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蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊第3章 勾股定理 同步練習(xí)

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蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊第3章 勾股定理 同步練習(xí)

勾股定理及其應(yīng)用練習(xí)11如圖,在ABC中,ABAC,BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,E為AB的中點(diǎn),若BC12,AD8,則DE的長為第1題第2題第4題2“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理,如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若a4,b3,則大正方形的面積是3在ABC中,已知AB45°,BC3,則AB42002年8月,在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖1),且大正方形的面積是15,小正方形的面積是3,直角三角形的較短直角邊為a,較長直角邊為b如果將四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放,那么圖2中最大的正方形的面積為5閱讀下列內(nèi)容:設(shè)a,b,c是一個(gè)三角形的三條邊的長,且a是最長邊,我們可以利用a,b,c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個(gè)三角形的形狀:若a2b2+c2,則該三角形是直角三角形;若a2b2+c2,則該三角形是鈍角三角形;若a2b2+c2,則該三角形是銳角三角形例如:若一個(gè)三角形的三邊長分別是4,5,6,則最長邊是6,623642+52,故由可知該三角形是銳角三角形,請解答以下問題:(1)若一個(gè)三角形的三邊長分別是7,8,9,則該三角形是三角形(2)若一個(gè)三角形的三邊長分別是5,12,x,且這個(gè)三角形是直角三角形,求x的值6我們知道,以3,4,5為邊長的三角形是直角三角形,稱3,4,5為勾股數(shù)組,記為(3,4,5),可以看作(221,2×2,22+1);同時(shí)8,6,10也為勾股數(shù)組,記為(8,6,10),可以看作(321,2×3,32+1)類似的,依次可以得到第三個(gè)勾股數(shù)組(15,8,17)(1)請你根據(jù)上述勾股數(shù)組規(guī)律,寫出第5個(gè)勾股數(shù)組;(2)若設(shè)勾股數(shù)組中間的數(shù)為2n(n2,且n為整數(shù)),根據(jù)上述規(guī)律,請直接寫出這組勾股數(shù)組7一塊木板如圖所示,已知AB4,BC3,DC12,AD13,B90°,求此木板的面積8如圖,在筆直的鐵路上A,B兩點(diǎn)相距20km,C,D為兩村莊,DA8km,CB14km,DAAB于A,CBAB于B現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E,使得C,D兩村到E站的距離相等,求AE的長參考答案1如圖,在ABC中,ABAC,BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,E為AB的中點(diǎn),若BC12,AD8,則DE的長為5【解答】解:ABAC,AD平分BAC,ADBC,BDCD6,ADB90°,AB10,AEEB,DEAB5,故答案為52“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理,如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若a4,b3,則大正方形的面積是25【解答】解:由勾股定理可知大正方形的邊長5,大正方形的面積為25,故答案為253在ABC中,已知AB45°,BC3,則AB3【解答】解:AB45°,ACBC3,C90°,AB3,故答案為342002年8月,在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖1),且大正方形的面積是15,小正方形的面積是3,直角三角形的較短直角邊為a,較長直角邊為b如果將四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