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(貴陽專用)2019中考數(shù)學總復習 第二部分 熱點專題解讀 專題六 函數(shù)的綜合探究針對訓練

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(貴陽專用)2019中考數(shù)學總復習 第二部分 熱點專題解讀 專題六 函數(shù)的綜合探究針對訓練

第二部分專題六1如圖,直線yx2與反比例函數(shù)y(k0)的圖象交于A(a,3),B(3,b)兩點,過點A作ACx軸于點C,過點B作BDx軸于點D(1)求a,b的值及反比例函數(shù)的解析式;(2)若點P在直線yx2上,且SACPSBDP,請求出此時點P的坐標;(3)在x軸正半軸上是否存在點M,使得MAB為等腰三角形?若存在,請直接寫出M點的坐標;若不存在,說明理由解:(1)直線yx2與反比例函數(shù)y(k0)的圖象交于A(a,3),B(3,b)兩點,a23,32b,解得a1,b1,A(1,3),B(3,1)點A(1,3)在反比例函數(shù)y圖象上,k1×33,反比例函數(shù)的解析式為y.(2)設點P(n,n2)A(1,3),C(1,0)B(3,1),D(3,0)SACPAC·|xPxA|×3·|n1|,SBDPBD·|xBxP|×1·|3n|.SACPSBDP,×3·|n1|×1·|3n|,解得n0或n3,P(0,2)或(3,5)(3)存在設M(m,0)(m0),A(1,3),B(3,1),MA2(m1)29,MB2(m3)21,AB232,MAB是等腰三角形,當MAMB時,(m1)29(m3)21,m0(舍);當MAAB時,(m1)2932,m1或m1(舍),M(1,0);當MBAB時,(m3)2132,m3或m3(舍),M(3,0)則滿足條件的M(1,0)或(3,0)2如圖,在平面直角坐標系中,等腰RtAOB的斜邊OB在x軸上,直線y3x4經(jīng)過等腰RtAOB的直角頂點A,交y軸于C點,雙曲線y也經(jīng)過A點,連接BC(1)求k的值;(2)判斷ABC的形狀,并求出它的面積;(3)若點P為x正半軸上一動點,在點A的右側(cè)的雙曲線上是否存在一點M,使得PAM是以點A為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由解:(1)如答圖1,過點A分別作AQy軸于Q點,ANx軸于N點答圖1AOB是等腰直角三角形,AQAN.設點A的坐標為(a,a),點A在直線y3x4上,a3a4,解得a2,則點A的坐標為(2,2)雙曲線y也經(jīng)過A點,k4.(2)由(1)知,A(2,2),B(4,0)直線y3x4與y軸的交點為C,C(0,4),AB2BC2(42)22242(4)240,AC222(24)240,AB2BC2AC2,ABC是直角三角形,且ABC90°,SABCAB·BC×2×48.(3)存在如答圖2,假設雙曲線上存在一點M,使得PAM是等腰直角三角形答圖2PAM90°OAB,APAM,連接BM.k4,反比例函數(shù)的解析式為y.OABPAM90°,OAPBAM.在AOP和ABM中,AOPABM(ASA),AOPABM,OBMOBAABM90°,點M的橫坐標為4,M(4,1)則在雙曲線上存在一點M(4,1),使得PAM是以點A為直角頂點的等腰三角形3如圖,一次函數(shù)ykxb的圖象與反比例函數(shù)y(x0)的圖象交于點P(n,2),與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點C,PBx軸于點B,點A與點B關于y軸對稱(1)求一次函數(shù),反比例函數(shù)的解析式;(2)求證:點C為線段AP的中點;(3)反比例函數(shù)圖象上是否存在點D,使四邊形BCPD為菱形?如果存在,說明理由并求出點D的坐標;如果不存在,說明理由解:(1)點A與點B關于y軸對稱,AOBO.A(4,0),B(4,0)PBx軸于點B,P(4,2)把P(4,2)代入反比例函數(shù)解析式可得m8,反比例函數(shù)的解析式為y.把A,P兩點坐標分別代入一次函數(shù)解析式可得解得一次函數(shù)的解析式為yx1.