，把26分拆成四個不同的自然數(shù)之和。 26=8+7+6+5以8開頭的分拆方式共1種不同的分拆方式總數(shù)為：10+10+8+4+1=33種?？偨Y(jié)：由例4明顯看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必須使分拆過程按一定的順序進(jìn)行。