2018年中考數(shù)學試題分類匯編 知識點38 相似、位似及其應用

知識點38 相似、位似及其應用一、選擇題1. （2018山東濱州，6，3分）在平面直角坐標系中，線段AB兩個端點的坐標分別為A（6，8）、B（10，2）若以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的后得到線段CD，則點A的對應點C的坐標為（ ） A（5，1） B（4，3） C（3，4） D（1，5）【答案】C【解析】根據(jù)題意：點C的坐標為(6×，8×)，即C(3，4)，【知識點】以原點為位似中心的兩個位似圖形的坐標特征2. （2018四川瀘州，10題，3分）如圖4，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE=3ED，DF=CF，則的值是（ ）A. B. C. D.第10題圖【答案】C【解析】因為正方形中，AE=3ED，DF=CF，所以設(shè)邊長為4a，則AE=3a，ED=a，DF=CF=2a，延長BE、CD交于點M，易得ABEMDE，可得MD=，因為ABGMFG，AB=4a，MF=，所以第10題解圖【知識點】相似三角形3. （2018四川內(nèi)江，8，3）已知ABC與A1B1C1相似，且相似比為1：3，則ABC與A1B1C1的面積比為（ ） A1：1 B1：3 C1：6 D1：9 【答案】D【解題過程】解：ABCA1B1C1相似，()2故選擇D【知識點】相似三角形的性質(zhì)4. （2018山東濰坊，8，3分）在平面直角坐標系中，點P（m，n）是線段AB上一點，以原點O為位似中心把AOB放大到原來的兩倍，則點P的對應點的坐標為（ ） A（2m，2n）B（2m，2n）或（2m，2n）C（，）D（，）或（，）【答案】B【解析】當放大后的AOB與AOB在原點O同側(cè)時，點P對應點坐標為（2m，2n），當放大后的AOB與AOB在原點O兩側(cè)時，點P對應點坐標為（2m，2n），故選擇B.【知識點】圖形的位似5. （2018四川省達州市，9，3分）如圖，E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，AECFAC，連接DE、DF并延長，分別交AB、BC于點G、H，連接GH，則的值為（ ）A B C D1 第9題圖【答案】C【解析】如圖，過點H作HMAB交AD于M，連接MG設(shè)S平行四邊形ABCD1AECFAC，SADESADCS平行四邊形ABCD，SDECSAEGSDECSADGSADESAEG，SAMGSADG，SGBH2 SAMG故選C.【知識點】相似三角形的性質(zhì)；同底等高面積相等6.（2018四川省南充市，第10題，3分）如圖，正方形的邊長為2，為的中點，連結(jié)，過點作于點，延長交于點，過點作于點，交于點，連接.下列結(jié)論正確的是（ ）A BC D【答案】D【思路分析】1.利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，求得AH的值，再利用平行線分線段成比例，得到BG=EG，利用垂直平分線的性質(zhì)，可得CE=BC；2.根據(jù)角之間的關(guān)系，推出AE=EF，設(shè)AB=EF=x，進而利用勾股定理求出EF的長度；3.利用7=1，易得cosCEP=cos1，在RtBDP中，求得cosCEP；4.在RtFAH中，利用勾股定理求出HF2，在RtCDF中，求得CF的長度，即可得證.【解題過程】解：由BEAP，BECH，可證APCH，又CPAH，四邊形CPAH是平行四邊形，AH=CP=CD=1，BH=1，又BH=AH，GHAP，BG=EG，BC=CE=2，故A錯誤；CHAP，2=4，2+1=90°，4+5=90°，1=5，由BC=CE，BGCG，可知5=6，又CHAP，6=7=8，1=8，AF=EF，設(shè)AF=EF=x，則由勾股定理，可知CD2+DF2=CF2，即22+(2x)2=(2+x)2，解得：x=，即EF=AF=，故B錯誤；在RtADP中，AP=,由7=1，可得：cosCEP=cos1=，故C錯誤；在RtFAH中，AH=1，AF=，HF2=AH2+AF2=1+=，在RtCDF中，CD=2，DF=，CF=，CFEF=×=HF2.故D選項正確.故選D.【知識點】平行線的性質(zhì)和判定；平行四邊形的判定；平行線分線段成比例；勾股定理；三角函數(shù)7. （2018浙江紹興，7，3分）學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置繞點旋轉(zhuǎn)到位置，已知，垂足分別為，則欄桿端應下降的垂直距離為（ ）（第7題圖）A B C D 【答案】C【解析】由題意可知ABOCDO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，故選C?！局R點】相似三角形的性質(zhì)8. （2018江蘇泰州，6，3分）如圖，平面直角坐標系中，點的坐標為，軸，垂足為，點從原點出發(fā)向軸正方向運動，同時，點從點出發(fā)向點運動，當點到達點時，點、同時停止運動，若點與點的速度之比為，則下列說法正確的是( )A.