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第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6 1數(shù)字濾波器的基本概念6 2模擬濾波器的設(shè)計(jì)6 3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6 4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6 5數(shù)字高通 帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 6 1數(shù)字濾波器的基本概念 數(shù)字濾波器 輸入輸出均為數(shù)字信號(hào) 經(jīng)過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件 優(yōu)點(diǎn) 與模擬濾波器比 精度高 穩(wěn)定 體積小 重量輕 靈活 不要求阻抗匹配 能實(shí)現(xiàn)模擬濾波器 AF 無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能 1 數(shù)字濾波器的分類(lèi)2 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求3 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述 1 數(shù)字濾波器的分類(lèi) 經(jīng)典濾波器 輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶 通過(guò)選頻濾波器達(dá)到目的 現(xiàn)代濾波器 如維納濾波器 卡爾曼濾波器 自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器 按隨機(jī)信號(hào)內(nèi)部的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律 從干擾中最佳提取信號(hào) 數(shù)字濾波器的頻響函數(shù)都以為周期 濾波器的低通頻帶處于整數(shù)倍處 高頻頻帶處于的奇數(shù)倍附近 從功能上分類(lèi) 低通 高通 帶通 帶阻濾波器 其他較復(fù)雜的特性可以由基本濾波器組合 數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類(lèi) 無(wú)限脈沖響應(yīng) IIR 濾波器 有限脈沖響應(yīng) FIR 濾波器 2 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器 1 數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H ej 其中 幅頻特性 信號(hào)通過(guò)濾波器后的各頻率成分衰減情況相頻特性 各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況 低通濾波器的技術(shù)要求 選頻濾波器 一般要求幅頻特性 相頻特性一般不要求 但若對(duì)輸出波形有要求 則需要考慮相頻特性的技術(shù)指標(biāo) 如語(yǔ)音合成 波形傳輸 若對(duì)輸出波形有嚴(yán)格要求 則需設(shè)計(jì)線性相位數(shù)字濾波器 實(shí)用濾波器 通帶 不一定完全水平阻帶 不一定絕對(duì)衰減到零過(guò)渡帶 通帶 阻帶之間設(shè)置一定寬度的過(guò)渡帶 2 數(shù)字濾波器的幅頻特性 H ej 的指標(biāo) p 通帶截止頻率 通帶頻率范圍 0 p S 阻帶截止頻率 阻帶頻率范圍 s C 3dB截止頻率 P 通帶最大衰減 S 阻帶最小衰減 1 通帶內(nèi)幅度響應(yīng)誤差范圍 2 阻帶內(nèi)幅度響應(yīng)誤差范圍 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示 p和 s分別定義為 如將 H ej0 歸一化為1 上兩式則表示成當(dāng)幅度衰減到 2 2倍時(shí) 所對(duì)應(yīng)頻率 c 此時(shí) P 3dB 稱(chēng) c為3dB截止頻率 1 通帶邊界頻率2 阻帶截止頻率 過(guò)渡帶 一般單調(diào)下降 通帶內(nèi)允許的最大衰減 阻帶內(nèi)允許的最小衰減 3dB通帶截止頻率 3dB時(shí)的 邊界頻率 例 低通濾波器的技術(shù)要求 IIR濾波器設(shè)計(jì)方法借助模擬濾波器設(shè)計(jì)方法 直接設(shè)計(jì)法 直接在頻域或時(shí)域設(shè)計(jì) 需計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) FIR濾波器設(shè)計(jì)方法窗函數(shù)法頻率采樣法等波紋逼近法 需計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 線性相位濾波器設(shè)計(jì)方法FIR濾波器 常用 相位特性嚴(yán)格線性 這是AF無(wú)法達(dá)到的 IIR濾波器 必須使用全通網(wǎng)絡(luò)對(duì)其非線性相位特性進(jìn)行相位校正 3 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述 3 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法IIR濾波器設(shè)計(jì)方法 1 先設(shè)計(jì)模擬濾波器 AF 的傳輸函數(shù)Ha s 然后按某種變換 將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 2 借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)在頻域或時(shí)域直接進(jìn)行設(shè)計(jì) FIR濾波器設(shè)計(jì)方法 1 經(jīng)常采用的是窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣法 2 