放,那么圖2中最大的正方形的面積為27【解答】解:由題意可得在圖1中:a2+b215,(ba)23,圖2中大正方形的面積為:(a+b)2,(ba)23a22ab+b23,152ab32ab12,(a+b)2a2+2ab+b215+1227,故答案為:275閱讀下列內(nèi)容:設(shè)a,b,c是一個(gè)三角形的三條邊的長,且a是最長邊,我們可以利用a,b,c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個(gè)三角形的形狀:若a2b2+c2,則該三角形是直角三角形;若a2b2+c2,則該三角形是鈍角三角形;若a2b2+c2,則該三角形是銳角三角形例如:若一個(gè)三角形的三邊長分別是4,5,6,則最長邊是6,623642+52,故由可知該三角形是銳角三角形,請解答以下問題:(1)若一個(gè)三角形的三邊長分別是7,8,9,則該三角形是銳角三角形(2)若一個(gè)三角形的三邊長分別是5,12,x,且這個(gè)三角形是直角三角形,求x的值【解答】解:(1)72+82113,9281,9272+82,該三角形是銳角三角形,故答案為:銳角;(2)當(dāng)最長邊是12時(shí),x;當(dāng)最長邊是x時(shí),x13,即x13或6我們知道,以3,4,5為邊長的三角形是直角三角形,稱3,4,5為勾股數(shù)組,記為(3,4,5),可以看作(221,2×2,22+1);同時(shí)8,6,10也為勾股數(shù)組,記為(8,6,10),可以看作(321,2×3,32+1)類似的,依次可以得到第三個(gè)勾股數(shù)組(15,8,17)(1)請你根據(jù)上述勾股數(shù)組規(guī)律,寫出第5個(gè)勾股數(shù)組;(2)若設(shè)勾股數(shù)組中間的數(shù)為2n(n2,且n為整數(shù)),根據(jù)上述規(guī)律,請直接寫出這組勾股數(shù)組【解答】解:(1)上述四組勾股數(shù)組的規(guī)律是:32+4252,62+82102,82+152172,即(n21)2+(2n)2(n2+1)2,所以第5個(gè)勾股數(shù)組為(12,35,37)(2)勾股數(shù)為n21,2n,n2+17一塊木板如圖所示,已知AB4,BC3,DC12,AD13,B90°,求此木板的面積【解答】解:連接AC,在ABC中,AB4,BC3,B90°,AC5,在ACD中,AC5,DC12,AD13,DC2+AC2122+52169,AD2132169,DC2+AC2AD2,ACD為直角三角形,AD為斜邊,木板的面積為:SACDSABC×5×12×3×424答:此木板的面積為248如圖,在筆直的鐵路上A,B兩點(diǎn)相距20km,C,D為兩村莊,DA8km,CB14km,DAAB于A,CBAB于B現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E,使得C,D兩村到E站的距離相等,求AE的長【解答】解:設(shè)AEx,則BE20x,由勾股定理得:在RtADE中,DE2AD2+AE282+x2,在RtBCE中,CE2BC2+BE2142+(20x)2,由題意可知:DECE,所以:82+x2142+(20x)2,解得:x13.3所以,E應(yīng)建在距A點(diǎn)13.3km練習(xí)21圖中陰影部分是一個(gè)正方形,則此正方形的面積為cm2第1題第2題第3題第4題2如圖,每個(gè)小正方形的邊長為1,在ABC中,點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),則線段CD的長為3如圖,池塘邊一棵垂直于水面BM的筆直大樹AB在點(diǎn)C處折斷,AC部分倒下,點(diǎn)A與水面上的點(diǎn)E重合,部分沉入水中后,點(diǎn)A與水中的點(diǎn)F重合,CF交水面于點(diǎn)D,DF2m,CEB30°,CDB45°,求CB部分的高度為m4九章算術(shù)第九章勾股篇中記載:“今有開門去閫(kun)一尺,不合二寸,問門廣幾何?”其大意是:今推開雙門,門框到門檻的距離(稱為“去閫”)DF為一尺,雙門之間的縫隙(稱為“不合”)EF即為2寸(注:一尺為10寸),則門寬AB為尺5如圖一根竹子長為16米,折斷后竹子頂端落在離竹子底端8米處,折斷處離地面高度是米6如圖,小明將升旗的繩子拉到旗桿底端,并在繩子上打了一個(gè)結(jié),然后將繩子拉到離旗桿底端9米處,發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約3米,請算出旗桿的高度7勾股定理是數(shù)學(xué)中最常見的定理之一,熟練的掌握勾股數(shù),對迅速判斷、解答題目有很大幫助,觀察下列幾組勾股數(shù):(1)你能找出它們的規(guī)律嗎?