線段始終經(jīng)過點B.線段始終經(jīng)過點C.線段始終經(jīng)過點D.線段不可能始終經(jīng)過某一定點【答案】A【解析】連接AO交PQ于點C，過點C作CDAB于點D，ABy軸，ABx軸，A=COP，AQC=OPC，AQCOPC，同上得，點A的坐標為（9，6），點C的坐標為（3，2）. 故選A.【知識點】雙動點，相似，定點9.（2018山東臨沂，6，3分）如圖，利用標桿測量建筑物的高度已知標桿BE高1.2m，測得AB1.6m，BC12.4m則建筑物CD的高是( )第6題圖A9.3m B10.5m C.12.4m D14m【答案】B【解析】由題意知BECD，ABEACD，即，解得CD=10.5（m），故選B.【知識點】相似三角形的判定和性質(zhì) 解直角三角形10. （2018山東威海，11，3分）矩形ABCD與CEFG如圖放置，點B，C，E共線，點C，D，G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH，若BCEF2，CDCE1，則GH( ) ABCD 【答案】C 【思路分析】若要求GH的長，應先將其轉(zhuǎn)化到三角形中，過點H作HM垂直于CG于點M，在RtGHM中，只要求出GM、HM，即可解決問題【解題過程】過點H作HM垂直于CG于點M，設(shè)AF交CG于點O根據(jù)題意可知GOFDOA，所以O(shè)FOAAF，即AF3OF，因為點H是AF的中點，所以O(shè)HAFAFAF，即AF6OH，所以O(shè)HOF根據(jù)已知條件可知HOMGOF，可以推出HM；同理，通過HOMAOD，可以推出DMDG，即GMDG，在RtGHM中，GH。故選C【知識點】三角形相似的性質(zhì)與判定、勾股定理11. （2018四川省德陽市，題號12，分值：3）如圖，四邊形AOEF是平行四邊形，點B為OE的中點，延長FO至點C，使FO=3OC，連接AB，AC，BC，則在ABC中，SABO:SAOC:SBOC（ ）A.6:2:1 B.3:2:1 C.6:3:2 D.4:3:2 【答案】B.【解析】四邊形AOEF是平行四邊形，AFEO，AFM=BOM，F(xiàn)AM=MBO，AFMBOM，.設(shè)SBOM=S，則SAOM=2S.FO=3OC，OM=FM，OM=OC，SAOC=SAOM=2S，SBOC=SBOM=S，SABO:SAOC:SBOC=3:2:1.【知識點】相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)12. （2018四川省宜賓市，6，3分）如圖，將ABC沿BC邊上的中線AD平移到A'B'C'的位置，已知ABC的面積為9，陰影部分三角形的面積為4.若AA'=1,則A'D等于（ ）A. 2 B.3 C. D. 【答案】A【解析】如圖，SABC=9、SAEF=4，且AD為BC邊的中線，SADE=SAEF=2，SABD=SABC=，將ABC沿BC邊上的中線AD平移得到A'B'C'，AEAB，DAEDAB，（）2=，即（）2=，解得AD=2或AD=（舍去），故選：A【知識點】平移的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)；三角形中線的性質(zhì)1. （2018湖北鄂州，10，3分）如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線分別與x軸、y軸交于點P、Q，在RtOPQ中從左向右依次作正方形A1B1C1C2、A2B2C2C3、A3B3C3C4AnBnCnCn+1，點A1、A2、A3An在x軸上，點B1在y軸上，點C1、C2、C3Cn+1在直線PQ上，再將每個正方形分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形，其中每個小正方形的邊都與坐標軸平行，從左到右的小正方形（陰影部分）的面積分別記為S1、S2、S3Sn，則Sn可表示為（ ） A B C D【答案】A【思路分析】首先由一次函數(shù)關(guān)系式求得點P和點Q的坐標，用勾股定理求得PQ的長度，利用等面積法求得ON的長度，然后由O A1B1OPQ求得正方形A1B1C1C2的邊長a1的值，從而得出S110；在利用勾股定理和O A1B1OPQ，得出正方形A2B2C2C3的邊長a2a1，以此類推，得到Sn10×Sn-110××【解析】如下圖（1），當x0時，y，故點Q的坐標為（0，），OQ；當y0時，解得x13，故點P的坐標為（13，0），OP13，在RtOPQ中，則PQ，過點O作ONPQ于點N，交A1B1于點M，則SOPQOP·OQON·PQ，則ON，設(shè)正方形A1B1C1C2的邊長為a1，四邊形A1B1C1C2是正方形，A1B1PQ，則O A1B1OPQ，即，解得a1，則S110，OA1B1OPQ，令OB1m，則OA13m，則在RtOPQ中，解得m1，故OB1m1，OA13m3，則S110，設(shè)正方形A2B2C2C3的邊長為a2，則A1C2A2B2a2，四邊形A2B2C2C3是正方形，A1B2A2A1OB190°，OB1 