用計(jì)算機(jī)輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設(shè)計(jì) 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟 且有若干典型的模擬濾波器可以選擇 如 巴特沃斯 Butterworth 濾波器 切比雪夫 Chebyshev 濾波器 橢圓 Kllipse 濾波器 貝塞爾 Bessel 濾波器等這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式 現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用 6 2模擬濾波器的設(shè)計(jì) 各種理想模擬濾波器的幅度特性 1 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法 1 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有 p s p s其中 p和 s分別稱(chēng)為通帶截止頻率和阻帶截止頻率 p是通帶 0 p 中的最大衰減系數(shù) s是阻帶 s的最小衰減系數(shù) p和 s一般用dB數(shù)表示 對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性 可表示成 Ha j0 2 Ha j0 2 如果 0處幅度已歸一化到1 即 Ha j0 1 c稱(chēng)為3dB截止頻率 因 2 用模擬濾波器逼近方法設(shè)計(jì)數(shù)字IIR濾波器步驟 給出模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) 設(shè)計(jì)傳輸函數(shù)Ha s 使其幅度平方函數(shù)滿(mǎn)足給定指標(biāo) p和 s Ha j 2 Ha j Ha j Ha s Ha s S j 確定Ha s 系統(tǒng)Ha s 應(yīng)是穩(wěn)定的系統(tǒng) 因此 極點(diǎn)應(yīng)位于S左半平面內(nèi) 6 2模擬濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器若干典型濾波器 巴特沃斯 Butterworth 濾波器切比雪夫 Chebyshev 濾波器橢圓 Cauer 濾波器貝塞爾 Bessel 濾波器等 模擬濾波器的分類(lèi) 按幅頻特性 低通 高通 帶通 帶阻 圖6 2 1各種理想濾波器的幅頻特性 1 p 通帶截止頻率2 s 阻帶截止頻率 1 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo) 低通濾波器的幅度特性 3 通帶 0 p 內(nèi)允許的最大衰減 p4 阻帶 s內(nèi)允許的最小衰減 s5 3dB通帶截止頻率 p 3dB時(shí)的 c 6 歸一化的 p和 s如果 0處幅度已歸一化到1 即 Ha j0 1 對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后 需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha s 希望其幅度平方函數(shù)滿(mǎn)足給定的指標(biāo) p和 s 一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù) 因此 傳輸函數(shù)設(shè)計(jì)方法 注意 Ha s 必須是穩(wěn)定的 因此其極點(diǎn)落在s平面的左半平面 6 3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器 1 從模擬濾波器到數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程 按照設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器 得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha s 再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H Z 關(guān)鍵問(wèn)題 將s平面上的Ha s 轉(zhuǎn)換成Z平面上的H Z 為了保證轉(zhuǎn)換后的H z 穩(wěn)定且滿(mǎn)足技術(shù)要求 對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 仍是因果穩(wěn)定的 即S平面的左半平面Re s 0必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部 z 1 2 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響 s平面的虛軸映射z平面的單位圓 相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系 通過(guò)對(duì)連續(xù)函數(shù)等間隔采樣得到離散序列使 T為采樣間隔 它是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法 2 脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換原理 核心原理 轉(zhuǎn)換步驟 設(shè)模擬濾波器Ha s 只有單階極點(diǎn) 且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次 將Ha s 用部分分式表示 6 3 1 將Ha s 進(jìn)行逆拉氏變換得到ha t 6 3 2 si為Ha s 的單階極點(diǎn) u t 是單位階躍函數(shù) 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha s 相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha t 6 3 3 對(duì)上式進(jìn)行Z變換 得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 6 3 4 對(duì)ha t 