(填在上面的橫線上)(2)你能發(fā)現(xiàn)a,b,c之間的關(guān)系嗎?(3)對于偶數(shù),這個(gè)關(guān)系(填“成立”或“不成立”)(4)你能用以上結(jié)論解決下題嗎?20192+20202×10092(2020×1009+1)28如圖,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),AOC60°,將一把含有45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,直角邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方(1)將圖中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖的位置,使得MOB90°,此時(shí)CON角度為度;(2)將上述直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖的位置,當(dāng)ON恰好平分AOC時(shí),求AOM的度數(shù);(3)若這個(gè)直角三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到斜邊ON在AOC的內(nèi)部時(shí)(ON與OC、OA不重合),試探究AOM與CON之間滿足什么等量關(guān)系,并說明理由9如圖所示,已知ABC中,AB8cm,AC6cm,BC10cm分別以三邊AB,AC及BC為直徑向外作半圓,求陰影部分的面積參考答案1圖中陰影部分是一個(gè)正方形,則此正方形的面積為81cm2【解答】解:正方形的邊長為(cm),此正方形的面積為9281(cm2),故答案為:812如圖,每個(gè)小正方形的邊長為1,在ABC中,點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),則線段CD的長為【解答】解:AC2,BC3,AB,AC2+BC2AB2,ACB90°,ADDB,CDAB,故答案為3如圖,池塘邊一棵垂直于水面BM的筆直大樹AB在點(diǎn)C處折斷,AC部分倒下,點(diǎn)A與水面上的點(diǎn)E重合,部分沉入水中后,點(diǎn)A與水中的點(diǎn)F重合,CF交水面于點(diǎn)D,DF2m,CEB30°,CDB45°,求CB部分的高度為(2+)m【解答】解:設(shè)CB部分的高度為xmBDCBCD45°,BCBDxm在RtBCD中,CDx(m)在RtBCE中,BEC30°,CE2BC2x(m)CECFCD+DF,2xx+2,解得:x2+BC(2+)(m)答:CB部分的高度約為(2+)m,故答案為:(2+)4九章算術(shù)第九章勾股篇中記載:“今有開門去閫(kun)一尺,不合二寸,問門廣幾何?”其大意是:今推開雙門,門框到門檻的距離(稱為“去閫”)DF為一尺,雙門之間的縫隙(稱為“不合”)EF即為2寸(注:一尺為10寸),則門寬AB為10.1尺【解答】解:設(shè)單門的寬度是x米,根據(jù)勾股定理,得x21+(x0.1)2,解得:x5.05,則2x10.1尺,故答案為:10.15如圖一根竹子長為16米,折斷后竹子頂端落在離竹子底端8米處,折斷處離地面高度是6米【解答】解:設(shè)竹子折斷處離地面x米,則斜邊為(16x)米,根據(jù)勾股定理得:x2+82(16x)2解得:x6折斷處離地面高度是6米,故答案為:66如圖,小明將升旗的繩子拉到旗桿底端,并在繩子上打了一個(gè)結(jié),然后將繩子拉到離旗桿底端9米處,發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約3米,請算出旗桿的高度【解答】解:設(shè)旗桿的高度為x米,根據(jù)勾股定理,得x2+92(x+3)2,解得:x12;答:旗桿的高度為12米7勾股定理是數(shù)學(xué)中最常見的定理之一,熟練的掌握勾股數(shù),對迅速判斷、解答題目有很大幫助,觀察下列幾組勾股數(shù):abc131+242×1×252×2+1252+3122×2×3134×3+1373+4242×3×4256×4+1494+5402×4×5418×5+1na2n+1b2n(n+1)c2n(n+1)+1(1)你能找出它們的規(guī)律嗎?(填在上面的橫線上)(2)你能發(fā)現(xiàn)a,b,c之間的關(guān)系嗎?