A1OA1B190°，OA1B1B2A1A290°，OB1 A1B2A1A2，又A1OB1A1 B2A290°，O A1B1A1A2B2，3，a2，又A1B2B2C2A1C2，a2a2a1，解得a2a1，S210×，同理可得anan-1，Sn10×Sn-110××，故選A【知識點】一次函數(shù)性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；等面積法；相似三角形的性質(zhì)和判定；勾股定理；找規(guī)律2. （2018四川遂寧，10，4分）已知如圖，在正方形ABCD中，AD=4，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的一點，且EAF=45°，EC=1，將ADE繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后與ABG重合，連接EF，過點B作BMAG，交AF于點M，則以下結(jié)論：DE+BF=EF，BF=，AF=，SMBF=中正確的是A. B. C. D.【答案】D.【解析】解：ABC=90°，ABG=90°，在ADE和ABG中，ADEABG（SAS），AE=AG，DAE=BAG，BAD=90°，EAF=45°，BAF+DAE=45°，BAF+BAG=45°，即GAF=45°，EAF=GAF，在AEF和AGF中，AEFAGF（SAS），EF=GF，GF=BG+BF=DE+BF，EF=DE+BF故正確；設(shè)BF=x，則FC=4-x，GF=EF=3+x，在RtEFC中，F(xiàn)C2+EC2=EF2，(4-x)2+12=(3+x)2，解得x=，故正確；在RtABF中，AB2+BF2=AF2，AF2=42+()2=，AF=，故錯誤；SAGF=GF·AB=.BMAG，BFMGFA，,SMBF=×SAGF=.故正確.故選D.【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)3. （2018·重慶A卷，5，4）要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5cm，6cm 和9cm，另一個三角形的最短邊長為2.5cm，則它的最長邊為 （ ）A3cm B4cm C4.5cm D5cm【答案】 C【解析】設(shè)中另一個三角形的最長邊為xcm，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得，解得x4.5，故選C【知識點】相似三角形的性質(zhì)4. （2018貴州遵義，10題，3分）如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EFBC，分別交AB、CD于E、F，連接PB、PD，若AE=2，PF=8，則圖中陰影部分的面積為A.10 B.12 C.16 D.18第10題圖【答案】C【解析】矩形ABCD中，ABCD，所以EAP=FCP，因為APE=FCP，所以APEFCP，所以，因為EFBC，所以EB=FC，所以EB·EP=AE·FP=16，所以，因為DF=AE=2，所以【知識點】矩形，相似三角形，三角形面積5. （2018湖北荊門，6，3分） 如圖，四邊形為平行四邊形，、為邊的兩個三等分點，連接、交于點，則（ ）A B C. D【答案】 C.【解析】解：E、F為CD邊的兩個三等分點，EF=CD.四邊形ABCD是平行四邊形，CD=AB，CDAB，EF=AB，EFGBAG，=.故選C.【知識點】平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)6.（2018湖南省永州市，8，4）如圖，在ABC中，點D是邊AB上的一點，ADC=ACB，AD=2，BD=6，則邊AC的長為（ ） A2 B4 C.6 D8 【答案】B【解析】A=A，ADC=ACB，ADCACB，AC：AB=AD：AC，AC2=ADAB=2×8=16，AC0，AC=4. 因此，本題選B【知識點】相似三角形的條件 相似三角形的性質(zhì) 7. （2018四川攀枝花，9，3）如圖3，點A的坐標為(0,1)，點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作RtABC，使BAC=90°，ACB=30°，設(shè)點B的橫坐標為x，點C的縱坐標為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( ) 【答案】C【思路分析】可根據(jù)題意求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再由關(guān)系式判斷函數(shù)的大致圖像?！窘馕觥咳鐖D，過點C作CDy軸，垂足為D，易證AOBCDA，所以，由BAC=90°，ACB=30°，得，所以，整理得：（），結(jié)合自變量的取值范圍，可知y與x的函數(shù)關(guān)系的圖像大致應該選C.