2018中考數(shù)學(xué)復(fù)習 第15課時 二次函數(shù)的綜合性問題測試

第三單元 函數(shù)第十五課時 二次函數(shù)的綜合性問題 類型一與函數(shù)有關(guān)的閱讀理解題1. (10分)(2018原創(chuàng))如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的點A、C分別在x軸、y軸上，點B在第一象限，且OA3.定義：在正方形OABC的邊上及內(nèi)部且橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為好點(1)若一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象經(jīng)過的好點最多，求此一次函數(shù)的解析式；(2)若反比例函數(shù)y(x0)的圖象正好經(jīng)過點(1，3)，求反比例函數(shù)圖象上方和圖象下方好點個數(shù)比；(3)二次函數(shù)ya1x2b1xc1的圖象經(jīng)過O、A兩點，頂點為D(h，t)若其圖象與x軸圍成的圖形中，恰好有4個好點(不含邊界)，求t的取值范圍第1題圖2. (10分)(2017南雅中學(xué)月考)如圖，點P(x，y1)與Q(x，y2)分別是兩個函數(shù)圖象C1與C2上的任意一點，當axb時，有1y1y21成立，則稱這兩個函數(shù)在axb上是“相鄰函數(shù)”，否則稱它們在axb上是“非相鄰函數(shù)”(1)判斷函數(shù)y2x3與yx2在0x2上是否為“相鄰函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)y與y2x4在1x2上是“相鄰函數(shù)”，直接寫出a的最大值與最小值；(3)若函數(shù)yx2(2a1)x與yx2在1x2上是“相鄰函數(shù)”，求a的取值范圍第2題圖類型二二次函數(shù)與幾何綜合題3. (10分)(2017廣東省卷)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2axb交x軸于A(1，0)，B(3，0)兩點，點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點，直線BP與y軸相交于點C. (1)求拋物線yx2axb的解析式；(2)當點P是線段BC的中點時，求點P的坐標；(3)若(2)的條件下，求sinOCB的值第3題圖4. (10分)(2017湘潭)已知拋物線的解析式為yx2bx5.(1)當自變量x2時，函數(shù)值y隨x的增大而減少，求b的取值范圍；(2)如圖，若拋物線的圖象經(jīng)過點A(2，5)，與x軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點B.求拋物線的解析式；在拋物線上是否存在點P，使得PABABC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由第4題圖5. (10分)(2017眉山)如圖，拋物線yax2bx2與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知A(3，0)，且M(1，)是拋物線上另一點(1)求a，b的值；(2)連接AC，設(shè)點P是y軸上任一點，若以P，A，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，求P點的坐標；(3)若點N是x軸正半軸上且在拋物線內(nèi)的一動點(不與O、A重合)，過點N作NHAC交拋物線的對稱軸于H點，設(shè)ONt，ONH的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式第5題圖6. (10分)(2017湘西州)如圖，已知拋物線yx2bx與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為(3，0)(1)求b的值及點B的坐標；(2)試判斷ABC的形狀，并說明理由；(3)一動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點C運動(當點P運動到點B時，點Q隨之停止運動)，設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時PBQ與ABC相似？第6題圖 答案 1. 解：(1)當一次函數(shù)的圖象正好經(jīng)過正方形OABC的對角線時，則經(jīng)過的好點最多，正方形OABC中OA3，點B在第一象限，點A、C分別在x軸和y軸上，點A(3，0)，點B(3，3)，點C(0，3)，對角線OB所在直線解析式為yx，對角線AC所在直線解析式為yx3，當一次函數(shù)的圖像經(jīng)過的好點最多時，其解析式為yx或yx3；(2)點(1，3)在反比例函數(shù)的圖像上，m3×13，即反比例函數(shù)為y，又當x3時，y1，當x2時，y1.5，如解圖，在圖象下方的好點有(0，0)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(0，2)，(1，2)，(0，3)，共有10個，第1題解圖在圖象上方的好點有(2，2)(2，3)，(3，2)，(3，3)，共4個，反比例函數(shù)圖象上方和圖像下方的好點個數(shù)比為25；(3)當a0時，拋物線開口向上，拋物線與x軸所圍圖形中不存在好點，此時不合題意；當a0時，拋物線過點O、A，拋物線對稱軸為x，由此設(shè)拋物線的解析式為ya(x)2t，拋物線過點O(0，0)，a(0)2t0，如解圖，當拋物線過點M(1，2)時，代入得a(1)2t2，第1題解圖解得t，如解圖，當拋物線過點N(1，3)時，代入得a(1)2t3，第1題解圖解得t，結(jié)合解圖可知，當拋物線與x軸圍成圖形中好點恰好有4個，則<t.2. 