進(jìn)行等間隔采樣 采樣間隔為T(mén) 得到 設(shè)ha t 的采樣信號(hào)用表示 1 拉氏變換與Z變換的映射關(guān)系 6 3 5 對(duì)進(jìn)行拉氏變換 得到 ha nT 是ha t 在采樣點(diǎn)t nT時(shí)的幅度值 它與序列h n 的幅度值相等 即h n ha nT 因此得到 上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示 6 3 6 標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系 按照 6 3 6 式 得到 因此得到 6 3 10 設(shè) 2 s平面與Z平面的映射 那么 0 r 1 0 r 1另外 注意到z esT是一個(gè)周期函數(shù) 可寫(xiě)成 為任意整數(shù) 圖6 3 1z esT s平面與z平面之間的映射關(guān)系 模擬信號(hào)ha t 的傅里葉變換Ha j 和其采樣信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系滿(mǎn)足 6 3 7 將s j 代入上式 得 由 6 3 5 式和 6 3 8 式得到 6 3 8 6 3 9 表明將模擬信號(hào)ha t 的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期 s 2 T延拓后 再按照 6 3 6 式映射關(guān)系 映射到z平面上 就得到H z 圖6 3 2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象 3 混疊失真 假設(shè)沒(méi)有頻率混疊現(xiàn)象 即滿(mǎn)足按照 6 3 9 式 并將關(guān)系式s j 代入 T 代入得到 令 4 與的關(guān)系 那么 此時(shí) 極點(diǎn)為 6 3 11 可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié) 只有實(shí)數(shù)乘法 的形式為 6 3 12 3 二階基本節(jié) 一般Ha s 的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù) 且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn) 在 6 3 1 式中將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起 形成一個(gè)二階基本節(jié) 如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 極點(diǎn)為 6 3 13 6 3 14 則對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器的二階基本階的形式為 6 總結(jié) 脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn) 1 頻率坐標(biāo)變換是線性的 即 T 如果不考慮頻率混疊現(xiàn)象 用這種方法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器會(huì)很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性 2 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) 時(shí)域特性逼近好 脈沖響應(yīng)不變法的缺點(diǎn) 會(huì)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象 適合低通 帶通濾波器的設(shè)計(jì) 不適合高通 帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 5 例6 3 1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha s 為用脈沖響應(yīng)不變法將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 極點(diǎn)為 那么H z 的極點(diǎn)為 解 首先將Ha s 寫(xiě)成部分分式 轉(zhuǎn)換時(shí) 也可以直接按照 6 3 13 6 3 14 式進(jìn)行轉(zhuǎn)換 首先將Ha s 寫(xiě)成 6 3 13 式的形式 如極點(diǎn)s1 s2 1 j 1 則 按照 6 3 4 式 并經(jīng)過(guò)整理 得到 設(shè)T 1s時(shí)用H1 z 表示 T 0 1s時(shí)用H2 z 表示 則 再按照 6 3 14 式 H z 為 圖6 3 3例6 3 1的幅度特性 復(fù)習(xí) 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)函數(shù)濾波器的指標(biāo)常常在頻域給出 數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù)H ej 一般為復(fù)函數(shù) 所以通常表示為H ej H ej ej 其中 H ej 稱(chēng)為幅頻特性函數(shù) 稱(chēng)為相頻特性函數(shù) 常用的典型濾波器 H ej 是歸一化的 即 H ej max 1 對(duì)IIR數(shù)字濾波器 通常用幅頻響應(yīng)函數(shù) H ej 來(lái)描述設(shè)計(jì)指標(biāo) 注意 H ej 是以2 為周期的 這是數(shù)字濾波器與模擬濾波器的最大區(qū)別 只給出主值區(qū) 區(qū)間上的設(shè)計(jì)指標(biāo)描述即可 1和 2分別稱(chēng)為通帶波紋幅度和阻帶波紋幅度 p為通帶邊界頻率 p為通帶最大衰減 dB s為阻帶邊界頻率 s為阻帶最小衰減 dB 一般要求 當(dāng)0 p時(shí) 20lg Hej p 當(dāng) s 時(shí) s 20lg H ej 當(dāng) p 3dB時(shí) 記 p為 c 稱(chēng) c為3dB截止頻率 脈沖響應(yīng)不變法的缺點(diǎn) 頻譜混疊 使DF的頻響偏離AF的頻響特性原因 