【知識點】平面直角坐標系，相似三角形，一次函數(shù)的圖像8. （2018四川自貢，6，4分）如圖，在中，點 分別是的中點，若的面積為4，則是的面積為（ ）A. 8 B. 12 C. 14 D. 16【答案】D【解析】點D、E分別是AB、AC的中點，又DAEBAC，ADEABC，且相似比為1:2，面積比為1:4，ADE的面積為4，ABC的面積為16，故選擇D.【知識點】相似三角形的性質(zhì)與判定9.（2018湖北省孝感市，10，3分）如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，于點，連分別交，于點，過點作交于點，則下列結(jié)論：；.A5 B4 C3 D2【答案】B【解析】由ABC是等邊三角形可知:ABC=ACB=BAC=60°，AB=BC=AC由ABD是等腰直角三角形且AEBD可知：ADB=ABD=45°，BAD=90°，AB= ADAC= AD，DAC=BAD+BAC=90°+60°=150°，所以ADC=ACD=（180°-DAC）=×（180°-150°）=15°，所以說法正確.EDF=ADB-ADC=45°-15°=30°，DFE=90°-EDF=90°-30°=60°=AFGAGD=90°-ADG=90°-15°=75°，AFGAGD，AFAG，所以說法錯誤. ，AC= AD，DAH=CAH=DAC=×150°=75°.BAH=CAH-BAC=75°-60°=15°=ADF又DAF=90°-ADE=90°-45°=45°=ABH在BAH和ADF中，AH=DF. 說法正確. 在AFG和CBG中，說法正確. EAH=BAD-DAE-BAH=90°-45°-15=30°，F(xiàn)DE=ADE-ADC=45°-10°=30°，EAH=FDE. 在AEH和DEF中，EH=EF在RtAEH中，AH=2EH,AE=AE=AF=AE-EF=-EF=. 說法正確.故選B.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)角和定理；三角形外角的性質(zhì)；相似三角形的判定定理及性質(zhì)；全等三角形的判定定理及性質(zhì)；勾股定理.10. （2018浙江省臺州市，8，3分） 如圖，在中，.以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，射線交的延長線于點，則的長是（ ）A B1 C D 【答案】B【思路分析】根據(jù)作圖可知CE是BCD的角平分線，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)即可求出AE的長.【解題過程】如圖所示，根據(jù)作圖過程可知CE是BCD的角平分線，F(xiàn)CB=FCD，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，且DC=AB=2，DFC=FCB，F(xiàn)CD=DFC，DF=DC=2，AF=AD-DC=3-2=1，AFBC，EAFEBC，即，解得AE=1【知識點】角平分線的尺規(guī)作圖；平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；11. （2018廣西玉林，6題，3分）兩三角形的相似比是2:3，則其面積比是A. B.2:3 C.4:9 D.8:27【答案】C【解析】相似三角形的面積比等于相似比的平方，因為相似比是2:3，所以面積比為4:9，故選C【知識點】相似性質(zhì)12. （2018廣西玉林，9題，3分）如圖，AOB=60°，OA=OB，動點C從點O出發(fā)，沿射線OB方向移動，以AC為邊在右側(cè)作等邊ACD，連接BD，則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直第9題圖【答案】A【解析】設(shè)AB與CD相交于點M，因為AOB=60°，OA=OB，所以AOB為等邊三角形，因為ACD為等邊三角形，所以ADM=CBM=60°，因為AMD=CMB，所以AMDCMB，所以，所以，因為AMC=DMB，所以AMCDMB，所以DBA=ACD=60°，所以DBA=BAO，BDOA，故選A【知識點】等邊三角形，相似三角形，平行線13. （2018山東省泰安市，18，3）九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說，大意是：如圖，是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門位于的中點，南門位于的中點，出東門15步的處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于處的樹木（即點在直線上）？