2018年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識點(diǎn)33 圓的基本性質(zhì)

知識點(diǎn)33 圓的基本性質(zhì)一、選擇題1. （2018浙江衢州，第5題，3分）如圖，點(diǎn)A，B，C在O上，ACB=35°，則AOB的度數(shù)是（ ）第5題圖A75° B70° C65° D35°【答案】B【解析】本題考查了圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是明確圓周角定理AOB與ACB所對的弧相等，AOB是圓心角，ACB是圓周角，故得到AOB=70°，故選B.【知識點(diǎn)】圓周角定理2. （2018浙江衢州，第10題，3分）如圖，AC是O的直徑，弦BDAO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OFBC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長度是（ ）A3cm Bcm C2.5cm Dcm【答案】D【解析】本題考查了垂徑定理、中位線定理、勾股定理等知識. 連接AB，因?yàn)锳C為直徑，ACBD，故BE=ED，又因?yàn)镺FBC，根據(jù)垂徑定理可知BF=CF，故可得知OF為ABC的中位線，從而得到OF=0.5AB，易得BE=4,利用勾股定理得到AB的值，故解得。連接AB，因?yàn)锳C為直徑，故ABC為直角，又ACBD，BE=ED=8÷2=4，AE=2，根據(jù)勾股定理可得：AB=又OFBC，根據(jù)垂徑定理可知BF=CF，故可得知OF為ABC的中位線，OF=AB=故選D。第10題圖【知識點(diǎn)】垂徑定理、中位線定理、勾股定理；3. （2018甘肅白銀，9，3） 如圖，A過點(diǎn)O(0,0),D(0,1),點(diǎn)B是軸下方A上的一點(diǎn)，連接BO,BD,則OBD的度數(shù)是（ ） A.15°，B.30° C.45° D.60°【答案】B【思路分析】由DOC=90°，于是想到連接DC由題意知DO=1,OC=,所以算出直徑DC=2,由此得DCO=30°，所以O(shè)BD=OCD=30°?！窘忸}過程】連接DC.在A中，DOC=90°，DC過圓心A,即DC是A的直徑。,D(0,1）DO=1,CO=在RTDOC中，CD=DCO=30°。OBD=DCO=30°。故選B【知識點(diǎn)】90°的圓周角所對的弦是直徑；一條直角邊等于斜邊的一半則這條直角邊所對的角是30°；同弧所對的圓周角相等。4. （2018山東聊城，7，3分）如圖，中，弦BC與半徑OA相交于點(diǎn)D，連接AB、OC.若A=60°，ADC=85°，則C的度數(shù)是（ ） A.25° B.27.5° C.30° D.35° 【答案】C【解析】A=60°，ADC=85°，B=ADC-A=85°-60°=25°，O=2B=2×25°=50°，C=ADC-O=85°-50°=30°，【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)外角的關(guān)系、圓周角定理、5. （2018年山東省棗莊市，8，3分）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，則的長為（ ）A B C D8【答案】C【思路分析】過O作OECD于E，連接OD，在RtOEP中，由OPE=30°，OP=2計算OE的長；在RtOCE中，由OC和OE的長利用勾股定理計算CE的長；最后得出CD=2CE即可.【解題過程】過O點(diǎn)作OECD于E，AB=8, OA=OB=4, OP=2,OE=OP=1.在RtOCE中，CE=OECD，O是圓心，CD=2CE=.故選C.【知識點(diǎn)】 垂徑定理；勾股定理6.（2018四川省南充市，第5題，3分）如圖，BC是O的直徑，A是O上的一點(diǎn)，OAC=32°，則B的度數(shù)是（ ）A58° B60° C64° D68°【答案】A【解析】解：BC是O的直徑，CAB=90°，OA=OC，OAC=32°，C=OAC=32°，B=90° 32°=58°，故選A.【知識點(diǎn)】直徑所對圓周角是直角；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形的兩銳角互余7. （2018江蘇省鹽城市，7，3分）如圖，AB為O的直徑，CD為O的弦，ADC35°，則CAB的度數(shù)為（ ）A35° B45° C55° D65° 【答案】C【解析】AB為O的直徑，ACB90°，ABCADC35°，CAB65°故選C.【知識點(diǎn)】圓的基本性質(zhì)8. （2018山東省濟(jì)寧市，4，3）如圖，點(diǎn)B，C，D在O上，若BCD=130°，則BOD的度數(shù)是 ( )A.50° B.60° C.80° D.100°【答案】D【解析】先找出圓周角BCD所對的優(yōu)弧度數(shù)為260°，再結(jié)合圖形確定劣弧BD的度數(shù)為100°，從而根據(jù)圓心角BOD與劣弧BD的度數(shù)之間的相等關(guān)系，即BOD的度數(shù)是100°，因此，本題應(yīng)該選D.