第一講集合與邏輯

word第一講 集合與邏輯【知識引入】1. 集合的子集個數(shù)共有 個；真子集有1個；非空子集有1個；非空的真子集有2個；2. 常見結(jié)論的否認形式：原結(jié)論否認形式原結(jié)論否認形式是不是至少有一個沒有都是不都是至多有一個至少有二個大于小于或等于至少有個至多有-1個小于大于或等于至多有個至少有+1個對所有的成立存在不成立或非且非對任何的不成立存在成立且非或非【知識拓展】 集合與命題這一章的相關(guān)知識，在自主招生考試中一般是以小題形式出現(xiàn)但偶爾也綜合其它知識點而出現(xiàn)在大題中1.命題的否認是四種命題中最麻煩的細節(jié)問題下面是一些常見詞語的否認：“至少有一個的否認是“一個也沒有；“都是的否認是“不都是；“所有的否認是“某些， “存在的否認是“任意，“或的否認是“且2.容斥原理：令表示集合中元素的個數(shù)，如此3. 德摩根定理：是全集，,4. 集合的差：5.抽屜原如此： 抽屜原如此有時也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原如此抽屜原理常常結(jié)合幾何、整除、數(shù)列和染色等問題出現(xiàn)，它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式形式一：證明：設(shè)把個元素分為個集合，用表示這個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個大于或等于2用反證法假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個都有，如此因為是整數(shù)，應(yīng)有，于是有：這與題設(shè)矛盾所以，至少有一個，即必有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素形式二：設(shè)把個元素分為n個集合，用表示這個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個大于或等于用反證法假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個都有，如此因為是整數(shù)，應(yīng)有，于是有：個這與題設(shè)相矛盾所以，至少有存在一個【高斯函數(shù)】：對任意的實數(shù)，表示“不大于的最大整數(shù).例如：，一般地，我們有：形式三：證明：設(shè)把個元素分為個集合，用表示這個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個大于或等于用反證法假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個都有，于是有：個這與題設(shè)相矛盾所以，必有一個集合中元素個數(shù)大于或等于【典例精講】例1.2012年復(fù)旦設(shè)是某集合的三個子集，且滿足，如此是為空集的 （A） 必要充分條件 B充分條件，但非必要條件C必要條件，但非充分條件 D即非必要條件，也非充分條件分析與解答：由于，故兩個陰影局部均為；如此：，（1） ，如此所以，如此成立（2） 假如，由于、，所以所以，所以應(yīng)當選 例2.2011復(fù)旦千分考設(shè)是由任意個人組成的集合，如果中任意4個人中都至少有1個人認識其余3個人，那么，下面的判斷中正確的答案是 A中沒有人認識中的所有人 B中至少有一個人認識中的所有人 C中至多有2個人不認識中的所有人 D中至多有2個人認識中的所有人分析與解答：如果設(shè)中所有人都互相認識，顯然這樣的符合題目條件，從而都是錯誤的又設(shè)是中的3個人，中每個人都不認識其他任何人，而除外，其他個人認識所有的人顯然這樣的集合符合要求，故是錯誤的的證明，由于中任意4個人中都至少有一個人和其余3個人互相認識，故認識的總?cè)舜巫钌偈牵?，由于因為這里表示取整函數(shù)或高斯函數(shù)，由抽屜原理知：中至少有一個人認識中的所有人，應(yīng)當選例3.2009交大珠寶店丟失了一件珍貴珠寶，以下4人只有1人說真話，只有1人偷了珠寶甲：我沒有偷 乙：丙是小偷 丙：丁是小偷 ?。何覜]有偷如此說真話的人是，偷珠寶的人是分析與解答：4人中有且僅有一人說真話先假設(shè)甲說的是真話，即甲沒有偷，由于丙說的是假話，故丁不是小偷，由于丁說的也是假話，故丁是小偷，矛盾！設(shè)乙說的是真話，即丙是小偷，但由于丁說的是假話，故丁也是小偷，矛盾！設(shè)丙說的是真話，即丁是小偷，但由于甲說的是假話，故甲也是小偷，矛盾！故只有丁說的是真話，且由于甲說的是假話，故甲是小偷例4.2006復(fù)旦假如非空集合，如此使得成立的所有的集合是 （B） B C D空集分析與解答：一方面，；另一方面，故，而這又等價于再注意到集合非空，故有，應(yīng)選注：注意此題中的“非空二字例5.2008武大有50名學(xué)生參加跳遠和鉛球兩項測試，跳遠和鉛球測試成績合格的分別有40和31人，兩項測試成績均不與格的有4人，兩項測試成績均與格的有多少人？分析與解答：這是一道涉與容斥原理的試題，記跳遠測試成績與格的學(xué)生，鉛球測試成績與格的學(xué)生，依題意，兩項成績測試均合格的學(xué)生為，又，由容斥原理，故，即兩項測試成績均合格的學(xué)生有25人注：此題也可結(jié)合文氏圖，設(shè)兩項測試成績都與格的有人，有方程，解得：例6.2010復(fù)旦設(shè)集合是實數(shù)集的子集，如果點滿足：對任意，都存在，使得，那么稱為集合的聚點，用表示整數(shù)集，如此在如下集合：；，整數(shù)集中以0為聚點的集合有 （A） B 分析與解答： 這是一道學(xué)習(xí)型問題，根據(jù)定義，“聚點這個概念應(yīng)理解為以任意無窮小為半徑，以為圓心的圓都至少有的一個元素不包括對集合，假如取，如此不存在，滿足顯然是以為聚點對集合，假如令不是唯一的取法，只要即可，也不存在，使得 