(3)對于偶數(shù),這個(gè)關(guān)系不成立(填“成立”或“不成立”)(4)你能用以上結(jié)論解決下題嗎?20192+20202×10092(2020×1009+1)2【解答】解:(1)由表中數(shù)據(jù)可得:a2n+1,b2n(n+1),c2n(n+1)+1,故答案為:2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1;(2)a2+b2c2,理由是:a2n+1,b2n(n+1),c2n(n+1)+1,a2+b2(2n+1)2+2n(n+1)22n(n+1)2+4n(n+1)+1c22n(n+1)+122n(n+1)2+4n(n+1)+1a2+b2c2;(3)對于偶數(shù),這個(gè)關(guān)系不成立,故答案為:不成立;(4)當(dāng)2n+12019時(shí),n1009,當(dāng)n1009時(shí),a220192,b22n(n+1)220202×10092,c22n(n+1)+122020×1009+12,a2+b2c2;20192+20202×10092(2020×1009+1)208如圖,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),AOC60°,將一把含有45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,直角邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方(1)將圖中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖的位置,使得MOB90°,此時(shí)CON角度為75度;(2)將上述直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖的位置,當(dāng)ON恰好平分AOC時(shí),求AOM的度數(shù);(3)若這個(gè)直角三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到斜邊ON在AOC的內(nèi)部時(shí)(ON與OC、OA不重合),試探究AOM與CON之間滿足什么等量關(guān)系,并說明理由【解答】解:(1)圖中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖的位置,MOB90°,MON45°AOC60°,COM30°,CONCOM+MON75°,所以此時(shí)CON角度為75°故答案為75;(2)直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖的位置,ON恰好平分AOC時(shí),AONCONAOC30°,AOMMONAON15°答:AOM的度數(shù)為15°;(3)AOM與CON之間滿足:AOMCON15°,理由如下:CONAOCAON60°AON60°(MONAOM)60°(45°AOM)15°+AOM所以CONAOM15°9如圖所示,已知ABC中,AB8cm,AC6cm,BC10cm分別以三邊AB,AC及BC為直徑向外作半圓,求陰影部分的面積【解答】解:82+62102,AB2+AC2BC2BAC90°以AB為直徑的半圓的面積以AC為直徑的半圓的面積以BC為直徑的半圓的面積S3(cm2)練習(xí)31如圖,已知等腰RtABC的直角邊長為1,以RtABC的斜邊AC為直角邊,畫第二個(gè)等腰RtACD,再以RtACD的斜邊AD為直角邊,畫第三個(gè)等腰RtADE依此類推直到第n個(gè)等腰直角三角形,則第n個(gè)等腰直角三角形的圖形的面積為(n為正整數(shù))第1題第2題第3題第4題2圖中每個(gè)小方格的邊長是l,若線段EF能與線段AB、CD組成一個(gè)直角三角形,則線段EF的長度是3如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則PABPCD°(點(diǎn)A,B,C,D,P是網(wǎng)格線交點(diǎn))4如圖,在ABC中,ACB90°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,以相同的長(大于AB)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,作直線MN交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E若AC3,AB5,則DE等于5在RtABC中,C90°,BC、AC、AB所對的邊分別為a、b、c(1)a3,b4,則c;(2)a7,c25,則b;(3)c3,b1