【知識點(diǎn)】圓周角 圓心角9.(2018山東青島中考，5，3分)如圖，點(diǎn)在O上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）A B C D【答案】D【解析】連接OB，點(diǎn)是的中點(diǎn)，AOB=AOC=70°AOB是所對的圓心角，D是所對的圓周角，D=AOB=35°故選D【知識點(diǎn)】弧、弦、圓心角的關(guān)系；圓周角定理10. （2018山東威海，10，3分）如圖，O的半徑為5，AB為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，若ABC30°，則弦AB的長為( )AB5CD【答案】D【解析】如圖，連接OA、OC，OC 交AB于點(diǎn)M根據(jù)垂徑定理可知OC垂直平分AB，因?yàn)锳BC30°，故AOC60°，在RtAOM中，sin60°，故AM，即AB故選D【知識點(diǎn)】垂徑定理、銳角三角函數(shù)1. (2018山東菏澤，6，3分)如圖，在O中，OCAB，ADC=32°，則OBA的度數(shù)是（ ）A64° B58° C32° D26°【答案】D【解析】OCAB，=ADC是所對的圓周角，BOC是所對的圓心角，BOC=2ADC=64°，OBA=90°BOC=90°64°=26°故選D【知識點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理及推論；2. （2018四川遂寧，8，4分） 如圖，在O中，AE是直徑，半徑OC垂直于弦AB于D，連接BE，若AB=2，CD=1，則BE的長是（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B.【解析】解：設(shè)O的半徑為r，則OA=OE=OC=r，OCAB，AD=AB=.CD=1，OD=r-1，OD2+AD2=OA2，(r-1)2+()2=r2,r=4，OD=3.AE是O的直徑，ABBE，ODBE，BE=2OD=6.故選B.【知識點(diǎn)】垂徑定理，勾股定理3. （2018廣東廣州，7，3分）如圖，AB是O的弦，OCAB，交O于點(diǎn)C，連接OA，OB，BC，若ABC20°，則AOB的度數(shù)是（ ）A40°B50°C70°D80°【答案】D【解析】因?yàn)锳OC2ABC2×20°=40°，而OCAB，所以=，從而有AOB2AOC2×40°=80°；故答案為D【知識點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理4. （2018貴州遵義，12題，3分）如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ABC=90°，AB=5，BC=10，連接AC、BD，以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E，若DE=3，則AD的長為A.5 B.4 C. D.第12題圖【答案】D【解析】連接BE，因?yàn)镈AE=DBE，DAE=ACB，所以DBE=ACB，因?yàn)锽D是直徑，所以BED=90°，DAB=90°，因?yàn)锳DBC，所以ABC=180°-DAB=90°，所以BED=ABC，BEDCBA，所以，得到BE=6，RtBED中，可得BD=，在RtADB中，可得AD=，故選D【知識點(diǎn)】圓的對稱性，圓周角定理，相似三角形5. （2018江蘇淮安，8，3） 如圖，點(diǎn)A、B、C都在O上，若AOC=140°,則B的度數(shù)是A. 70° B. 80° C. 110° D. 140°【答案】C【解析】分析：本題考查圓周角定理，由 AOC=140°可得優(yōu)角AOC的度數(shù)，再由圓周角定理可得結(jié)果.解：由AOC=140°可得優(yōu)角AOC=220°由圓周角定理可得 故選：C【知識點(diǎn)】圓周角定理；圓周角性質(zhì)6.（2018福建A卷，9，4）如圖，AB是O的直徑，BC與O相切于點(diǎn)B，AC交O于點(diǎn)D，若ACB=50°，則BOD等于 ( )A40° B. 50° C. 60° D. 80°【答案】D【解析】根據(jù)同弧所對的圓周角等于這條弧所對圓心角的一半，即可求出結(jié)果. 解： AB是O的直徑，ABC=90°，ACB=50°，A=90°-ACB=40°，BOD=2A=80°.【知識點(diǎn)】圓；圓的有關(guān)性質(zhì)；圓心角、圓周角定理7. （2018福建B卷，9，4）如圖，AB是O的直徑，BC與O相切于點(diǎn)B，AC交O于點(diǎn)D，若ACB=50°，則BOD等于 ( )A40° B. 50° C. 60° D. 80°【答案】D【解析】根據(jù)同弧所對的圓周角等于這條弧所對圓心角的一半，即可求出結(jié)果. 解： AB是O的直徑，ABC=90°，ACB=50°，A=90°-ACB=40°，BOD=2A=80°.