數(shù)學(xué)分析教案(華東師大版)第十四章冪級數(shù).doc

第十四章 冪級數(shù) 教學(xué)目的：1.理解冪級數(shù)的有關(guān)概念，掌握其收斂性的有關(guān)問題；2.理解冪級數(shù)的運算，掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開式并認(rèn)識余項在確定函數(shù)能否展為冪級數(shù)時的重要性。 教學(xué)重點難點：本章的重點是冪級數(shù)的收斂區(qū)間、收斂半徑、展開式；難點是收斂區(qū)間端點處斂散性的判別。 教學(xué)時數(shù)：12學(xué)時 1 冪級數(shù)（ 4 時 ） 冪級數(shù)的一般概念. 型如 和 的冪級數(shù) . 冪級數(shù)由系數(shù)數(shù)列 唯一確定. 冪級數(shù)至少有一個收斂點. 以下只討論型如 的冪級數(shù).冪級數(shù)是最簡單的函數(shù)項級數(shù)之一. 一. 冪級數(shù)的收斂域: 1. 收斂半徑 、收斂區(qū)間和收斂域： Th 1 （ Abel ） 若冪級數(shù) 在點 收斂 ， 則對滿足不等式的任何 ，冪級數(shù) 收斂而且絕對收斂 ；若在點 發(fā)散 ，則對滿足不等式 的任何 ，冪級數(shù) 發(fā)散.證 收斂, 有界. 設(shè)| | , 有 | , 其中 . .定理的第二部分系第一部分的逆否命題.冪級數(shù) 和 的收斂域的結(jié)構(gòu). 定義冪級數(shù)的收斂半徑 R. 收斂半徑 R的求法. Th 2 對于冪級數(shù) , 若 , 則> 時,;> 時; > 時 .證 , ( 強調(diào)開方次數(shù)與 的次數(shù)是一致的). 由于 , 因此亦可用比值法求收斂半徑.冪級數(shù) 的收斂區(qū)間: . 冪級數(shù) 的收斂域: 一般來說 , 收斂區(qū)間 收斂域. 冪級數(shù) 的收斂域是區(qū)間 、 、 或 之一. 例1 求冪級數(shù) 的收斂域 . 例2 求冪級數(shù) 的收斂域 . 例3 求下列冪級數(shù)的收斂域: ; . 2. 復(fù)合冪級數(shù) : 令 , 則化為冪級數(shù) .設(shè)該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 ，則級數(shù) 的收斂區(qū)間由不等式 確定.可相應(yīng)考慮收斂域. 特稱冪級數(shù) 為正整數(shù))為缺項冪級數(shù) .其中 . 應(yīng)注意 為第項的系數(shù) . 并應(yīng)注意缺項冪級數(shù) 并不是復(fù)合冪級數(shù) , 該級數(shù)中,為第 項的系數(shù) . 例4 求冪級數(shù) 的收斂域 . 解 是缺項冪級數(shù) . . 收斂區(qū)間為 . 時,通項 . 因此 , 該冪級數(shù)的收斂域為 . 例5 求級數(shù) 的收斂域 . 解 令 , 所論級數(shù)成為冪級數(shù) .由幾何級數(shù)的斂散性結(jié)果, 當(dāng)且僅當(dāng) 時級數(shù) 收斂. 因此當(dāng)且僅當(dāng) , 即時級數(shù) 收斂. 所以所論級數(shù)的收斂域為 . 例6 求冪級數(shù) 的收斂半徑 . 解 . 二 冪級數(shù)的一致收斂性： Th 3 若冪級數(shù) 的收斂半徑為 ，則該冪級數(shù)在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂 .證 , 設(shè) , 則對 , 有, 級數(shù) 絕對收斂, 由優(yōu)級數(shù)判別法, 冪級數(shù) 在 上一致收斂. 因此 , 冪級數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂.Th 4 設(shè)冪級數(shù) 的收斂半徑為 ,且在點 ( 或 )收斂,則冪級數(shù) 在區(qū)間 ( 或 )上一致收斂 .證 . 收斂 , 函數(shù)列 在區(qū)間 上遞減且一致有界,由Abel判別法,冪級數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .易見 , 當(dāng)冪級數(shù) 的收斂域為 ( 時 , 該冪級數(shù)即在區(qū)間上一致收斂 . 三. 冪級數(shù)的性質(zhì): 1. 逐項求導(dǎo)和積分后的級數(shù): 設(shè) , *) 和 *)仍為冪級數(shù). 我們有 命題1 *) 和 *)與 有相同的收斂半徑 . ( 簡證 )值得注意的是，*) 和 *)與 雖有相同的收斂半徑（ 因而有相同的收斂區(qū)間），但未必有相同的收斂域 ， 例如級數(shù) . 2. 冪級數(shù)的運算性質(zhì):定義 兩個冪級數(shù) 和 在點 的某鄰域內(nèi)相等是指：它們在該鄰域內(nèi)收斂且有相同的和函數(shù). 命題2 ,.(由以下命題4系2) 命題3 設(shè)冪級數(shù) 和 的收斂半徑分別為 和 , , 則> , Const ， . > + , . > ( )( ) , , . 3. 和函數(shù)的性質(zhì): 命題4 設(shè)在 ( 內(nèi) . 