綜上，應(yīng)選例7.7月份的天熱得人都不想工作，只想呆在有空調(diào)的房間里可小卻沒有方法休假，因為他是一個空調(diào)修理工，為了讓更多人好好休息，他只能放棄自己的休息在過去的7月份里，小每天至少修理了一臺空調(diào)由于技術(shù)過硬，每一臺空調(diào)都能在當天修理好8月1日結(jié)算的時候，大家發(fā)現(xiàn)小在7月份一共修理了56臺空調(diào)求證：存在連續(xù)的假如干天也可以是1天，在這些天里，小恰好修理了5臺空調(diào)分析與解答： 我們來考察“連續(xù)的假如干天里小修理的空調(diào)臺數(shù)設(shè)小在第i天修理了xi臺空調(diào)，其中i=1，2，31如此：x1<x1+x2<x1+x2+x3<<x1+x2+x31=56另外：x1+5<x1+x2+5<x1+x2+x3+5<<x1+x2+x31+5=61上面的兩組數(shù)共62個均在1到61之間包括這兩個數(shù)，由抽屜原理，必有二個數(shù)是相等的，且相等的兩個數(shù)應(yīng)該來自不同的組從而x1+x2+xq= x1+x2+xp+5(q>p)由此可見xp+1+xp+2+xq=5即從第p+1天開始到第q天修理的空調(diào)正好是5臺點評：此題的難點在于將題中結(jié)論轉(zhuǎn)化為抽屜原理的數(shù)學(xué)模型例8.求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個數(shù)分析與解答： 記，由容斥原理，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有個例9.2010浙大設(shè)集合，（1） 求證：（2） 假如是一個在上單調(diào)遞增的函數(shù)，是否有？假如是，請證明分析與解：1)假如，顯然成立；假如，任取，即有，如此，即，故（2） 結(jié)論是，下證假如，如此結(jié)論顯然成立；假如，任取，即有，下證假如，不妨先設(shè)，由于是一個在上單調(diào)遞增的函數(shù)，故，與矛盾！同理,也將導(dǎo)致矛盾！故，即，從而有綜合1證得【方法小結(jié)】：【真題訓(xùn)練】一 選擇題1.2009復(fù)旦“要使函數(shù)成立，只要不在區(qū)間就可以了的意思是 （A） 如果，如此 B如果，如此C如果，如此 D前面3個解釋都不準確2.2009復(fù)旦設(shè)是含個元素的集合，是中兩個互不相交的子集，分別含有，如此中即不包含也不包含的子集的個數(shù)是 （A） BC D3.2010復(fù)旦設(shè)集合是全集的子集，如此如下選項中正確的答案是 （A） 如果或，如此（B） 如果，如此，（C） 如果，如此，（D） 上述各項都不正確4.2010復(fù)旦設(shè)時區(qū)間上的函數(shù)，如果對任意滿足的都有，如此稱是上的遞增函數(shù)，那么，是上非遞增函數(shù)應(yīng)滿足 （A） 存在滿足的，使得（B） 不存在，滿足，且（C） 對任意滿足的，都有（D） 存在滿足的，使得5.2010復(fù)旦對于原命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)，如下述正確的答案是 （A） 逆命題為“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)（B） 否命題為“單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)（C） 逆否命題為“周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)（D） 以上三者都不正確6.2010復(fù)旦設(shè)集合，假如，如此的取值圍是 （A） B C D二 填空題7. 2009交大集合A滿足：假如，如此，假如，如此滿足條件的元素個數(shù)最少的集合A為8.2008科大，如此的取值圍是三 解答題9.2009浙大給出五個數(shù)字，排列這5個數(shù)字，要求第一個到第位置不能由得數(shù)字組成如不可，因為第一位到第二位由組成，同理也不可求滿足要求的所有可能的組合數(shù)10.2007清華對于集合表示二維點集，稱為開集，當且僅當，使得判斷集合與是否為開集，并證明你的結(jié)論注：“表示“任意；“表示“存在【參考答案】1. C。 “要使函數(shù)成立，只要不在區(qū)間就可以了這句話等價于“不在區(qū)間“函數(shù)2. C。令中包含的子集組成的集合記為，包含的子集組成的集合記為，如此由容斥原理，中包含或者包含的子集的個數(shù)是，從而中既不包含也不包含的子集的個數(shù)是3. D。選項A的反例，如圖a，此時；選項B的反例，如圖b，假如，如此；選項C的反例，如圖c，易見CADCDBA BB ACDa b c4.A 。問題等價于命題“如果對于任意滿足的都有，如此稱是上的遞增函數(shù)的逆否命題5.D 原命題可改寫為：如果一個函數(shù)單調(diào)函數(shù)，那么它不是周期函數(shù)逆命題：如果一個函數(shù)不是周期函數(shù)，那么它是單調(diào)函數(shù)否命題：如果一個函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，那么它是周期函數(shù)逆否命題：如果一個函數(shù)是周期函數(shù)，那么它不是單調(diào)函數(shù)6.D 。集合，假如，如此，由知，中元素均滿足，而時，成立，但不成立；假如，如此，而恒成立，由得：故7.。 由，由；又由，此時集合元素個數(shù)最少又如，等也符合要求8.。 先不妨做一個平移，將坐標原點移到，即相當于，對集合，令，其中，設(shè)，而，故。用容斥原理來解決：令為1,2,3,4,5的排列所組成的集合，它的任一個元素的前個數(shù)是的一個排列， 所以，所以符合題意的數(shù)組的個數(shù)為是開集理由如下： 如圖，令到直線的距離為，一旦給定后，是一個大于零的常數(shù)令取值不唯一，顯然 集合不是開集，理由如下： 令為y軸正半軸上的點，如此無論多么小，總有11 / 11