模擬低通濾波器不是帶限于 T 在數(shù)字化后產(chǎn)生頻譜混疊 再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系 使數(shù)字濾波器在 附近形成頻譜混疊 解決辦法 采用非線性頻率壓縮方法 將整個(gè)頻率軸壓縮到 T T 再利用z esT轉(zhuǎn)換到Z平面上 脈沖響應(yīng)不變法的特點(diǎn) 1 優(yōu)點(diǎn) 1 數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波器的功能 2 頻率坐標(biāo)的變換是線性的 3 如果H s 是穩(wěn)定的 映射后得到的H Z 也是穩(wěn)定的2 缺點(diǎn) 有頻譜周期延拓效應(yīng) 只能用于帶限的頻響特性高頻衰減越大 頻響的混淆效應(yīng)越小 3 解決的辦法 1 增加一保護(hù)濾波器 濾掉高于折疊頻率的頻帶會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器階數(shù) 2 克服標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系設(shè)想變換分為兩步 第一步 將整個(gè)S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里 第二步 通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去 由此建立S平面與Z平面一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系 消除多值性 也就消除了混疊現(xiàn)象 6 4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器 1 雙線性變換法的基本原理 S平面的整個(gè)j 軸被壓縮到S1平面的2 T一段 6 4 3 6 4 4 圖6 4 1雙線性變換法的映射關(guān)系 2 模擬頻率 和數(shù)字頻率 之間的關(guān)系 令s j z ej s平面上 與z平面上的 成非線性關(guān)系 在零頻率附近 接近于線性關(guān)系 進(jìn)一步增加時(shí) 增長(zhǎng)變得緩慢 終止于折疊頻率處 所以雙線性變換不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象 3 雙線性變換法的缺點(diǎn) 與 成非線性關(guān)系 導(dǎo)致 1 數(shù)字濾波器的頻響曲線不能保真地模仿模擬濾波器的曲線形狀 發(fā)生畸變 例如 一個(gè)模擬微分器 它的幅度與頻率是直線關(guān)系 但通過(guò)雙線性變換后 就不可能得到數(shù)字微分器 2 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后 得到的數(shù)字濾波器為非線性相位 3 要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段恒定的 故雙線性變換只能用于設(shè)計(jì)低通 高通 帶通 帶阻等選頻濾波器 目前仍是使用得最普遍 最有成效的一種設(shè)計(jì)工具 原因 大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性 它們?cè)谕◣?nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)特性 在阻帶部分要求逼近一個(gè)衰減為 的常數(shù)特性 這種特性的濾波器通過(guò)雙線性變換后 雖然頻率發(fā)生了非線性變化 但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性 4 預(yù)畸變校正 模擬濾波器H s 雙線性變換后 得到的H z 在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的起伏特性 只是截止頻率 以及起伏的峰點(diǎn) 谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線性變化 即畸變 校正方法 將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變 然后通過(guò)雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上 利用關(guān)系式 將所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器臨界頻率點(diǎn)變換成對(duì)應(yīng)的模擬域頻率臨界頻率點(diǎn) 設(shè)計(jì)模擬濾波器 再通過(guò)雙線性變換 即可得到所需的數(shù)字濾波器 5 計(jì)算H z 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單 由于s與z之間的簡(jiǎn)單代數(shù)關(guān)系 所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過(guò)代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) 置換過(guò)程 頻響 例6 4 1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1 z 為 解 首先寫(xiě)出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha s 為 利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2 z 為 H1 z 和H2 z 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6 4 5 a b 所示 圖6 4 5例6 4 1圖 H1 z 和H2 z 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) a H1 z b H2 z 數(shù)字濾波器H1 z 和H2 z 的幅頻特性 如果采用雙線性變換法 邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 