請你計算的長為 步 【答案】 【思路分析】本題主要是考查學生建模思想，圖中是兩三角形相似中的基本圖形，運用相似三角形的對應邊成比例可求的長【解題過程】解：是正方形，DGKC， AHDAOC， 即 解得： 故答案是：【知識點】相似三角形判定及性質(zhì)二、填空題1. （2018四川內(nèi)江，25，6） 如圖，直線yx1與兩坐標軸分別交于A、B兩點，將線段OA分成n等份，分點分別為，過每個分點作x軸的垂線分別交直線AB于點，用，分別表示RtO，Rt，Rt的面積，則 【答案】【思路分析】由，為線段OA的n等分點，且每個分點作x軸的垂線分別交直線AB于點， ，可以得到若干個“A”字型的相似三角形，利用這些相似可以依次將上述直角三角形中的平行于y軸的直角邊表示出來，由于這些直角三角形的一條直角邊都是，所以提出將其整理就可以得到答案【解題過程】解：y軸，AABO，直線yx1與兩坐標軸分別交于A、B兩點，OAOB1，O，××，同理××，××，××（）××（n1n2n31）××【知識點】一次函數(shù)；相似三角形；2. （2018四川綿陽，18，3分）如圖，在ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于O點，則AB= 【答案】.【解析】解：連接DE，如圖所示.AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，DEAB，且DE=AB，.設(shè)OD=a，OE=b，則OA=2a，OB=2b，AC=3，BC=4，BD=2，AE=1.5.ADBE，在RtBOD中，OB2+OD2=BD2，即4b2+a2=4，在RtAOE中，OE2+OA2=AE2，即4a2+b2=2.25，5a2+5b2=6.25，即a2+b2=1.25.在RtAOB中，AB2=OB2+OA2=4a2+4b2=5，AB=.故答案為.【知識點】平行線分線段成比例定理，中位線的性質(zhì)，勾股定理3. （2018安徽省，14，5分）矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部，點E在邊BC上,滿足PBEDBC，若APD是等腰三角形,則PE的長為_。【答案】3或【解析】由題意知，點P在線段BD上，（1）如圖所示，若PD=PA, 則點P在AD的垂直平分線上，則點P為BD中點，故PE= (2)如圖所示，若DA=DP，則DP=8，在RtBCD中，BP=BD-DP=2，PBEDBC，PE=綜上所述，PE的長為3或. 【知識點】相似三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求線段的長4. （2018湖南岳陽，15，4分）九章算術(shù)是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是 步【答案】.【解析】解：如圖.設(shè)該直角三角形能容納的正方形邊長為x，則AD=12-x，F(xiàn)C=5-x根據(jù)題意易得ADEEFC，解得：x=.故答案為.【知識點】相似三角形的性質(zhì)5. （2018江蘇連云港，第11題，3分）如圖，ABC中，點D，E分別在AB、AC上，DEBC，AD:DB=1:2，則ADE與ABC的面積的比為_.【答案】1:9【解析】解：DEBC，ADEABC，故答案為：1:9.【知識點】相似三角形的性質(zhì)與判定6.（2018江蘇連云港，第16題，3分）如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AGGF，AC=，則AB的長為_.【答案】2【思路分析】根據(jù)相似三角形的判定，可得GCFADG，進而可得2GC2=AD2 ，再根據(jù)勾股定理，可得AD2+DC2=6，將代入，可得GC的長度，進而求得AB的長.【解題過程】解：在矩形ABCD中，點E、F、G、F分別是AB、BC、CD、DA的中點，CF=BC =AD，D90°，DCB=90°，1+3=90°，AGGF，1+2=90°，2=3，GCFADG，即，解得：2GC2=AD2 ，AC=，AD2+DC2=6，將代入，得：2GC2+(2GC)2=6，解得：GC=1，AB=DC=2，故答案為：2.【知識點】矩形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)和判定；勾股定理7. （2018四川省成都市，13，4）已知，且ab2c6則a的值為 【答案】12【解析】解：設(shè)k，則a6k，b5k，c4k，ab2c6，6k5k8k6，3k6，解得k2，a6k12【知識點】比例；一元一次方程8. （2018四川省南充市，第15題，3分）如圖，在中，DEBC，BF平分ABC，交的延長線于點，若AD=1，BD=2，BC=4，則EF= 【答案】【解析】解：DEBC, AD=1，BD=2，BC=4，即，解得：DE=，BF平分ABC，ABF=FBC，又DEBC，F(xiàn)BC=F，ABF=F，BD=DF=2，DF=DE+EF，EF=.故答案為：.【知識點】平行線分線段成比例；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定9.