(2)證明:點A與點B關于y軸對稱,OAOBPBx軸于點B,PBACOA90°,PBCO,點C為線段AP的中點(3)存在點D,使四邊形BCPD為菱形理由如下:點C為線段AP的中點,BCAPPC,BC和PC是菱形的兩條邊由yx1可得C(0,1)如答圖,過點C作CDx軸,交PB于點E,交反比例函數(shù)圖象于點D,分別連接PD,BD,答圖D(8,1),且PBCD,PEBE1,CEDE4,PB與CD互相垂直平分,即四邊形BCPD為菱形,存在滿足條件的點D,其坐標為(8,1)4(2018·金華)如圖,四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數(shù)y與y(x0,0mn)的圖象上,對角線BDy軸,且BDAC于點P.已知點B的橫坐標為4.(1)當m4,n20時若點P的縱坐標為2,求直線AB的函數(shù)表達式若點P是BD的中點,試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由(2)四邊形ABCD能否成為正方形?若能,求此時m,n之間的數(shù)量關系;若不能,試說明理由解:(1)如答圖1.m4,反比例函數(shù)y的解析式為y.當x4時,y1,B(4,1),當y2時,2,解得x2,A(2,2)設直線AB的解析式為ykxb,將A(2,2),B(4,1)兩點分別代入,得解得直線AB的函數(shù)表達式為yx3.四邊形ABCD是菱形理由如下:如答圖2,由知,B(4,1),BDy軸,D(4,5)點P是線段BD的中點,P(4,3)當y3時,由y得x,由y得x,PA4,PC4,PAPCPBPD,四邊形ABCD為平行四邊形,BDAC,四邊形ABCD是菱形圖1圖2答圖(2)四邊形ABCD能成為正方形理由:當四邊形ABCD是正方形時,則PAPBPCPD(設為t,t0),當x4時,y,B(4,),A(4t,t),C(4t,t),(4t)(t)m,t4,C(8,4),(8)×4n,mn32.點D的縱坐標為2t2(4)8,D(4,8),4(8)n,mn32.5如圖,已知一次函數(shù)y1k1xb的圖象與x軸,y軸分別交于A,B兩點,與反比例函數(shù)y2的圖象分別交于C,D兩點,點D(2,3),OA2.(1)求一次函數(shù)y1k1xb與反比例函數(shù)y2的解析式;(2)直接寫出k1xb0時自變量x的取值范圍;(3)動點P(0,m)在y軸上運動,當|PCPD|的值最大時,直接寫出P點的坐標解:(1)點D(2,3)在反比例函數(shù)y2的圖象上,k22×(3)6,y2.如答圖,過點D作DEx軸于E.答圖OA2,A(2,0),A(2,0),D(2,3)在y1k1xb的圖象上,解得y1x.(2)由圖可得,當k1xb0時,x4或0x2.(3)P點坐標為(0,)理由如下:由解得或C(4,),如答圖,作C(4,)關于y軸對稱點C(4,),延長CD交y軸于點P,由C和D的坐標可得,直線CD解析式為yx,令x0,則y,當|PCPD|的值最大時,點P的坐標為(0,)6如圖1,直線ykxb與雙曲線y(x0)相交于點A(1,m),B(4,n),與x軸相交于C點(1)求點A,B的坐標及直線ykxb的解析式;(2)求ABO的面積;(3)如圖2,在x軸上是否存在點P,使得PAPB的和最?。咳舸嬖?,請說明理由并求出P點坐標解:(1)點A(1,m),B(4,n)在雙曲線y(x0)上,m4,n1,A(1,4),B(4,1),解得直線ykxb的解析式為yx5.(2)如答圖1,設直線AB與y軸交于D點,由(1)知,直線AB的解析式為yx5,C(5,0),D(0,5),OC5,OD5.SAOBSCODSAODSBOC×5×5×5×1×5×1.(3)存在,理由:如答圖2,作點B(4,1)關于x軸的對稱點B(4,1),連接AB交x軸于點P,連接BP,在x軸上取一點Q,連接AQ,BQ.點B與點B關于x軸對稱,點P,Q是BB中垂線上的點,PBPB,QBQB,在AQB中,AQBQAB,APBP的最小值為AB.A(1,4),B(4,1),直線AB的解析式為yx,令y0,則0x,解得x,P(,0)7如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左邊,與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點,且A(6,0),D(2,8)(1)求拋物線的解析式;(2)點P是直線AC下方的拋物線上一動點,不與點A,C重合,過點P作x軸的垂線交于AC于點E,求線段PE的最大值及P點坐標;(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得ACM為直角三角形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由解:(1)設拋物線的解析式為ya(x2)28,把A(6,0)代入得a(62)280,解得a.