四川成都2012年中考數(shù)學總復習知識講解例題解析強化訓練之二次函數(shù).doc

2012年中考數(shù)學復習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練二次函數(shù)知識講解一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項系數(shù)必須是非零實數(shù)時才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)當b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的三種表達形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個點的坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a（xh）2+k，通常要知道頂點坐標或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道圖像與x軸的兩個交點坐標x1，x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標為（，）對于y=a（xh）2+k而言其頂點坐標為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為x=，最值為，（k>0時為最小值，k<0時為最大值）由此可知y=ax2的頂點在坐標原點上，且y軸為對稱軸即x=0拋物線的平移主要是移動頂點的位置，將y=ax2沿著y軸（上“”，下“”）平移k（k>0）個單位得到函數(shù)y=ax2k，將y=ax2沿著x軸（右“”，左“”）平移h（h>0）個單位得到y(tǒng)=a（xh）2在平移之前先將函數(shù)解析式化為頂點式，再來平移，若沿y軸平移則直接在解析式的常數(shù)項后進行加減（上加下減），若沿x軸平移則直接在含x的括號內(nèi)進行加減（右減左加）在畫二次函數(shù)的圖像拋物線的時候應抓住以下五點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點拋物線y=ax2+bx+c的圖像位置及性質(zhì)與a，b，c的作用：a的正負決定了開口方向，當a>0時，開口向上，在對稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小；在對稱軸x=的右側(cè)，y隨x的增大而增大，此時y有最小值為y=，頂點（，）為最低點；當a<0時，開口向下，在對稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而增大，在對稱軸x=的右側(cè)，y隨x的增大而增大，此時y有最大值為y=，頂點（，）為最高點a的大小決定了開口的寬窄，a越大，開口越小，圖像兩邊越靠近y軸，a越小，開口越大，圖像兩邊越靠近x軸；a，b的符號共同決定了對稱軸的位置，當b=0時，對稱軸x=0，即對稱軸為y軸，當a，b同號時，對稱軸x=<0，即對稱軸在y軸左側(cè)，垂直于x軸負半軸，當a，b異號時，對稱軸x=>0，即對稱軸在y軸右側(cè)，垂直于x軸正半軸；c的符號決定了拋物線與y軸交點的位置，c=0時，拋物線經(jīng)過原點，c>0時，與y軸交于正半軸；c<0時，與y軸交于負半軸，以上a，b，c的符號與圖像的位置是共同作用的，也可以互相推出例題解析 例1 已知：二次函數(shù)為y=x2x+m，（1）寫出它的圖像的開口方向，對稱軸及頂點坐標；（2）m為何值時，頂點在x軸上方，（3）若拋物線與y軸交于A，過A作ABx軸交拋物線于另一點B，當SAOB=4時，求此二次函數(shù)的解析式 【分析】（1）用配方法可以達到目的；（2）頂點在x軸的上方，即頂點的縱坐標為正；（3）ABx軸，A，B兩點的縱坐標是相等的，從而可求出m的值 【解答】（1）由已知y=x2x+m中，二次項系數(shù)a=1>0，開口向上， 又y=x2x+m=x2x+（）2 +m=（x）2+ 對稱軸是直線x=，頂點坐標為（，） （2）頂點在x軸上方， 頂點的縱坐標大于0，即>0 m> m>時，頂點在x軸上方 （3）令x=0，則y=m 即拋物線y=x2x+m與y軸交點的坐標是A（0，m） ABx軸 B點的縱坐標為m 當x2x+m=m時，解得x1=0，x2=1 A（0，m），B（1，m） 在RtBAO中，AB=1，OA=m SAOB =OAAB=4 m1=4，m=8 故所求二次函數(shù)的解析式為y=x2x+8或y=x2x8 【點評】正確理解并掌握二次函數(shù)中常數(shù)a，b，c的符號與函數(shù)性質(zhì)及位置的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵之處 