（2018江蘇省鹽城市，16，3分）如圖，在直角ABC中，C90°，AC6，BC8，P、Q分別為邊AC、AB上的兩個動點，若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形，則AQ_ 【答案】或【解析】在直角ABC中，C90°，AC6，BC8，A B10當QPAB時，QPAC設(shè)QPAQx，則QB10xAQx； 當PQAB時，APQ是等腰直角三角形ABCPBQ, ,AQx【知識點】勾股定理；平行線分線段成比例定理；分類討論10. （2018四川省宜賓市，16，3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,點E為線段AB上的動點，將CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，下列結(jié)論正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的序號）當E為線段AB中點時，AFCE；當E為線段AB中點時，AF=；當A、F、C三點共線時，AE= ；當A、F、C三點共線時，CEFAEF.【答案】【思路分析】中可以結(jié)合折疊的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)得到；中可以根據(jù)AA證明三角形相似，得到對應邊成比例，從而求出AF的長；中可以設(shè)BE=x，根據(jù)直角收納僥幸AEF中三邊滿足勾股定理求出；中可以根據(jù)中線段的長度大小判斷三角形是否全等.【解題過程】由折疊的性質(zhì)可知CF=CB，CFE=90°，CEB=CEF,E為BC中點，BE=EF=AE=，F(xiàn)AE=AFE，F(xiàn)EB=FAE+AFE，CEB=CEF=FAE=AFE,AFCE，故正確；BE=,BC=2，CE=,過點E作EMAF垂足為M，AFE=FEC,EMAF，CFE=90°，MFEFEC，即,MF=,AF=；故正確；A、F、C三點共線，AFE=90°，AC=，設(shè)BE=x,則EF=x,AE=3-x,AF=，在RTAFE中，解得x=,AE=3-x=，故正確；AF=，CF=2，AFCF，錯誤.【知識點】三角形相似；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；折疊的性質(zhì)11. （2018浙江杭州，16，4分）折疊矩形紙片ABCD時，發(fā)現(xiàn)可以進行如下操作：把ADE翻折，點A落在DC邊上的點F處，折痕為DE，點E在AB邊上；把紙片展開并鋪平；把CDG翻折，點C落在直線AE上的點H處，折痕為DG，點G在BC邊上，若AB=AD+2，EH=1，則AD=_.【答案】【思路分析】由得四邊形AEFD是正方形，將由得K型相似，然后結(jié)合勾股定理列方程求解，但要注意對點H是落在線段AE上還是BE上分類討論?！窘忸}過程】設(shè)AD=x由題意：四邊形AEFD為正方形則AD=AE,由翻折：DHGDCG，HG=GC（1） 當H落在線段AE上時（2） 當H落在線段BE上時【知識點】正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似，勾股定理1. （2018湖南益陽，16，4分）如圖，在ABC中，AB=AC，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點，則下列結(jié)論：ADFFEC，四邊形ADEF為菱形，SADFSABC=14其中正確的結(jié)論是 （填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】【思路分析】利用ASA即可證明；利用中位線得到平行及相等的關(guān)系，利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行證明；利用相似三角形面積比等于相似比的平方進行解答【解析】解：DFBC，ADF=C，同理CFE=AF為AC中點，AF=FCADFFEC，正確；D、E分別是AB、BC邊上的中點，DEAC且DE=AC，同理EFAB，EF=AB，四邊形ADEF是平行四邊形又AB=AC，EF=DE，四邊形ADEF是菱形正確；ADF=C，A=AADFABC正確；故答案為【知識點】全等三角形的判定，菱形的判定，中位線，相似三角形的判定和性質(zhì)2. (2018山東菏澤，13，3分)如圖，與是以點為位似中心的位似圖形，相似比為，若點的坐標是，則點的坐標是 【答案】(2，)【解析】如圖，作AEx軸于E，ABO=OAE=30°點的坐標是，AO=OB=3，OE=OA=，AE=，A(，)與是以點為位似中心的位似圖形，相似比為，點C的坐標為(×，×)，即(2，)【知識點】位似；勾股定理；含30°角的直角三角形的性質(zhì)；3. （2018廣東廣州，16，3分）如圖，CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，CE與DA的延長線交于點E，連接AC，BE，DO，DO與AC交于點F，則下列結(jié)論：四邊形ACBE是菱形； ACDBAE；AFBE23； S四邊形AFOESCOD23其中正確的結(jié)論有_（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】【思路分析】由AEBC和點O是AB的中點，可得四邊形ACBE是平行四邊形，進而得菱形，從而正確；由ABDC和AB平分EAC（或菱形ACBE）可得ADCACD，從而正確；由ABDC，可得AOFCDF，從而 ；從而錯誤；設(shè)AFO的面積為S，將四邊形AFOE和COD的面積用S來表示即可判斷正確【解析】由已知“CE是AB的垂直平分線”可得ACCB，所以CABCBA，由ABCD可得ABCD，ADBC，所以CABACD，BAECBA，CABACD=BAE，正確由CABBAE，AOAO，AOCAOE可得AOCAOE，從而AEACBC，又AECB，所以四邊形ACBE是平行四邊形，又ACBC，ACBE是菱形，正確由AOCD，可得，錯誤設(shè)SAFOS，由，可得SCFO2S，再根據(jù)AFOCFD可得SDFC4S，所以SCOD6S，SCOA3SSAOE，所以S四邊形AFOE4S，所以S四邊形AFOESCOD4S6S23，正確【知識點】平行線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)與判定；菱形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)4. （2018貴州遵義，18題，4分）如圖，在菱形ABCD中，ABC=120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG=2，BG=6，則BE的長為_第18題圖【答案】2.8【解析】菱形ABCD中，ABC=120°，BD為對角線，所以G=A=60°，F(xiàn)DG=GBE=60°，ABD是等邊三角形，因為DG=2，BG=6，所以BD=8，所以AD=DB=8，GFD+FGD=120°，F(xiàn)GD+EGB=120°，所以DFG=BGE，所以FGDGEB，所以，設(shè)BE=x，即，F(xiàn)D=，則FG=8-，得，解得x=2.8【知識點】一線三等角，相似三角形，分式方程5. （2018廣東省深圳市，16，3分）在中，C90°，AD平分CAB, BE平分ABC, AD、BE相交于點F，且,則 【答案】【思路分析】過點E作BPDG于點G，連接CF，先根據(jù)A D平分CAB, BE平分ABC, C90°，求出AFE的度數(shù)，在利用特殊角的三角函數(shù)值求出EF和AG的長；然后由“A D平分CAB, BE平分ABC, AD、BE相交于點F，”，利用三角形三邊的角平分線相交于一點可知，CF平分CAB,再證明AEFAFC即可求出AC的長【解析】解： AD平分CAB, BE平分ABC, C90°， AFB90°C135°，AFE180°135°45°，過點E作BPDG于點G，連接CF，EGEF ·sin45°1，又AF4，AGAFGF413，AE， AD平分CAB, BE平分ABC,且 AD、BE相交于點F，CF平分CAB,ACFBCF45°，又AFE45°，AFEACF，又EAFCAF，AEFAFC，即，解得AC【知識點】直角三角形的性質(zhì)；角平分線；相似三角形的性質(zhì)和判定；勾股定理；三角形角平分線的性質(zhì)；特殊角三角函數(shù)值的運用6.（2018貴州安順，T15，F(xiàn)4）如圖，點，均在坐標軸上，且 ，若點，的坐標分別為（0，-1），（-2,0），則點 的坐標為_.【答案】(8,0)【解析】 ，x軸y軸，點 ， 的坐標分別為（0，-1），（-2,0），RtRtRt，=1，=2.,.即，解得=4，解得=8.點在x軸正半軸，點的坐標為（8，0）.【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì).7. （2018湖北荊州，T17，F(xiàn)3）如圖,將鋼球放置到一個倒立的空心透明圓錐中，測得相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示(圖中數(shù)據(jù)單位:)，則鋼球的半徑為_( 圓錐的壁厚忽略不計).【答案】.【思路分析】如圖構(gòu)造相似三角形；利用相似三角形的性質(zhì)建立等式求解即可.【解析】如圖的示AC=12,AB=AC+BC+12+14=26,OB=10易知DAPCDAOB，【知識點】相似三角形的性質(zhì).8. （2018湖北省襄陽市，16，3分）如圖，將面積為的矩形ABCD沿對角線BD折疊，點A的對應點為點P，連接AP交BC于點E.若BE=，則AP的長為= .【答案】【解析】解：設(shè)AP與BD交于F，AD=a，AB=b,A點沿BD折疊與P重合，BD是AP的垂直平分線，APBD，AF=PF，又四邊形ABCD是矩形，BAD=CBA=90°，BEF+EBF=EBF+ABD,BEF=ABD，ABEDAB,，即BA2=EB·AD，b2=a.又矩形的面積為，ab=,聯(lián)立得，解得，.在RtABD中，由勾股定理,SABD=,，.故答案為.【知識點】矩形折疊問題、相似三角形9.