6 利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟 1 確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 通帶截止頻率 p 通帶衰減 p 阻帶截止頻率 s 阻帶衰減 s 2 將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 3 按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 4 將模擬濾波器Ha s 從s平面轉(zhuǎn)換到z平面 得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H z 如果采用脈沖響應(yīng)不變法 邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 7 T的選擇 脈沖響應(yīng)不變法 如采用脈沖響應(yīng)不變法 為避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象 要求所設(shè)計(jì)的模擬低通濾波器帶限于之間 由于實(shí)際濾波器都有一定寬度過(guò)渡帶 可選擇T滿(mǎn)足公式 若先給定數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)時(shí) 由于數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)以2 為周期 最高頻率在 處 因此 按照線性關(guān)系 那么一定滿(mǎn)足 這樣T可以任選 雙線性變換法 不存在頻率混疊現(xiàn)象 尤其對(duì)于設(shè)計(jì)片斷常數(shù)濾波器 T可任選 1 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為 p 0 2 rad p 1dB s 0 3 rad s 15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為T(mén) 1s p 0 2 rad s p 1dB s 0 3 rad s s 15dB 例6 4 2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器 要求在通帶內(nèi)頻率低于0 2 rad時(shí) 容許幅度誤差在1dB以?xún)?nèi) 在頻率0 3 到 之間的阻帶衰減大于15dB 指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器 試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器 解 設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器 先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率 c 取N 6 為求3dB截止頻率 c 將 p和 p代入得到 c 0 7032rad s 顯然此值滿(mǎn)足通帶技術(shù)要求 同時(shí)給阻帶衰減留一定余量 這對(duì)防止頻率混疊有一定好處 為去歸一化 將p s c代入Ha p 中 得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha s 根據(jù)階數(shù)N 6 查表6 2 1 得到歸一化傳輸函數(shù)為 用脈沖響應(yīng)不變法將Ha s 轉(zhuǎn)換成H z 首先將Ha s 進(jìn)行部分分式 并按照 6 3 11 式 6 3 12 式 或者 6 3 13 式和 6 3 14 式 得到 圖6 4 7例6 4 2圖 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 2 用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為 p 0 2 rad p 1dB s 0 3 rad s 15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器 階數(shù)N計(jì)算如下 取N 6 為求 c 將 s和 s代入 6 2 18 式中 得到 c 0 7662rad s 這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿(mǎn)足要求 通帶指標(biāo)已經(jīng)超過(guò) 根據(jù)N 6 查表6 2 1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha p 與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同 為去歸一化 將p s c代入Ha p 得實(shí)際的Ha s 用雙線性變換法將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H z 圖6 4 8例6 4 2圖 用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 2 將所需類(lèi)型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類(lèi)型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) 轉(zhuǎn)換公式為 6 5數(shù)字高通 帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 具體設(shè)計(jì)步驟如下 1 確定所需類(lèi)型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) 3 將所需類(lèi)型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo) 具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6 2節(jié) 4 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 