2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（三）

2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（三）數(shù)學(xué)家看問題，總想找規(guī)律.我們學(xué)數(shù)學(xué)，也要向他們學(xué)習(xí)。找規(guī)律，要從簡單的情況著手，仔細(xì)觀察，得到啟示，大膽猜想，找出一般規(guī)律，還要進(jìn)行驗(yàn)證，最后還需要證明（在小學(xué)階段不要求同學(xué)們進(jìn)行證明）。例1 沿直尺的邊緣把紙上的兩個點(diǎn)連起來，這個圖形就叫做線段。這兩個點(diǎn)就叫線段的端點(diǎn)，如圖811所示。不難看出，線段也可以看成是直線上兩點(diǎn)間的部分。如果一條直線上標(biāo)出11個點(diǎn)，如圖812所示，任何兩點(diǎn)間的部分都是一條線段，問共有多少條線段。解：先從簡單的情況著手。（1）畫一畫，數(shù)一數(shù)：（見圖813）（2）試著分析：2個點(diǎn)，線段條數(shù)：1=13個點(diǎn)，線段條數(shù)：3=2+14個點(diǎn)，線段條數(shù)：6=3+2+15個點(diǎn)，線段條數(shù)：10=4+3+2+1（3）大膽猜想：一條直線上有若干點(diǎn)時線段的條數(shù)總是從1開始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比點(diǎn)數(shù)小1。（4）進(jìn)行驗(yàn)證：對于更多點(diǎn)的情況，對猜想進(jìn)行驗(yàn)證，看猜想是否正確，如果正確，就增加了對猜想的信心。如：6個點(diǎn)時：對不對？對。見圖 814。線段條數(shù)：5+4+3+2+1=15（條）。（5）應(yīng)用規(guī)律：應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問題。當(dāng)直線上有11個點(diǎn)時，線段的條數(shù)應(yīng)是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（條）。例2 如圖82中（1）（5）所示兩條直線相交只有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個交點(diǎn)，那么，11條直線相交最多有多少交點(diǎn)？解：從簡單情況著手研究：（1）畫一畫、數(shù)一數(shù)圖8-2（2）試著分析：直線條數(shù) 最多交點(diǎn)數(shù)1 02 1=13 3=2+14 6=3+2+15 10=4+3+2+1（3）大膽猜想：若干條直線相交時，最多的交點(diǎn)數(shù)是從1開始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比直線條數(shù)小1。（4）進(jìn)行驗(yàn)證：見圖83。取6條直線相交，畫一畫，數(shù)一數(shù)，看一看最多交點(diǎn)個數(shù)與猜想的是否一致，若相符，則更增強(qiáng)了對猜想的信心。用猜想的算法進(jìn)行計(jì)算：最多交點(diǎn)數(shù)應(yīng)是5+4+3+2+1=15（個）。（5）應(yīng)用規(guī)律：應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問題。當(dāng)有11條直線相交時，最多的交點(diǎn)數(shù)應(yīng)是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（個）。例3 如圖84所示，一張大餅，切1刀最多切成2塊，切2刀最多切成4塊，切3刀最多切成7塊，問切10刀最多切成多少塊？解：從最簡單情況著手研究。（1）畫一畫、數(shù)一數(shù)（2）試著分析：所切刀數(shù) 切出的塊數(shù)0 11 2=1+12 4=1+1+23 7=1+1+2+34 11=1+1+2+3+4（3）大膽猜想：把一張大餅切若干刀時，切成的最多塊數(shù)等于從1開始的一串自然數(shù)相加之和加1。其中最大的自然數(shù)等于切的刀數(shù)。（4）進(jìn)行驗(yàn)證：見圖85對大餅切5刀的情況用兩種方法求解，看結(jié)果是否一致，若一致則更增強(qiáng)了對猜想的信心。數(shù)一數(shù)：16塊。算一算：1+1+2+3+4+5=16（塊）。（5）應(yīng)用規(guī)律：把大餅切10刀時，最多切成的塊數(shù)是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+55=56（塊）。附送：2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)與形相映形和數(shù)的密切關(guān)系，在古代就被人們注意到了。古希臘人發(fā)現(xiàn)的形數(shù)就是非常有趣的例子。