例2 （2006，重慶市）已知：m，n是方程x26x+5=0的兩個實數(shù)根，且m<n，拋物線y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（m，0），B（0，n），如圖所示 （1）求這個拋物線的解析式； （2）設（1）中的拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標和BCD的面積；（3）P是線段OC上的一點，過點P作PHx軸，與拋物線交于H點，若直線BC把PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標 【分析】（1）解方程求出m，n的值 用待定系數(shù)法求出b，c的值 （2）過D作x軸的垂線交x軸于點M，可求出DMC，梯形BDBO，BOC的面積，用割補法可求出BCD的面積 （3）PH與BC的交點設為E點，則點E有兩種可能： EH=EP， EH=EP 【解答】（1）解方程x26x+5=0， 得x1=5，x2=1 由m<n，有m=1，n=5 所以點A，B的坐標分別為A（1，0），B（0，5）將A（1，0），B（0，5）的坐標分別代入y=x2+bx+c， 得 解這個方程組，得 所以拋物線的解析式為y=x24x+5 （2）由y=x24x+5，令y=0，得x24x+5=0 解這個方程，得x1=5，x2=1 所以點C的坐標為（5，0），由頂點坐標公式計算，得點D（2，9）過D作x軸的垂線交x軸于M，如圖所示 則SDMC=9（52）= S梯形MDBO=2（9+5）=14， SBDC =55= 所以SBCD =S梯形MDBO+SDMC SBOC =14+=15 （3）設P點的坐標為（a，0） 因為線段BC過B，C兩點，所以BC所在的直線方程為y=x+5 那么，PH與直線BC的交點坐標為E（a，a+5），PH與拋物線y=x2+4x+5的交點坐標為H（a，a24a+5） 由題意，得EH=EP，即 （a24a+5）（a+5）=（a+5） 解這個方程，得a=或a=5（舍去） EH=EP，得 （a24a+5）（a+5）=（a+5） 解這個方程，得a=或a=5（舍去） P點的坐標為（，0）或（，0） 例3 （2006，山東棗莊）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2mx+與y=x2mx，這兩個二次函數(shù)的圖像中的一條與x軸交于A，B兩個不同的點 （1）試判斷哪個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A，B兩點； （2）若A點坐標為（1，0），試求B點坐標； （3）在（2）的條件下，對于經(jīng)過A，B兩點的二次函數(shù)，當x取何值時，y的值隨x值的增大而減??？ 【解答】（1）對于關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2mx+ 由于b24ac=（m）41=m22<0， 所以此函數(shù)的圖像與x軸沒有交點 對于關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2mx 由于b24ac=（m）241=3m2+4>0， 所以此函數(shù)的圖像與x軸有兩個不同的交點 故圖像經(jīng)過A，B兩點的二次函數(shù)為y=x2mx （2）將A（1，0）代入y=x2mx 得1+m=0 整理，得m22m=0 解得m=0或m=2 當m=0時，y=x21令y=0，得x21=0 解這個方程，得x1=1，x2=1 此時，點B的坐標是B（1，0） 當m=2時，y=x22x3令y=0，得x22x3=0 解這個方程，得x1=1，x2=3 此時，點B的坐標是B（3，0） （3）當m=0時，二次函數(shù)為y=x21，此函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為x=0，所以當x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小 當m=2時，二次函數(shù)為y=x22x3=（x1）24，此函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為x=1，所以當x<1時，函數(shù)值y隨x的增大而減小 【點評】本題是一道關(guān)于二次函數(shù)與方程、不等式有關(guān)知識的綜合題，但它仍然是反映函數(shù)圖像上點的坐標與函數(shù)解析式間的關(guān)系，抓住問題的實質(zhì)，靈活運用所學知識，這類綜合題并不難解決強化訓練一、填空題1（2006，大連）右圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c和一次函數(shù)y2=mx+n的圖像，觀察圖像寫出y2y1時，x的取值范圍_2（2005，山東?。