5 將模擬低通通過(guò)頻率變換 轉(zhuǎn)換成所需類(lèi)型的模擬濾波器 6 采用雙線性變換法 將所需類(lèi)型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類(lèi)型的數(shù)字濾波器 例6 5 1設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器 要求通帶截止頻率 p 0 8 rad 通帶衰減不大于3dB 阻帶截止頻率 s 0 44 rad 阻帶衰減不小于15dB 希望采用巴特沃斯型濾波器 解 1 數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為 p 0 8 rad p 3dB s 0 44 rad s 15dB 2 模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下 令T 1 則有 3 模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下 將 p和 s對(duì)3dB截止頻率 c歸一化 這里 c p 4 設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G p 模擬低通濾波器的階數(shù)N計(jì)算如下 為去歸一化 將p s c代入上式得到 5 將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通 將上式中G s 的變量換成1 s 得到模擬高通Ha s 查表6 2 1 得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G p 為 6 用雙線性變換法將模擬高通H s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H z 實(shí)際上 5 6 兩步可合并成一步 即 例6 5 2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器 通帶范圍為0 3 rad到0 4 rad 通帶內(nèi)最大衰減為3dB 0 2 rad以下和0 5 rad以上為阻帶 阻帶內(nèi)最小衰減為18dB 采用巴特沃斯型模擬低通濾波器 解 1 數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為通帶上截止頻率 u 0 4 rad通帶下截止頻率 l 0 3 rad 阻帶上截止頻率 s2 0 5 rad阻帶下截止頻率 s1 0 2 rad通帶內(nèi)最大衰減 p 3dB 阻帶內(nèi)最小衰減 s 18dB 2 模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下 設(shè)T 1 則有 通帶中心頻率 帶寬 將以上邊界頻率對(duì)帶寬B歸一化 得到 u 3 348 l 2 348 s2 4 608 s1 1 498 0 2 804 3 模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo) 歸一化阻帶截止頻率 歸一化通帶截止頻率 p 1 p 3dB s 18dB 4 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 查表6 2 1 得到歸一化低通傳輸函數(shù)G p 5 將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通 6 通過(guò)雙線性變換法將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H z 下面將 5 6 兩步合成一步計(jì)算 將上式代入 5 中的轉(zhuǎn)換公式 得 將上面的p等式代入G p 中 得 例6 5 3設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶阻濾波器 通帶下限頻率 l 0 19 阻帶下截止頻率 s1 0 198 阻帶上截止頻率 s2 0 202 通帶上限頻率 u 0 21 阻帶最小衰減 s 13dB l和 u處衰減 p 3dB 采用巴特沃斯型 解 1 數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo) l 0 19 rad u 0 21 rad p 3dB s1 0 198 rad s2 0 202 rad s 13dB 2 模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo) 設(shè)T 1 則有 阻帶中心頻率平方為 20 l u 0 421阻帶帶寬為B u l 0 07rad s 將以上邊界頻率對(duì)B歸一化 l 8 786 u 9 786 s1 9 186 s2 9 386 20 l u 85 98 3 模擬歸一化低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 按照 6 2 48 式 有 p 1 p 3dB 4 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 5 將G p 轉(zhuǎn)換成模擬阻帶濾波器Ha s 6 將Ha s 通過(guò)雙線性變換 得到數(shù)字阻帶濾波器H z 6 6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法 1 零極點(diǎn)累試法 2 在確定零極點(diǎn)位置時(shí)要注意 極點(diǎn)必須位于z平面單位圓內(nèi) 保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定 復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必須共軛成對(duì) 保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實(shí)的 1 定義 根據(jù)幅度特性先確定零極點(diǎn)位置 再按照確定的零極點(diǎn)寫(xiě)出系統(tǒng)函數(shù) 畫(huà)出其幅度特性 并與希望的進(jìn)行比較 如不滿(mǎn)足要求 可通過(guò)移動(dòng)零極點(diǎn)位置或增加 