,則a;(4)A30°,a2,則b;若b2,則ab6如圖,在ABC中,ABAC,ABC的高BH,CM交于點(diǎn)P(1)求證:PBPC(2)若PB5,PH3,求AB7如圖為一個(gè)廣告牌支架的示意圖,其中AB13m,AD12m,BD5m,AC15m,求圖中ABC的周長和面積8有兩棵樹,一棵高10米,另一棵高4米,兩樹相距8米,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行多什么米?9如圖,筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km,C、D為兩村莊,DAAB于點(diǎn)A,CBAB于點(diǎn)B,已知DA15km,CB10km,現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E,使得C、D兩村到收購站E的距離相等,則收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處?參考答案1如圖,已知等腰RtABC的直角邊長為1,以RtABC的斜邊AC為直角邊,畫第二個(gè)等腰RtACD,再以RtACD的斜邊AD為直角邊,畫第三個(gè)等腰RtADE依此類推直到第n個(gè)等腰直角三角形,則第n個(gè)等腰直角三角形的圖形的面積為2n2(n為正整數(shù))【解答】解:ABC是邊長為1的等腰直角三角形,SABC×1×1212;AC,AD2,SACD××1222;SADE×2×22232第n個(gè)等腰直角三角形的面積是2n2故答案為:2n22圖中每個(gè)小方格的邊長是l,若線段EF能與線段AB、CD組成一個(gè)直角三角形,則線段EF的長度是或【解答】解:AB,CD,當(dāng)EF為斜邊時(shí),EF,當(dāng)EF是直角邊時(shí),EF,故答案為:或3如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則PABPCD45°(點(diǎn)A,B,C,D,P是網(wǎng)格線交點(diǎn))【解答】解:連接AE,PE,則EABPCD,故PABPCDPABEABPAE,設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為a,則PA,PE,AEa,PA2+PE25a2+5a210a2AE2,APE是直角三角形,APE90°,又PAPE,PAEPEA45°,PABPCD45°,故答案為:454如圖,在ABC中,ACB90°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,以相同的長(大于AB)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,作直線MN交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E若AC3,AB5,則DE等于【解答】解:在RtACB中,由勾股定理得:BC4,連接AE,從作法可知:DE是AB的垂直平分線,根據(jù)性質(zhì)得出AEBE,在RtACE中,由勾股定理得:AC2+CE2AE2,即32+(4AE)2AE2,解得:AE,在RtADE中,ADAB,由勾股定理得:DE2+()2()2,解得:DE故答案為:5在RtABC中,C90°,BC、AC、AB所對的邊分別為a、b、c(1)a3,b4,則c5;(2)a7,c25,則b24;(3)c3,b1,則a2;(4)A30°,a2,則b2;若b2,則ab【解答】解:在RtABC中,C90°,BC、AC、AB所對的邊分別為a、b、c(1)a3,b4,則c5;(2)a7,c25,則b24;(3)c3,b1,則a2;(4)A30°,a2,則b2;若b2,可得:a3,b2,則ab,故答案為:(1)5;(2)24;(3)2;(4)2;6如圖,在ABC中,ABAC,ABC的高BH,CM交于點(diǎn)P(1)求證:PBPC(2)若PB5,PH3,求AB【解答】(1)證明:ABAC,ABCACBBH,CM為ABC的高,BMCCHB90°ABC+BCM90°,ACB+CBH90°BCMCBHPBPC(2)解:PBPC,PB5,PC5PH3,CHB90°,CH4設(shè)ABx,則AHx4在RtABH中,AH2+BH2AB2,(x4)2+(5+3)2x2x10即AB107如圖為一個(gè)廣告牌支架的示意圖,其中AB13m,AD12m,BD5m,AC15m,求圖中ABC的周長和面積【解答】解:在ABD中,AB13m,AD12m,BD5m,AB2AD2+BD2,ADBC,在RtADC中,AD12m,AC15m,DC9(m),ABC的周長為:AB+AC+BC13+15+5+942m,ABC的面積為:×BC×AD×14×1284m28有兩棵樹,一棵高10米,另一棵高4米,兩樹相距8米,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行多什么米?