（江西專用）2019中考數(shù)學總復習 第二部分 專題綜合強化 專題五 幾何探究題 類型1 針對訓練

第二部分專題五 類型一1(2018·南昌模擬)我們定義：有一組鄰角相等且對角線相等的凸四邊形叫做鄰對等四邊形概念理解(1)我們所學過的特殊四邊形中的鄰對等四邊形是矩形或正方形；性質(zhì)探究(2)如圖1，在鄰對等四邊形ABCD中，ABCDCB ，ACDB ，AB>CD，求證：BAC與CDB互補；拓展應用(3)如圖2，在四邊形ABCD中，BCD2B，ACBC5，AB6，CD4.在BC的延長線上是否存在一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形？如果存在，求出DE的長；如果不存在，說明理由(1)解：矩形或正方形(2)證明：如答圖1，延長CD至E，使CEBA，連接BE.在ABC和ECB中，ABCECB(SAS)，BECA，BACE.ACDB，BDBE，BDEE，CDBBDECDBEBACCDB180°，即BAC與CDB互補(3)解：存在這樣一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形，如答圖2，在BC的延長線上取一點E，使得CECD4，連接DE，AE，BD，則四邊形ABED為鄰對等四邊形理由如下：CECD，CDECED.BCD2ABC，ABCDEB，ACEBCD.在ACE和BCD中，ACEBCD(SAS)，BDAE，四邊形ABED為鄰對等四邊形CBACABCDECED，ABCDEC，DE.2(2018·淮安)如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足290°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”(1)若ABC是“準互余三角形”，C90°，A60°，則B15°；(2)如圖1，在RtABC中，ACB90°，AC4，BC5.若AD是BAC的平分線，不難證明ABD是“準互余三角形”試問在邊BC上是否存在點E(異于點D)，使得ABE也是“準互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AB7，CD12，BDCD，ABD2BCD，且ABC是“準互余三角形”，求對角線AC的長解：(1)ABC是“準互余三角形”，C90°，A60°，2BA90°，解得B15°.(2)如答圖1，在RtABC中，BBAC90°，BAC2BAD，B2BAD90°，ABD是“準互余三角形”ABE也是“準互余三角形”，只有2BBAE90°.BBAEEAC90°，CAEB.CC90°，CAECBA，CA2CE·CB，CE，BE5.(3)如答圖2，將BCD沿BC翻折得到BCF，CFCD12，BCFBCD，CBFCBD.ABD2BCD，BCDCBD90°，ABDDBCCBF180°，點A，B，F(xiàn)共線，AACF90°，2ACBCAB90°，只有2BACACB90°，F(xiàn)CBFAC.FF，F(xiàn)CBFAC，CF2FB·FA，設FBx，則有x(x7)122，x9或x16(舍去)，AF7916，在RtACF中，AC20.3(2015·江西)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是ABC的中線，AFBE，垂足為P，像ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”，設BCa，ACb，ABc.特例探索(1)如圖1，當ABE45°，c2時，a_2_，b_2_.如圖2，當ABE30°，c4時，a_2_，b_2_.歸納證明(2)請你觀察(1)中的計算結果，猜想a2，b2，c2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關系式拓展應用(3)如圖4，在ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點，BEEG，AD2，AB3，求AF的長解：(1)AFBE，ABE45°，APBPAB2.AF，BE是ABC的中線，EFAB，EFAB，PFEPEF45°，PEPF1.在RtFPB和RtPEA中，AEBF，ACBC2，ab2.如答圖1，連接EF.同理可得EF×42.EFAB，PEFPBA，.在RtABP中，AB4，ABP30°，AP2，PB2，PF1，PE.在RtAPE和RtBPF中，AE，BF，a2，b2.(2)猜想：a2b25c2，證明如下：如答圖2，連接EF.設ABP，APcsin，PBccos，由(1)同理可得PFPA，PEPB，AE2AP2PE2c2sin2，BF2PB2PF2c2cos2，()2c2sin2，()2c2cos2，c2cos2c2sin2，a2b25c2.(3)如答圖3，連接AC，EF交于點H，AC與BE交于點Q，設BE與AF的交點為P.點E，G分別是AD，CD的中點，EGAC.BEEG，BEAC.四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ADBC2，EAHFCH.E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，AEAD，BFBC，AEBFCFAD.AEBF，四邊形ABFE是平行四邊形，EFAB3，APPF.在AEH和CFH中，AEHCFH，EHFH，EP，AH分別是AFE的中線，由(2)的結論得AF2EF25AE2，AF25()2EF216，AF4.或連接F與AB的中點M，證MF垂直BP，構造出“中垂三角形”，由AB3，BCAD及(2)中的結論，直接可求AF.4(2017·江西)我們定義：如圖1，在ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(0°180°)得到AB，把AC繞點A逆時針旋轉得到AC，連接BC.當180°時，我們稱ABC是ABC的“旋補三角形”，ABC邊BC上的中線AD叫做ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”特例感知(1)在圖2，圖3中，ABC是ABC的“旋補三角形”，AD是ABC的“旋補中線”如圖2，當ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關系為ADBC；如圖3，當BAC90°，BC8時，則AD長為4.猜想論證(2)在圖1中，當ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關系，并給予證明拓展應用(3)如圖4，在四邊形ABCD，C90°，D150°，BC12，CD2，DA6.在四邊形內(nèi)部是否存在點P，使PDC是PAB的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求PAB的“旋補中線”長；若不存在，說明理由圖1 圖2 圖3 圖4解：(1)ABC是等邊三角形，ABBCACABAC.DBDC，ADBC.BAC60°，BACBAC180°，BAC120°，BC30°，ADABBC.BAC90°，BACBAC180°，BACBAC90°.ABAB，ACAC，BACBAC，BCBC.BDDC，ADBCBC4.(2)結論：ADBC.證明如下：如答圖1，延長AD到M，使得ADDM，連接BM，CM.BDDC，ADDM，四邊形ACMB是平行四邊形，ACBMAC.第4題答圖1BACBAC180°，BACABM180°，BACMBA.ABAB，BACABM，BCAM，ADBC.(3)存在理由：如答圖2，延長AD交BC的延長線于M，作BEAD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA，PD，PC，作PCD的中線PN，第4題答圖2連接DF交PC于O.ADC150°，MDC30°.在RtDCM中，CD2，DCM90°，MDC30°，CM2，DM4，M60°.在RtBEM中，BEM90°，BM14，MBE30°，EMBM7，DEEMDM3.AD6，AEDE.BEAD，PAPD，PBPC.在RtCDF中，CD2，CF6，tanCDF，CDF60°CPF，易證FCPCFD，CDPF.CDPF.四邊形CDPF是矩形，CDP90°，ADPADCCDP60°，ADP是等邊三角形，ADP60°.BPFCPF60°，BPC120°，APDBPC180°，PDC是PAB的“旋補三角形”在RtPDN中，PDN90°，PDAD6，DN，PN.8