解：(1)是相鄰函數(shù)，理由如下：令y12x3，y2x2，則yy1y2x1.當0x2時，1y1，y2x3與yx2在0x2上是相鄰函數(shù)；(2)最大值為2，最小值為1；(3)令y1x2(2a1)x，y2x2，則yy1y2x22ax2(xa)22a2當a1時，32ay64a，故，無解，不是相鄰函數(shù)；當a2時，64ay32a，故，無解，不是相鄰函數(shù)；當1a時，a22y64a，故，a；當a2時，a22y32a，故，a，綜上可得，a.3. 解：(1)把A(1，0)，B(3，0)代入yx2axb得，解得，yx24x3；(2)如解圖，過點P作 PDx軸于點D，第3題解圖P為BC的中點，PDy軸，PD為BOC的中位線，又B(3，0)，點P的橫坐標為，把x代入yx24x3得y()24×3，P(，)；(3)由(2)知PD為BOC的中位線，OC2PD2×，又OB3，在RtBCO中，BC，sinOCB.4. 解：(1)a<0，拋物線開口向下，當自變量x2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，則拋物線的對稱軸為x10b2，解得b；(2)將點A(2，5)代入拋物線解析式中，得5×222b5，解得b，故拋物線的解析式為yx2x5；存在點P滿足要求理由如下：(i)如解圖，當點P1在直線AB左側(cè)時，P1ABABC，P1ABC，則點P1的縱坐標與點A的縱坐標相同為5，橫坐標滿足5x2x5，解得x12(舍)，x20，故點P1的坐標為(0，5)；第4題解圖 (ii)當點P2在直線AB右側(cè)時，設(shè)線段AB的中點為N，直線AP2與x軸相交于點M，P2ABABC，ABM是等腰三角形，MNAB，拋物線的對稱軸為x1，點B的坐標為(1，0)，則點N的坐標為(，)，即(，)，設(shè)直線AB的解析式為yk1xb1，將點A、B的坐標代入，得，解得，故直線AB的解析式為y5x5，設(shè)直線NM的解析式為yk2xb2，MNAB，k2，將k2與點N的坐標代入yk2xb2，得×b2，解得b2，直線MN的解析式為yx，直線MN與x軸的交點為(14，0)，即點M(14，0)，設(shè)直線AM的解析式為yk3xb3，將A、M兩點的坐標代入，得，解得，故直線AM的解析式為yx，將其與二次函數(shù)解析式聯(lián)立，得x2x5x，解得x12(舍)，x2，故點P2的橫坐標為，縱坐標為×，即P2(，)，綜上所述，點P的坐標為(0，5)或(，)5. 解：(1)把點A(3，0)，M(1，)代入yax2bx2，得，解得；(2)設(shè)P點的坐標為(0，m)，由(1)知拋物線yx2x2，得點C的坐標為(0，2)，PC2(m2)2，PA232m2m29，AC2322213，當APAC時，根據(jù)等腰三角形的對稱性，得點P與點C(0，2)關(guān)于x軸對稱，點P(0，2)；當PCPA時，則PC2PA2，(m2)2m29，解得m，點P(0，)；當PCAC時，則PC2AC2，(m2)213，解得m2±，點P(0，2)或(0，2)，綜上所述，點P的坐標為(0，2)或(0，)或(0，2)或(0，2)；(3)由拋物線yx2x2得，對稱軸為x1，A(3，0)，C(0，2)，直線AC的解析式為yx2，第5題解圖如解圖，直線NHAC，設(shè)直線NH的解析式為yxb，N(t，0)，bt，直線NH的解析式為yxt，當x1時，yt，點H(1，t)，當t1時，點H的坐標為(1，0)，此時與點N重合，不能構(gòu)成ONH，點N在x軸正半軸上，且在拋物線內(nèi)，分0t1和1t3兩種情況進行討論，(i)當0t1時，此時點H在x軸的上方，即t0，S·t·(t)t2t，(ii)當1t3時，此時點H在x軸的下方，即t0，S·t·(t)t2t，綜上所述，S.6. 解：(1)將點A(3，0)代入拋物線yx2bx，得33b0，解得b，拋物線的解析式為yx2x，令y0，得x2x0，解得x13，x21，點B的坐標為(1，0)；(2)ABC是直角三角形，理由如下：對于拋物線yx2x，令x0，得y，點C的坐標為(0，)，在RtAOC中，tanCAO，在RtCOB中，tanBCO，CAOBCO30°，ACO60°，ACBACOBCO60°30°90°，ABC是直角三角形；(3)在RtABC中，AB4，BAC30°，BCAB2.點P以每秒2個單位從A到B，點Q從B出發(fā)以每秒1個單位向C運動，當點Q停止運動，則點P恰好到達點B，AP2t，BP42t，BQt，CQ2t，若BPQ與ABC相似，則PQB90°或QPB90°，當PQB90°時，易得ACPQ，即，解得t1；當QPB90°，則QPBACB，即，解得t，綜上所述，當t1秒或t秒時，PBQ與ABC相似15