【知識點(diǎn)】圓；圓的有關(guān)性質(zhì)；圓心角、圓周角定理8. （2018貴州安順，T9，F(xiàn)3）已知O的直徑CD= 10cm，AB是O的弦，AB丄CD,垂足為M, 且AB = 8cm,則AC的長為（ ）A. cmB. cmC. cm或 cmD. cm或 cm【答案】C【解析】由題可知，直徑CD=10cm，AB丄CD, AB = 8cm,當(dāng)點(diǎn)M在線段OC上時，OA=OC=5cm，AM=4cm.OA²=AM²+OM²，OM=3cm，即CM=OC-OM=2cm.由勾股定理，得AC²=AM²+CM²= cm. 當(dāng)點(diǎn)M在線段OD上時，CM=OC+CM=8cm.由勾股定理，得AC²=AM²+CM²=cm.故AC的長為 cm或 cm.【知識點(diǎn)】垂徑定理，勾股定理.9.（2018四川雅安，12題，3分）如圖，AB、CE是圓O的直徑，且AB=4，點(diǎn)M是AB上一動點(diǎn)，下列結(jié)論：CED=BOD；DMCE；CM+DM的最小值為4；設(shè)OM為x，則SOMC=x，上述結(jié)論中，正確的個數(shù)是第12題圖A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】CED=COD，因?yàn)?，所以COD=BOD，所以CED=BOD，正確；M是直徑AB上一動點(diǎn)，而CE確定，因此DMCE不一定成立，錯誤；因?yàn)镈EAB，所以D和E關(guān)于AB對稱，因此CM+DM的最小值在M和O重合時取到，即CE的長，因?yàn)锳B=4，所以CE=AB=4，正確；連接AC，因?yàn)?，所以COA=60°，則AOC為等邊三角形，邊長為2，過C作CNAO于N，則CN=，COM中，以O(shè)M為底，OM邊上的高為CN，所以，故錯誤。綜上，共2個正確，選B。第12題解圖【知識點(diǎn)】圓的對稱性，圓周角定理，最小值問題，等邊三角形，三角形面積10. （2018武漢市，10，3分）如圖，在O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧上，將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D若O的半徑為，AB4，則BC的長是（ ）A BC D【答案】B【思路分析】連接OD，過C作CEAB于E，過O作OFCE于F，四邊形OFED為正方形；連接AC、DC，由折疊及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得CA=CD，可求得ED=1，再求出CE的長，可求得BC的長.【解題過程】連接AC、DC、OD，過C作CEAB于E，過O作OFCE于F，沿BC折疊，CDB=H，H+A=180°，CDA+CDB=180°，A=CDA，CA=CD，CEAD，AE=ED=1，AD=2，OD=1，ODAB，OFED為正方形，OF=1，CF=2，CE=3，. 第10題答圖【知識點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì) 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 正方形的性質(zhì)與判定 等腰三角形的性質(zhì)與判定 勾股定理11. （2018四川自貢，9，4分）如圖，若內(nèi)接于半徑為的 ,且,連接，則邊的長為（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】如圖所示，延長CO交于點(diǎn)D，連接BD，.CD是直徑，.在RtBCD中，故選擇D.【知識點(diǎn)】圓周角定理，解直角三角形12. （2018湖北省襄陽市，10，3分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在半徑為2的O上，若OABC，CDA=30°，則弦BC的長為()A.4B.C.D.【答案】【解析】解：AO與BC交于點(diǎn)E，OABC，OA為半徑，弧AC=弧AB，CE=BE，AOB=2ADC=60°，在RtBOE中，BOE=60°，BE=OB·sin60°=，BC=2BE=.故選D.【知識點(diǎn)】垂徑定理、圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)13. （2018 湖南張家界，6，3分）如圖,是的直徑,弦 于點(diǎn),則( ) （6題圖）【答案】A【解析】解：弦于點(diǎn)，AE=OA+OE=5+3=8cm. 【知識點(diǎn)】垂徑定理，勾股定理14. （2018山東省泰安市，12，3）如圖，的半徑為2，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為（ ）A3 B4 C6 D8【答案】C【思路分析】是Rt的斜邊，連接OP，則OP是Rt斜邊的中線，求的最小值的問題就轉(zhuǎn)化為求OP最小值的問題，連接OM交于點(diǎn)P，此時OP取得最小值.