則 > 在 內(nèi)連續(xù); > 若級數(shù) 或 收斂, 則 在點 ( 或 )是左( 或右 )連續(xù)的; > 對 , 在點 可微且有 ; > 對 , 在區(qū)間 上可積, 且 . 當(dāng)級數(shù) 收斂時, 無論級數(shù) 在點 收斂與否,均有 . 這是因為: 由級數(shù) 收斂, 得函數(shù) 在點 左連續(xù), 因此有 . 推論1 和函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)任意次可導(dǎo), 且有 , .由系1可見, 是冪級數(shù)的和函數(shù)的必要條件是 任意次可導(dǎo).推論2 若 , 則有 例7 驗證函數(shù) 滿足微分方程 .驗證 所給冪級數(shù)的收斂域為 . . , 代入, . 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開 一. 函數(shù)的冪級數(shù)展開: 1. Taylor級數(shù): 設(shè)函數(shù) 在點 有任意階導(dǎo)數(shù).Taylor公式和Maclaurin公式 .Taylor公式： . 余項 的形式:Peano型余項: , （ 只要求在點 的某鄰域內(nèi)有 階導(dǎo)數(shù) ， 存在 ） Lagrange型余項: 在 與 之間. 或 . 積分型余項: 當(dāng)函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)有 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時, 有 . Cauchy余項: 在上述積分型余項的條件下, 有Cauchy余項 . 特別地， 時，Cauchy余項為 在 與 之間. Taylor級數(shù): Taylor公式僅有有限項, 是用多項式逼近函數(shù). 項數(shù)無限增多時, 得 , 稱此級數(shù)為函數(shù) 在點 的Taylor級數(shù). 只要函數(shù) 在點 無限次可導(dǎo), 就可寫出其Taylor級數(shù). 稱 = 時的Taylor級數(shù)為Maclaurin級數(shù), 即級數(shù) .自然會有以下問題: 對于在點 無限次可導(dǎo)的函數(shù) , 在 的定義域內(nèi)或在點 的某鄰域內(nèi), 函數(shù) 和其Taylor級數(shù)是否相等呢 ?2 函數(shù)與其Taylor級數(shù)的關(guān)系： 例1 函數(shù) 在點 無限次可微 . 求得 . 其Taylor級數(shù)為 . 該冪級數(shù)的收斂域為 . 僅在區(qū)間 內(nèi)有 = . 而在其他點并不相等, 因為級數(shù)發(fā)散. 那么, 在Taylor級數(shù)的收斂點, 是否必有 和其Taylor級數(shù)相等呢 ? 回答也是否定的 . 例2 函數(shù) 在點 無限次可導(dǎo)且有 因此其Taylor級數(shù) ，在 內(nèi)處處收斂 . 但除了點 外, 函數(shù) 和其Taylor級數(shù)并不相等.另一方面, 由本章1命題4推論2（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點 的某鄰域內(nèi)倘有,則在點無限次可導(dǎo)且級數(shù) 必為函數(shù)在點 的Taylor級數(shù).綜上 , 我們有如下結(jié)論: 對于在點 無限次可導(dǎo)的函數(shù) , 其Taylor級數(shù)可能除點 外均發(fā)散, 即便在點 的某鄰域內(nèi)其Taylor級數(shù)收斂, 和函數(shù)也未必就是 . 由此可見, 不同的函數(shù)可能會有完全相同的Taylor級數(shù). 若冪級數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù) , 則該冪級數(shù)就是函數(shù) 在點 的Taylor級數(shù).于是 , 為把函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于 的冪級數(shù)，我們只能考慮其Taylor級數(shù). 3 函數(shù)的Taylor展開式： 若在點 的某鄰域內(nèi)函數(shù) 的Taylor級數(shù)收斂且和恰為 ，則稱函數(shù) 在點 可展開成Taylor級數(shù)(自然要附帶展開區(qū)間. 稱此時的Taylor級數(shù)為函數(shù) 在點 的Taylor展開式或冪級數(shù)展開式. 簡稱函數(shù) 在點 可展為冪級數(shù). 當(dāng)= 0 時, 稱Taylor展開式為Maclaurin展開式. 通常多考慮的是Maclaurin展開式.4. 可展條件: Th 1 ( 必要條件 ) 函數(shù) 在點 可展 , 在點 有任意階導(dǎo)數(shù) .Th 2 ( 充要條件 ) 設(shè)函數(shù)在點 有任意階導(dǎo)數(shù) . 則 在區(qū)間內(nèi)等于其Taylor級數(shù)( 即可展 )的充要條件是: 對 ,有 . 其中 是Taylor公式中的余項.