┮阎獟佄锞€y=a2+bx+c經(jīng)過點A（2，7），B（6，7），C（3，8），則該拋物線上縱坐標為8的另一點的坐標是_3已知二次函數(shù)y=x2+2x+c2的對稱軸和x軸相交于點（m，0），則m的值為_4（2005，溫州市）若二次函數(shù)y=x24x+c的圖像與x軸沒有交點，其中c為整數(shù)，則c=_（只要求寫出一個）5（2005，黑龍江省）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點（1，2）與（1，4），則a+c的值是_6甲，乙兩人進行羽毛球比賽，甲發(fā)出一十分關(guān)鍵的球，出手點為P，羽毛球飛行的水平距離s（m）與其距地面高度h（m）之間的關(guān)系式為h=s2+s+如下左圖所示，已知球網(wǎng)AB距原點5m，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為m，設乙的起跳點C的橫坐標為m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗，則m的取值范圍是_ 7（2005，甘肅省）二次函數(shù)y=x22x3與x軸兩交點之間的距離為_8（2008，甘肅慶陽）蘭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價格y（元/m2）隨樓層數(shù)x（樓）的變化而變化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知點（x，y）都在一個二次函數(shù)的圖像上（如上右圖），則6樓房子的價格為_元/m2二、選擇題9（2008，長沙）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則下列關(guān)系式不正確的是（ ）Aa<0 Babc>0 Ca+b+c<0 Db24ac>0 (第9題) (第12題) (第15題)10（2008，威海）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像過點A（1，2），B（3，2），C（5，7）若點M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像上，則下列結(jié)論中正確的是（ ） Ay1<y2<y3 By2<y1<y3 Cy3<y1<y2 Dy1<y3<y211（2005，山西?。佄锞€y=ax2+bx+c（a0）的對稱軸是x=2，且經(jīng)過點P（3，0），則a+b+c的值為（ ） A1 B0 C1 D212如圖所示，拋物線的函數(shù)表達式是（ ） Ay=x2x+2 By=x2x+2 Cy=x2+x+2 Dy=x2+x+213（2008，山西）拋物線y=2x24x5經(jīng)過平移得到y(tǒng)=2x2，平移方法是（ ） A向左平移1個單位，再向下平移3個單位 B向左平移1個單位，再向上平移3個單位 C向右平移1個單位，再向下平移3個單位 D向右平移1個單位，再向上平移3個單位14（2005，包頭市）已知二次函數(shù)y=x2+bx+3，當x=1時，y取得最小值，則這個二次函數(shù)圖像的頂點在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限15（2006，諸暨）拋物線y=ax2+2ax+a2+2的一部分圖像如圖所示，那么該拋物線在y軸右側(cè)與x軸交點的坐標是（ ） A（，0） B（1，0） C（2，0） D（3，0）16（2008，泰安）在同一直角坐標系中，函數(shù)y=mx+m和y=mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m0）的圖像可能是（ ）三、解答題17（2006，浙江舟山）如圖所示，已知拋物線y=ax2+4ax+t（a>0）交x軸A，B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標為（1，0） （1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標； （2）過點C作x軸的平行線交拋物線的對稱軸于點P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；（3）連接CA與拋物線的對稱軸交于點D，當APD=ACP時，求拋物線的解析式18（2006，重慶）如圖所示，m，n是方程x26x+5=0的兩個實數(shù)根，且m<n，拋物線y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（m，0），B（0，n） （1）求這個