減少 零極點(diǎn) 進(jìn)行修正 這種修正是多次的 因此稱(chēng)為零極點(diǎn)累試法 圖6 6 1例6 6 1圖 a 零極點(diǎn)分布 b 幅度特性 6 6 1 Hd ej 是希望設(shè)計(jì)的濾波器頻響 如果在 0 區(qū)間取N點(diǎn)數(shù)字頻率 i i 1 2 N 在這N點(diǎn)頻率上 比較 Hd ej 和 H ej 寫(xiě)出兩者的幅度平方誤差E為 6 6 2 2 在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 設(shè)IIR濾波器由K個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成 系統(tǒng)函數(shù)用H z 表示 A是常數(shù) ai bi ci di是待求的系數(shù) 中共有 4K 1 個(gè)待定的系數(shù) 求它們的原則是使E最小 6 6 3 下面我們研究采用 6 6 1 式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 如何求出 4K 1 系數(shù) 按照 6 6 2 式 E是 4K 1 個(gè)未知數(shù)的函數(shù) 用下式表示 表示4K個(gè)系數(shù)組成的系數(shù)向量 為推導(dǎo)公式方便 令 為選擇A使E最小 令 6 6 4 設(shè) k是 的第k個(gè)分量 ak或bk或ck或dk 6 6 5 因?yàn)?式中H i表示對(duì)Hi函數(shù)共軛 6 6 6 將上式具體寫(xiě)成對(duì)ak bk ck dk的偏導(dǎo) 得到 6 6 7 同理求得 6 6 8 6 6 9 6 6 10 由于系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)有理函數(shù) 極 零點(diǎn)均以共軛成對(duì)的形式存在 對(duì)于極點(diǎn)z1 一定有下面關(guān)系 6 6 11 圖6 6 2例6 6 2圖 a 要求的幅度特性 b k 1 2時(shí)的幅度特性 例6 6 2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器 其幅度特性如圖6 6 2 a 所示 截止頻率 s 0 1 rad 解 考慮到通帶和過(guò)渡帶的重要 在0 0 2 區(qū)間 每隔0 01 取一點(diǎn) i值 在0 2 區(qū)間每隔0 1 取一點(diǎn) i值 并增加一點(diǎn)過(guò)渡帶 在 0 1 處 Hd ej 0 51 0 0 0 01 0 02 0 09 0 5 0 1 0 0 0 11 0 12 0 19 0 0 0 2 0 3 N 29 取k 1 系統(tǒng)函數(shù)為 待求的參數(shù)是A a1 b1 c1 d1 設(shè)初始值 0000 25 T經(jīng)90次迭代 求得E 1 2611 系統(tǒng)函數(shù)零 極點(diǎn)位置為零點(diǎn)0 67834430 j0 73474418 極點(diǎn)0 75677793 j1 3213916為使濾波器因果穩(wěn)定 將極點(diǎn)按其倒數(shù)搬入單位圓內(nèi) 再進(jìn)行62次優(yōu)化迭代 求得結(jié)果為零點(diǎn)0 82191163 j0 56961501 極點(diǎn)0 89176390 j0 19181084 Ag 0 11733978 E 0 56731 誤差函數(shù)用下式表示 6 6 12 6 6 13 3 在時(shí)域直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 設(shè)濾波器是因果性的 系統(tǒng)函數(shù)為 a0 1 未知系數(shù)ai和bi共有N M 1個(gè) 取h n 的一段 0 n p 1 使其充分逼近hd n 用此原則求解M N 1個(gè)系數(shù) 將 6 6 13 式改寫(xiě)為 令p M N 1 則 6 6 14 h 0 b0h 0 a1 h 1 b1h 0 a2 h 1 a1 h 2 b2 6 6 15 6 6 16 令上面等式兩邊z的同冪次項(xiàng)的系數(shù)相等 可得到N M 1個(gè)方程 上式表明h n 是系數(shù)ai bi的非線性函數(shù) 考慮到i M時(shí) bi 0 一般表達(dá)式為 設(shè)x n 為給定的輸入信號(hào) yd n 是相應(yīng)的希望的輸出信號(hào) x n 和yd n 長(zhǎng)度分別為M和N 實(shí)際濾波器的輸出用y n 表示 下面我們按照y n 和yd n 的最小均方誤差求解濾波器的最佳解 設(shè)均方誤差用E表示 6 6 17 6 6 18 為選擇h n 使E最小 令 x n 0 n M1 yd n 0 n N 1 由 6 6 18 式得到 6 6 20 例6 6 2設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器 要求在給定輸入x n 3 1 的情況下 輸出yd n 1 0 25 0 1 0 01 0 解 設(shè)h n 長(zhǎng)度為p 4 按照 6 6 20 式 得 列出方程 10h 0 3h 1 3 253h 0 10h 1 3h 2 0 853h 1 10h 2 3h 3 0 313h 2 9h 3 0 03 解聯(lián)立方程 得h n 0 3333 0 0278 0 0426 0 0109將h n 以及M 1 N 2代入 6 6 15 6 6 16 式中 得a1 0 1824 a2 0 1126b0 0 3333 b1 0 0330濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 相應(yīng)的差分方程為y n 0 3333x n 0 0330 x n1 0 1824y n1 0 1126y n2 當(dāng)x n 3 1時(shí) 輸出y n 為y n 0 9999 0 2499 0 1 0 0099 0 0095 0 0006 0 0012 將y n 與給定yd n 比較 y n 的前五項(xiàng)與yd n 的前五項(xiàng)很相近 y n 在五項(xiàng)以后幅度值很小 作業(yè) P1934 5 6