證 把函數(shù) 展開為 階Taylor公式, 有 .Th 3 ( 充分條件 ) 設(shè)函數(shù) 在點 有任意階導(dǎo)數(shù) , 且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一致有界, 則函數(shù) 可展.證 利用Lagrange型余項 , 設(shè) , 則有.例3 展開函數(shù) > 按冪; > 按冪. 解 , , . 所以 , > . 可見 , 的多項式 的Maclaurin展開式就是其本身. > . 二. 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式: 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式. 為得到初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 , 或直接展開, 或間接展開.1. . ( 驗證對 R ， 在 區(qū)間 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ). . 2. , . , . 可展是因為 在 內(nèi)一致有界. 3. 二項式 的展開式: 為正整數(shù)時, 為多項式, 展開式為其自身;為不是正整數(shù)時, 可在區(qū)間 內(nèi)展開為 對余項的討論可利用Cauchy余項. 具體討論參閱1P56. 時, 收斂域為 ; 時, 收斂域為 ; 時, 收斂域為 . 利用二項式 的展開式 , 可得到很多函數(shù)的展開式. 例如取 ,得 ， .時, , . 間接展開: 利用已知展開式 , 進(jìn)行變量代換、四則運算以及微積運算, 可得到一些函數(shù)的展開式. 利用微積運算時, 要求一致收斂. 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 ,總可保證這些運算暢通無阻. 4. . .事實上 , 利用上述 的展開式, 兩端積分 , 就有 , .驗證知展開式在點 收斂, 因此 , 在區(qū)間 上該展開式成立. 5. .由 . 兩端積分,有 驗證知上述展開式在點 收斂, 因此該展開式在區(qū)間 上成立.(這里應(yīng)用了習(xí)題中第2題的結(jié)果,) 例4 展開函數(shù) . 解 . 例5 展開函數(shù) . 解 . 習(xí) 題 課 一. 求收斂區(qū)間或收斂域: 例1 求冪級數(shù) 的收斂區(qū)間 . 例2 求冪級數(shù) 的收斂域. 解 設(shè) , 注意到 , 有 . 時, 收斂域為 . 二. 函數(shù)展開: 例3 把函數(shù) 展開成 的冪級數(shù) . 解 , , , ; ; , . 與 的展開式 比較. 例4 展開函數(shù) . 解 , , . 因此, ， . 例5 展開函數(shù) . 解 , ; 因此, , . 例6 把函數(shù) 展開成 的冪級數(shù). 解 , . 而 = , . 三. 函數(shù)展開式應(yīng)用舉例: 1. 做近似計算 : 例7 計算積分 , 精確到 . 解 . 因此, . 上式最后是Leibniz型級數(shù) , 其余和的絕對值不超過余和首項的絕對值 . 為使,可取 .故從第 項到第 項這前7 項之和達(dá)到要求的精度.于是 . 2. 利用展開式求高階導(dǎo)數(shù): 原理. 例8 設(shè) 證明對 存在并求其值. 解 , . 時, , 直接驗證可知上式當(dāng) 時也成立 . 因此在 內(nèi)有 , . 函數(shù) 作為 的冪級數(shù)的和函數(shù), 對 存在 , 且 即 四. 冪級數(shù)求和: 原理: 對某些冪級數(shù), 有可能利用初等運算或微積運算以及變量代換化為已知的函數(shù)展開式( 特別是化為函數(shù) 和 的展開式 ),借以求和. 例9 求冪級數(shù) 的和函數(shù)并求級數(shù) 和Leibniz級數(shù) 的和. 解 冪級數(shù) 的 收斂域為 , 設(shè)和函數(shù)為 ,則在 內(nèi)有 , 注意到 , 則對 有 . 又 在點 連續(xù) , 于是在區(qū)間 內(nèi)上式成立. 即有 , . 取 , 有 . 取 , 有 . 例10 求冪級數(shù) 的和函數(shù). 并利用該冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù) 的和函數(shù)以及數(shù)項級數(shù) 的和. 解 該冪級數(shù)的收斂域為 . 在 內(nèi)設(shè) . 現(xiàn)求 . 對 ,有 . 由 連續(xù) , 有 . 因此, , . 作代換 , 有 . . . 例11 求冪級數(shù) 的和函數(shù). 解法一 收斂域為 ,設(shè)和函數(shù)為 , 則有 . 因此, = , . 解法二 , . 例12 求冪級數(shù) 的和函數(shù). 解 . 例13 求數(shù)項級數(shù) 的和. 解 該級數(shù)為Leibniz型級數(shù), 因此收斂. 考慮冪級數(shù) , 其收斂域為 . 設(shè)和函數(shù)為 , 在 內(nèi)有 , . 注意到 ,對 有 , . 于是, .