拋物線的解析式為y(x2)28,即yx22x6.(2)如答圖,當x0時,yx22x66,則C(0,6)設直線AC的解析式為ykxb,把A(6,0),C(0,6)分別代入得解得直線AC的解析式為yx6.設P(x,x22x6)(6x0),則E(x,x6)PEx6(x22x6)x23x(x3)2,當x3時,PE的長度有最大值,最大值為,此時點P的坐標為(3,)(3)存在如答圖,拋物線的對稱軸為直線x2,設M(2,t)A(6,0),C(0,6),AC2626272,AM2(26)2t2,CM2(2)2(t6)2.當AC2AM2CM2,ACM為直角三角形,即72(26)2t2(2)2(t6)2,解得t4,此時點M坐標為(2,4);當AC2CM2AM2時,ACM為直角三角形,即72(2)2(t6)2(26)2t2,解得t8,此時點M的坐標為(2,8);當CM2AM2AC2時,ACM為直角三角形,即(2)2(t6)2(26)2t272,解得t13,t23,此時點M的坐標為(2,3)或(2,3)綜上所述,點M的坐標為(2,4)或(2,8)或(2,3)或(2,3)8(2018·泰安)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)yax2bxc的圖象交x軸于點A(4,0),B(2,0),交y軸于點C(0,6),在y軸上有一點E(0,2),連接AE.(1)求二次函數(shù)的表達式;(2)若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點,求ADE面積的最大值;(3)拋物線對稱軸上是否存在點P,使AEP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有P點的坐標,若不存在,請說明理由解:(1)二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過點A(4,0),B(2,0),C(0,6),解得二次函數(shù)的表達式為yx2x6. (2)由A(4,0),E(0,2)可得AE所在的直線解析式為yx2,過點D作DFx軸,交AE于點F,交x軸于點G,過點E作EHDF,垂足為H,如答圖,設D(m,m2m6),則點F(m,m2),DFm2m6(m2)m2m8,SADESADFSEDF·DF·AG·DF·EH×DF·(AGHE)×DF×42×(m2m8)(m)2,當m時,SADE最大,最大值為.(3)存在,P點的坐標為(1,1)或(1,±)或(1,2±)【解法提示】yx2x6的對稱軸為直線x1,設P(1,n),又E(0,2),A(4,0),可得PA,PE,AE2,當PAPE時,解得n1,此時P(1,1);當PAAE時,2,解得n±,此時P點的坐標為(1,±);當PEAE時,2,解得n2±,此時P點的坐標為(1,2±),綜上所述,P點的坐標為(1,1)或(1,±)或(1,2±)9如圖,已知拋物線yx2bxc經(jīng)過點A(1,0),B(3,0),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,對稱軸與x軸相交于點E,連接BD(1)求拋物線的解析式(2)若點P在直線BD上,當PEPC時,求點P的坐標(3)在(2)的條件下,作PFx軸于F,點M為x軸上一動點,N為直線PF上一動點,G為拋物線上一動點,當以點F,N,G,M四點為頂點的四邊形為正方形時,求點M的坐標解:(1)拋物線yx2bxc經(jīng)過點A(1,0),B(3,0),解得即拋物線的解析式為yx22x3.(2)由(1)知,拋物線的解析式為yx22x3,C(0,3),拋物線的頂點坐標為D(1,4),E(1,0)設直線BD的解析式為ymxn,解得直線BD的解析式為y2x6.設點P(a,2a6)C(0,3),E(1,0),根據(jù)勾股定理得,PE2(a1)2(2a6)2,PC2a2(2a63)2.PCPE,(a1)2(2a6)2a2(2a63)2,解得a2,y2×(2)62,P(2,2)(3)如答圖,作PFx軸于F,F(xiàn)(2,0)設M(d,0),G(d,d22d3),N(2,d22d3)以點F,N,G,M四點為頂點的四邊形為正方形,必有FMMG,|d2|d22d3|,解得d或,點M的坐標為(,0),(,0),(,0)或(,0)10(2018·岳陽)已知拋物線F:yx2bxc經(jīng)過坐標原點O,且與x軸另一交點為(,0)圖1圖2(1)求拋物線F的解析式;(2)如圖1,直線l:yxm(m0)與拋物線F相交于點A(x1,y1)和點B(x2,y2)(點A在第二象限),求y2y1的值(用含m的式子表示);(3)在(2)中,若m,設點A是點A關于原點O的對稱點,如圖2.