【解題過程】解;連接MO，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)，過點(diǎn)P作過點(diǎn)M作，的坐標(biāo)為 由勾股定理得; 又 又OP是Rt的中線 【知識點(diǎn)】直角三角形性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短15. （2018陜西，9，3分）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，AB=AC，BCA=65°，作CDAB，并與O相交于點(diǎn)D，連接BD，則DBC的大小為（ ） A15°B35°C25°D45°【答案】A【思路分析】先求出ABC和A的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角和平行線的性質(zhì)求出ABD的度數(shù)，即可求出DBC的度數(shù)【解題過程】AB=AC，ABC=ACB=65°A=180°65°×2=50°D=A50°CDAB,ABD=D=50°DBC=ABCABD=65°50°=15°故選擇A【知識點(diǎn)】圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)二、填空題1. （2018江蘇無錫，16，3分）如圖，點(diǎn)A、B、C都在上，OCOB，點(diǎn)A在劣弧上，且OA=AB，則ABC= . 【答案】15°【思路分析】利用圓的半徑相等，OCOB，OA=AB，可以證明OBC是等腰直角三角形、ABO是等邊三角形，進(jìn)而利用特殊三角形的性質(zhì)求得結(jié)論.【解題過程】OCOB，OB=OC，CBO=45°.OB=OA=AB，ABO=60°.ABC=ABO-CBO=60°-45°=15°.【知識點(diǎn)】圓的基本性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)2. （2018四川省達(dá)州市，16，3分）如圖，RtABC中，C90°，AC2，BC5，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)且CD1，點(diǎn)P是線段DB上一動 ，連接AP，以AP為斜邊在AP的下方作等腰RtAOP.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)B停止時，點(diǎn)O的運(yùn)動路徑長為_ 第16題圖【答案】2【解析】如圖，以AC為斜邊在AC的右下方作等腰RtAEC,以AD為斜邊在AD的右下方作等腰RtAMD，以AB為斜邊在AB的下方作等腰RtANB，連接NM并延長，則點(diǎn)E、點(diǎn)C在NM的延長線上. C90°，ANB90°，A、C、B、N四點(diǎn)共圓.ANCABCANEABC在等腰RtAEC中，AC2，AE，NE當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)O的位于點(diǎn)E的位置當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)B停止時，點(diǎn)O的從點(diǎn)M出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)N，MN2 【知識點(diǎn)】圓的基本性質(zhì)；四點(diǎn)共圓；相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)3. （2018浙江紹興，14，3分） 等腰三角形中，頂角為，點(diǎn)在以為圓心，長為半徑的圓上，且，則的度數(shù)為 【答案】或【解析】（1） 如下圖：BP=BA=AC，AP=BC，四邊形APBC為平行四邊形，BAC=ABP=40°ABC=ACB=70°PBC=ABPABC=70°+40°=110°第14題(1)答圖(2) 由AP=BC，BP=AC，AB=AB;BAPABC，PBA=BAC=40°PBC=ABCABP=70°40°=30°第14題(2)答圖【知識點(diǎn)】圓的相關(guān)定義、平形四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)。4. （2018湖南長沙，18題，3分）如圖，點(diǎn)A，B，D在圓O上，A=20°，BC是圓O的切線，B為切點(diǎn)，OD的延長線交BC于點(diǎn)C，則OCB=_度。第18題圖【答案】50°【解析】A=20°，由圓周角定理，O=2A=40°，因?yàn)锽C與圓O相切，所以O(shè)BBC，OBC=90°，所以RtOBC中，OCB=90°-O=50°【知識點(diǎn)】圓周角定理，切線性質(zhì)，直角三角形5. （2018山東臨沂，18，3分）如圖，在ABC中，A60°，BC5cm.能夠?qū)BC完全覆蓋的最小圓形片的直徑是 cm 第18題圖【答案】【解析】能夠?qū)BC完全覆蓋的最小圓形片是如圖所示的ABC外接圓O，連接OB，OC，則BOC=2BAC=120°，過點(diǎn)D作ODBC于點(diǎn)D，BOD=BOC=60°，由垂徑定理得BD=BC=cm，OB=，能夠?qū)BC完全覆蓋的最小圓形片的直徑是.【知識點(diǎn)】垂徑定理 三角函數(shù) 三角形外接圓6.（2018山東煙臺，16，3分）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點(diǎn)O，A，B，C在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為 . 