例1 最初的數(shù)和最簡的圖相對應(yīng)。這是古希臘人的觀點(diǎn)，他們說一切幾何圖形都是由數(shù)產(chǎn)生的。例2 我國在春秋戰(zhàn)國時代就有了“洛圖”（見下圖）。圖中也是用“圓點(diǎn)”表示數(shù)，而且還區(qū)分了偶數(shù)和奇數(shù)，偶數(shù)用實(shí)心點(diǎn)表示，奇數(shù)用空心點(diǎn)表示。你能把這張圖用自然數(shù)寫出來嗎？見下圖所示，這個圖又叫九宮圖。例3 古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了“形數(shù)”的奧秘。比如他把1，3，6，10，15，叫做三角形數(shù)。因?yàn)橛脠A點(diǎn)按這些數(shù)可以堆壘成三角形，見下圖。畢達(dá)哥拉斯還從圓點(diǎn)的堆壘規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個三角形數(shù)，都可以寫成從1開始的n個自然數(shù)之和，最大的自然數(shù)就是三角形底邊圓點(diǎn)的個數(shù)。第一個數(shù)：1=1第二個數(shù)：3=1+2第三個數(shù)：6=1+2+3第四個數(shù)：10=1+2+3+4第五個數(shù)：15=1+2+3+4+5第n個數(shù)：1+2+3+4+5+n指定的三角形數(shù)。比如第100個三角形數(shù)是：例4 畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)了四角形數(shù)，見下圖。因?yàn)橛脠A點(diǎn)按四角形數(shù)可以堆壘成正方形，因此它們最受畢達(dá)哥拉斯及其弟子推崇。第一個數(shù)：1=12=1第二個數(shù)：4=22=1+3第三個數(shù)：9=32=1+3+5第四個數(shù)：16=42=1+3+5+7第五個數(shù)：25=52=1+3+5+7+9第n個數(shù)：n2=1+3+5+9+（2n-1）。四角形數(shù)（又叫正方形數(shù)）可以表示成自然數(shù)的平方，也可以表示成從1開始的幾個連續(xù)奇數(shù)之和。奇數(shù)的個數(shù)就等于正方形的一條邊上的點(diǎn)數(shù)。例5 類似地，還有四面體數(shù)見下圖。仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，四面體的每一層的圓點(diǎn)個數(shù)都是三角形數(shù)。因此四面體數(shù)可由幾個三角形數(shù)相加得到：第一個數(shù)：1第二個數(shù)：4=1+3第三個數(shù)：10=1+3+6第四個數(shù)：20=1+3+6+10第五個數(shù)：35=1+3+6+10+15。例6 五面體數(shù)，見下圖。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，五面體的每一層的圓點(diǎn)個數(shù)都是四角形數(shù)，因此五面體數(shù)可由幾個四角形數(shù)相加得到：第一個數(shù)：1=1第二個數(shù)：5=1+4第三個數(shù)：14=1+4+9第四個數(shù)：30=1+4+9+16第五個數(shù)：55=1+4+9+16+25。例7 按不同的方法對圖中的點(diǎn)進(jìn)行數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)，可以得出一系列等式，進(jìn)而可猜想到一個重要的公式。由此可以使人體會到數(shù)與形之間的耐人導(dǎo)味的微妙關(guān)系。方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)：22+2×2+1。方法2：把點(diǎn)圖看作一個整體來算32。因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出：22+2×2+1=32。方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)：32+2×3+1。方法2：把點(diǎn)圖看成一個整體來算：42。因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出：32+2×3+1=42。方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)：42+2×4+1。方法2：把點(diǎn)圖看成一個整體來算52。因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出：42+2×4+1=52。把上面的幾個等式連起來看，進(jìn)一步聯(lián)想下去，可以猜到一個一般的公式：22+2×2+1=3232+2×3+1=4242+2×4+1=52n2+2×n+1=（n+1）2。利用這個公式，也可用于速算與巧算。如：92+2×9+1=（9+1）2=102=100992+2×99+1=（99+1）2=1002=10000。