【解答】解:如圖,設(shè)大樹高為AB10m,小樹高為CD4m,過C點(diǎn)作CEAB于E,則四邊形EBDC是矩形,連接AC,EB4m,EC8m,AEABEB1046m,在RtAEC中,AC10m,故小鳥至少飛行10m9如圖,筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km,C、D為兩村莊,DAAB于點(diǎn)A,CBAB于點(diǎn)B,已知DA15km,CB10km,現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E,使得C、D兩村到收購站E的距離相等,則收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處?【解答】解:使得C,D兩村到E站的距離相等DECE,DAAB于A,CBAB于B,AB90°,AE2+AD2DE2,BE2+BC2EC2,AE2+AD2BE2+BC2,設(shè)AEx,則BEABAE(25x),DA15km,CB10km,x2+152(25x)2+102,解得:x10,AE10km,收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)10km處練習(xí)41如圖,ABC中,B70°,C90°,在射線BA上找一點(diǎn)D,使ACD為等腰三角形,則ADC的度數(shù)為第1題第2題第4題第5題2如圖所示,在ABC中,ACB90°,DE為邊AB的垂直平分線,交BC的延長線于點(diǎn)E,BC3,AB5,則CE3為了迎接新年的到來,同學(xué)們做了許多拉花布置教室,小明搬來一架高為2.5m的木梯,想把拉花桂到2.4m的墻上,則梯角應(yīng)距墻角m4如圖所示,一根長為7cm的吸管放在一個(gè)圓柱形杯中,測得杯的內(nèi)部底面直徑為3cm,高為4cm,則吸管露出在杯外面的最短長度為cm5如圖,在RtACB中,C90°,BC4,AB5,BD平分ABC交AC于點(diǎn)D,則AD6探索勾股數(shù)的規(guī)律:觀察下列各組數(shù):(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)請寫出下一數(shù)組:7如圖,RtABC中,C90°,AC6,BC8(1)用直尺和圓規(guī)在邊BC上找一點(diǎn)D,使D到AB的距離等于CD(2)計(jì)算(1)中線段CD的長8如圖,一架25dm長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上,梯子底端B到墻的距離BO7dm移動(dòng)梯子使底端B外移至點(diǎn)D,BD8dm,求梯子頂端A沿墻下滑的距離AC的長9如圖,已知ABC和BDE是等腰直角三角形,ABCDBE90°,點(diǎn)D在AC上(1)求證:ABDCBE;(2)若DB1,求AD2+CD2的值10如圖,水渠兩邊ABCD,一條矩形竹排EFGH斜放在水渠中,AEF45°,EGD105°,竹排寬EF2米,求水渠寬11如圖,BF,CG分別是ABC的高線,點(diǎn)D,E分別是BC,GF的中點(diǎn),連結(jié)DF,DG,DE(1)求證:DFG是等腰三角形;(2)若BC10,F(xiàn)G6,求DE的長勾股定理及應(yīng)用參考答案與試題解析1如圖,ABC中,B70°,C90°,在射線BA上找一點(diǎn)D,使ACD為等腰三角形,則ADC的度數(shù)為80°或140°或10°【解答】解:如圖,有三種情形:當(dāng)ACAD時(shí),ABC中,B70°,ACB90°,CAB20°,ACAD,ADCDCA(180°CAB)80°;當(dāng)CDAD時(shí),CAB20°,DCACAB20°,ADC180°20°20°140°當(dāng)ACAD時(shí),則ADCACD,CAB20°,ADC+ACDCAB,ADC10°,故答案為:80°或140°或10°2如圖所示,在ABC中,ACB90°,DE為邊AB的垂直平分線,交BC的延長線于點(diǎn)E,BC3,AB5,則CE【解答】解:設(shè)CEx,連接AE,DE是線段AB的垂直平分線,AEBEBC+CE3+x,ACB90°,BC3,AB5,AC4,在RtACE中,AE2AC2+CE2,即(3+x)242+x2,解得x故答