拋物線的解析式； （2）設（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標和BCD的面積；（3）P是線段OC上的一點，過點P作PHx軸，與拋物線交于點H，若直線BC把PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出點P的坐標19（2006，太原市）某地計劃開鑿一條單向行駛（從正中通過）的隧道，其截面是拋物線拱形ACB，而且能通過最寬3m，最高3.5m的廂式貨車按規(guī)定，機動車通過隧道時車身距隧道壁的水平距離和鉛直距離最小都是0.5m為設計這條能使上述廂式貨車恰好完全通過的隧道，在圖紙上以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線拱形的表達式，隧道的跨度AB和拱高OC20（2005，河南?。┮阎粋€二次函數(shù)的圖像過如圖所示三點 （1）求拋物線的對稱軸；（2）平行于x軸的直線L的解析式為y=，拋物線與x軸交于A，B兩點在拋物線的對稱軸上找點P，使BP的長等于直線L與x軸間的距離求點P的坐標21（2005，吉林省）如圖576所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖像與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（1，0），點C（0，5），D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點 （1）求拋物線的解析式；（2）求MCB的面積22（2005，長春市）如圖所示，過y軸上一點A（0，1）作AC平行于x軸，交拋物線y=x2（x0）于點B，交拋物線y=x2（x0）于點C；過點C作CD平行于y軸，交拋物線y=x2于點D；過點D作DE平行于x軸，交拋物線y=x2于點E （1）求AB：BC； （2）判斷O，B，E三點是否在同一直線上？如果在，寫出直線解析式；如果不在，請說明理由答案12x1 2（1，8） 31 4答案不唯一（略） 5365<m<4+ 74 82080 9C 10B 11B 12D 13D14B 15B 16D17（1）對稱軸是直線x=2，A點坐標為（3，0） （2）四邊形ABCP是平行四邊形 （3）ADECDP，= ADEPAE，12=t，t= 將B（1，0）代入y=ax2+4ax+t得t=3a，a= 拋物線解析式為y=x2+x+218（1）y=x24x+5 （2）C（5，0），D（2，9） SBCD=15 （3）設P（a，0），BC所在直線方程為y=x+5 PH與直線BC的交點坐標為E（a，a+5） PH與拋物線y=x24x+5的交點坐標為H（a，a24a+5） 若EH=EP則（a24a+5）（a+5）=（a+5），則a=或a=5（舍） 若EH=EP，則（a24a+5）（a+5）=（a+5），則a=或a=5（舍） P（，0）或（，0）19如圖所示，由條件可得拋物線上兩點的坐標分別為M（，4），N（2，），設拋物線的表達式為y=ax2+c，則 解這個方程組，得 y=x2+，當x=0時，y=， C（0，），OC= 當y=0時，x2+=0，解得x= A（，0），B（，0），AB= 所以，拋物線拱形的表達式為y=x2+隧道的跨度AB為m，拱高OC為m20（1）設二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c 根據(jù)題意，得 ，解得 即y=x2+6x3=（x3）2+6 拋物線的對稱軸為直線x=3 （2）解得點B（3+，0） 設點P的坐標為（3，y），如圖， 由勾股定理，得BP2=BC2+PC2， 即BP2=（3+3）2+y2=y2+6 L與x軸的距離是， y2+6=（）2，解y= 所求點P為（3，）或（3，）21（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據(jù)題意得，解得 所求拋物線的解析式為y=x2+4x+5 （2）C點坐標為（0，5），OC=5，令y=0 則x2+4x+5=0，解得x1=1，x2=5 B點坐標為（5，0），OB=5 y=x2+4x+5=（x2）2+9， 頂點M的坐標為（2，9） 過點M作MNAB于點N，則ON=2，MN=9 SMCB=S梯形OCMN+SBNM SOBC =（5+9）2+9（52）55=1522（1）A（0，1） B點縱坐標為1，1=x2，x0，x=1，B（1，1），AB=1 C點縱坐標為1，1=x2，x2=4，x0，x=2 C（2，1），BC=1，AB：BC=1：1 （2）D點的橫坐標為2，D在y=x2上，則D（2，4） E點的縱坐標為4，E在y=x2，則E（4，4） 過O（0，0），B（1，1）的直線解析式為y=x E（4，4）在這條直線上，所以O，B，E三點在同一條直線上，并且直線解析式為y=x