判斷AAB的形狀,并說明理由;平面內(nèi)是否存在點P,使得以點A,B,A,P為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由解:(1)拋物線yx2bxc經(jīng)過點(0,0)和(,0),解得拋物線F的解析式為yx2x.(2)將yxm代入yx2x,得x2m,解得x1,x2,y1m,y2m,y2y1(m)(m)(m0)(3)如答圖,m,點A的坐標為(,),點B的坐標為(,2)點A是點A關于原點O的對稱點,點A的坐標為(,)AAB為等邊三角形理由如下:A(,),B(,2),A(,),AA,AB,AB,AAABAB,AAB為等邊三角形存在AAB為等邊三角形,以點A,B,A,P為頂點的菱形分三種情況,設點P的坐標為(x,y)如答圖a當AB為對角線時,有解得點P的坐標為(2,)b當AB為對角線時,有解得點P的坐標為(,)c當AA為對角線時,有解得點P的坐標為(,2)綜上所述,平面內(nèi)存在點P,使得以點A,B,A,P為頂點的四邊形是菱形,點P的坐標為(2,),(,)或(,2)11(2018·永州)如圖1,拋物線的頂點A的坐標為(1,4),拋物線與x軸相交于B,C兩點,與y軸交于點E(0,3)圖1 圖2(1)求拋物線的表達式;(2)已知點F(0,3),在拋物線的對稱軸上是否存在一點G,使得EGFG最小?如果存在,求出點G的坐標;如果不存在,請說明理由(3)如圖2,連接AB,若點P是線段OE上的一動點,過點P作線段AB的垂線,分別與線段AB,拋物線相交于點M,N(點M,N都在拋物線對稱軸的右側(cè)),當MN最大時,求PON的面積解:(1)設拋物線的表達式為ya(x1)24.把(0,3)代入得3a(01)24,解得a1,故拋物線的表達式為y(x1)24x22x3.(2)存在如答圖1,作E關于對稱軸的對稱點E,連接EF交對稱軸于G,此時EGFG的值最小E(0,3),E(2,3),易得直線EF的解析式為y3x3,當x1時,y3×130,G(1,0)圖1 圖2(3)如答圖2,過N作NHx軸于H,交AB于Q,設對稱軸交x軸于D,A(1,4),B(3,0),直線AB的解析式為y2x6,設N(m,m22m3),則Q(m,2m6)(1m3),NQ(m22m3)(2m6)m24m3.ADNH,DABNQM.ADBQMN90°,QMNADB,即,MN(m2)2.0,當m2時,MN有最大值過N作NIy軸于I,IPNABD,NIPADB90°,NIPADB,PINIm,OPOIPIm22m3mm2m3,SPONOP·IN(m2m3)·m,當m2時,SPON×(433)×22.12(2018·東營)如圖,拋物線ya(x1)(x3)(a>0)與x軸交于A,B兩點,拋物線上另有一點C在x軸下方,且使OCAOBC(1)求線段OC的長度;(2)設直線BC與y軸交于點M,點C是BM的中點時,求直線BM和拋物線的解析式;(3)在(2)的條件下,直線BC下方拋物線上是否存在一點P,使得四邊形ABPC面積最大?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由解:(1)當y0時,a(x1)(x3)0,解得x11,x23,即A(1,0),B(3,0),OA1,OB3.OCAOBC,OCOBOAOC,OC2OA·OB3,則OC.(2)C是BM的中點,即OC為RtOBM斜邊BM的中線,OCBC,點C的橫坐標為.又OC,點C在x軸下方,C(,)設直線BM的解析式為ykxb,把點B(3,0),C(,)代入,得解得直線BM的解析式為yx.又點C(,)在拋物線上,將C(,)代入拋物線的解析式,解得a,拋物線的解析式為yx2x2.(3)存在如答圖,過點P作PQx軸交直線BM于點Q,設點P的坐標為(x,x2x2),則Q(x,x),PQx(x2x2)x23x3,當BCP面積最大時,四邊形ABPC的面積最大,SBCPPQ(3x)PQ(x)PQx2x,當x時,SBCP有最大值,則四邊形ABPC的面積最大,此時點P的坐標為(,)17

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