（2018四川涼山州，24，5分）AOC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，OA4,將AOC繞O點，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到A1OC1，A1C1，交y軸于B（0，2），若C1OB C1 A1 O，則點C1的坐標 【答案】（第24題答圖）【解析】OA4,將AOC繞O點，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到A1OC1，A1C1，交y軸于B（0，2），OB2,C1OB C1 A1 O， ，可得,在RtOB中，由勾股定理，解出B=,過C作CHx軸于H,可設(shè)C（m，2m），在RtO中，由勾股定理，解出【知識點】圖形的旋轉(zhuǎn)，圖形的全等，相似三角形，勾股定理.10. （2018·北京，13，2）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線AC于點F，若AB4，AD3，則CF的長為_【答案】【解析】四邊形ABCD是矩形，DCAB4，ABCD，ADC90°在RtADC中，由勾股定理，得AC5E是邊AB的中點，AEAB2ABCD，CDFAEF，即CF【知識點】矩形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)與判定三、解答題1. （2018·重慶A卷，24，10）如圖，在ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是BC上一點，且ABAE，連接EO并延長交AD于點F過點B作AE的垂線，垂足為H，交AC于點G（1）若AH3，EH1，求ABE的面積；（2）若ACB45°，求證：DFCG 【思路分析】（1）先根據(jù)ABAE，AH3，EH1，求出AB的長；再在RtABH中，由勾股定理，求出BH的長，最后根據(jù)三角形的面積公式，得到ABE的面積另外，也可以過點A作AMBC，利用相似三角形的判定及性質(zhì)，求出BE及BE邊的高進行求解；（2）過點G作GNBC，先通過相似三角形的性質(zhì)與判定，得到AFCE，從而DFBE再證明ABMBNG，從而BMNG由BE2BM，GNGC，得到所求證的結(jié)論【解析】解：（1）解法一：BHAE于點H，ABAE，AH3，EH1， AEAHEH4AB 在RtABH中，由勾股定理，得BH SABEAEBH×4×2 解法二：過點A作AMBC，過點G作GNBC，垂足為M、N，AM交BH 于點K，如下圖： ABAE，AMBC， BMMEBEa，BAMEAM，AMBAHK 90° 又BKMAKH， KBMBAM BHEAMB ，即，解得a2 BE2，ME 在RtAME中，由勾股定理，得AM SABEBEAM×2×2 （2）O是AC的中點， OAOC 在ABCD中，ADBC，ADBC， AOFCOE ，從而AFCE DFBE AMC90°，ACB45°，GNC90°， MAC45°GCN AGBGBCGCN，BAGBAMMAC， AGBBAG ABBG 又AMBBNG90°，GBNMAB， ABMBNG BMNG 又BE2BM，GNGC， BE2GCGC【知識點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形；平行四邊形；相似三角形2. （2018湖北宜昌，23，11分） 在矩形中，是邊上一點，把沿直線折疊，頂點的對應點是點，過點作，垂足為且在上，交于點.(1)如圖1，若點是的中點，求證:；(2) 如圖2，求證: ；當，且時，求的值；當時，求的值. (第23題圖1) (第23題圖2) (第23題圖2備用圖）【思路分析】(1)點是的中點，AE=DE，再由矩形ABCD的性質(zhì)，得出邊角之間的等量關(guān)系，用SAS證明；(2)由折疊與中角之間的關(guān)系，再由平行，得到角之間的關(guān)系，從而，證出.當時，先由，再設(shè)，則，解得由折疊得，,再據(jù),設(shè)，由比例關(guān)系，求出y，得到BP.在中，求出PC,得到PCB的余切值.若,，；， 【解析】(1)證明：如圖1，在矩形中，,又點是的中點，AE=DE，可證:；,(2)如圖2，在矩形中，,沿折疊得到,當時，,又,設(shè)，則，解得，,由折疊得，,設(shè)， 則在中，,若,又,由得,【知識點】全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解分式方程，余弦定理.3. （2018江蘇淮安，26，10）如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足2+=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”。(1) 若ABC 是“準互余三角形”，C>90°, A=60°，則B= ;(2) 如圖，在RtABC中，ACB=90。，AC=4, BC=5。若 AD 是BAC的平分線，不難證明ABD是“準互余三角形”。試問在邊BC上是否存在點E（異于點D）， 使得ABE也是“準互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由。(3) 如圖，在四邊形ABCD中，AB=7，CD=12，BD丄CD，ABD=2BCD，且ABC是“準互余三角形”，求對角線AC的長?！舅悸贩治觥勘绢}通過新定義考查綜合幾何知識，(1)由“準互余三角形”定義可知：若ABC是