案為:3為了迎接新年的到來,同學(xué)們做了許多拉花布置教室,小明搬來一架高為2.5m的木梯,想把拉花桂到2.4m的墻上,則梯角應(yīng)距墻角0.7m【解答】解:梯腳與墻角距離:0.7(m)故答案為:0.74如圖所示,一根長為7cm的吸管放在一個(gè)圓柱形杯中,測得杯的內(nèi)部底面直徑為3cm,高為4cm,則吸管露出在杯外面的最短長度為2cm【解答】解:設(shè)在杯里部分長為xcm,則有:x232+42,解得:x5,所以露在外面最短的長度為7cm5cm2cm,故吸管露出杯口外的最短長度是2cm,故答案為:25如圖,在RtACB中,C90°,BC4,AB5,BD平分ABC交AC于點(diǎn)D,則AD【解答】解:在RtACB中,C90°,BC4,AB5,AC3,過D作DEAB于E,BD平分ABC,C90°,CDDE,在RtBCD與RtBED中,RtBCDRtBED(HL),BEBC4,AE1,AD2DE2+AE2,AD2(3AD)2+12,AD,故答案為:6探索勾股數(shù)的規(guī)律:觀察下列各組數(shù):(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)請寫出下一數(shù)組:(11,60,61)【解答】解:(3,4,5):32×1+1,42×12+2×1,52×12+2×1+1;(5,12,13):52×2+1,122×22+2×2,132×22+2×2+1;(7,24,25):72×3+1,242×32+2×3,252×32+2×3+1;(9,40,41):92×4+1,402×42+2×4,412×42+2×4+1;下一組數(shù)為:112×5+1,602×52+2×5,612×52+2×5+1,故答案為:(11,60,61)7如圖,RtABC中,C90°,AC6,BC8(1)用直尺和圓規(guī)在邊BC上找一點(diǎn)D,使D到AB的距離等于CD(2)計(jì)算(1)中線段CD的長【解答】解:(1)畫角平分線正確,保留畫圖痕跡(2)設(shè)CDx,作DEAB于E,則DECDx,C90°,AC6,BC8AB10,EB1064DE2+BE2DB2,x2+42(8x)2,x3,即CD長為38如圖,一架25dm長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上,梯子底端B到墻的距離BO7dm移動(dòng)梯子使底端B外移至點(diǎn)D,BD8dm,求梯子頂端A沿墻下滑的距離AC的長【解答】解:由題意得:在RtAOB中,OB7dm,AB25dm,OA24dm,在RtCOD中,OD8+715dm,CD25dm,OC20dm,ACOAOC24204dm,答:梯子頂端A沿墻下滑的距離AC的長為4dm9如圖,已知ABC和BDE是等腰直角三角形,ABCDBE90°,點(diǎn)D在AC上(1)求證:ABDCBE;(2)若DB1,求AD2+CD2的值【解答】解:(1)ABC是等腰直角三角形,ABBC,ABC90°,AACB45°,同理可得:DBBE,DBE90°,BDEBED45°,ABDCBE,在ABD與CBE中,ABBC,ABDCBE,DBBE,ABDCBE(SAS)(2)BDE是等腰直角三角形,DEBD,ABDCBE,ABCE45°,ADCE,DCEACB+BCE90°,DE2DC2+CE2AD2+CD2,AD2+CD2210如圖,水渠兩邊ABCD,一條矩形竹排EFGH斜放在水渠中,AEF45°,EGD105°,竹排寬EF2米,求水渠寬【解答】解:過F作FPAB于P,延長PF交CD于Q,則FQCD,EPFFQG90°,四邊形EFGH是矩形,EFG90°,AEF45°,GFQEFP45°,F(xiàn)GQ45°,EF2,PF2+PE2EF24,PFPE,PFPE,ABCD,AEGEGD105°,AEF45°,F(xiàn)EG60°FGEF2,F(xiàn)Q2+GQ2FG212,F(xiàn)QQG,PQPF+FQ()(米),答:水渠寬為()米11如圖,BF,CG分別是ABC的高線,點(diǎn)D,E分別是BC,GF的中點(diǎn),連結(jié)DF,DG,DE(1)求證:DFG是等腰三角形;(2)若BC10,F(xiàn)G6,求DE的長【解答】(1)證明:BF,CG分別是ABC的高線,BFAC,CGAB,且點(diǎn)B為BC的中線,DFBC,DGBC,DFDG,DFG是等腰三角形;(2)解:由(1)知,DFDGBC5點(diǎn)E為GF的中點(diǎn),F(xiàn)G6,EFGF3,且DGGF,在直角DEF中,由勾股定理知,DE426 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