【答案】（1，2）【解析】如圖，連接AB，BC，分別作AB和BC的中垂線，交于G點(diǎn)由圖知，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，2）【知識點(diǎn)】垂徑定理7. （2018四川省宜賓市，15，3分）如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是AC的中點(diǎn)，DEAB于點(diǎn)E且DE交AC于點(diǎn)F,DB交AC于點(diǎn)G，若 =,則 = . 【答案】【解析】如圖：連接OD、AD、BC，則ADB=ACB=90°，ODAC，DEAB，F(xiàn)AE=FDG,AFEDOE,設(shè)OD=y,EF=3x,AE=4x,則AF=5x,AFEDOE,即，y=10x,OE=6x，DE=8x,EF=3x，DF=AF=5x，DAF=ADF，=sinCBG，CBG=DAF，sinCBG=sinDAF=sinADF=.【知識點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)和判定；勾股定理；解直角三角形8. （2018浙江杭州，14，4分） 如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C是半徑OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作DEAB，交O于點(diǎn)D，E兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作直徑DF，連接AF，則DFA=_.【答案】30°【解析】【知識點(diǎn)】垂徑定理，圓的角度計算1. （2018湖北鄂州，16，3分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為射線CD上一動點(diǎn)（不與C重合），以CE為邊向正方形ABCD外作正方形CEFG，連接DG，直線BE、DG相交于點(diǎn)P，連接AP，當(dāng)線段AP的長為整數(shù)時，則AP的長為 【答案】2或1【思路分析】先利用SAS定理證明BCEDCG，從而證得BPDG，再由圓周角定理的逆定理證得A、B、C、D、P五點(diǎn)共圓，得到APBD即可【解析】解：四邊形ABCD和CEFG是正方形，BCEDCG90°，BCCD，CECG，則在BCE和DCG中，BCEDCG（SAS），PBGDCG，又DCGDGC90°，PBGBGP90°，即BPG90°，即BPDG，、B、C、D、P五點(diǎn)共圓，則BD是圓的直徑，故弦APBD，又BD，AP，當(dāng)線段AP的長為整數(shù)時，則AP的長為2或1【知識點(diǎn)】五點(diǎn)同圓；圓周角定理的逆定理；勾股定理；圓的性質(zhì)；全等三角形的判定定理2. （2018湖北黃岡，11題，3分）如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為O的直徑，CAB=60°，弦AD平分CAB，若AD=6，則AC=_第11題圖【答案】【解析】連接BD，CAB=60°，弦AD平分CAB，所以DAB=30°，ABC=30°，因?yàn)锳B是O的直徑，所以C=D=90°，所以，因?yàn)镃=90°，CAB=60°，所以ABC=30°，所以第11題解圖【知識點(diǎn)】圓周角定理的推論，直角三角形性質(zhì)，三角函數(shù)3. （2018內(nèi)蒙古呼和浩特，16，3分）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)M是邊BA延長線上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）且AM<AB, CBE由DAM平移得到，若過點(diǎn)E作EHAC，H為垂足，則有以下結(jié)論：點(diǎn)M位置變化，使得DHC=60°時，2BE=DM;無論點(diǎn)M動到何處，都有DM=HM; 無論點(diǎn)M運(yùn)動到何處，CHM一定大于135°，其中正確結(jié)論的序號為_【答案】 【解析】連接BH,易證CDHCBH.CHB=DHC=.CBH=900,EHAC,點(diǎn)C,B,E,H四點(diǎn)共圓，BEC=BHC=,BCE=,CE=2BE,由平移知DM=CE=2BE.正確.易證BEHMAH,HM=HB=HD,MHA=BHE=OBH=ODH,OHD+AHM=,DHM=,即DH是等腰直角三角形，故DM=MH.正確.由得DHM=90°,CHDCAD=45°,CHM135°,正確;【知識點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)4. （2018四川雅安，17題，3分）九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中方田章計算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積=(弦×矢+矢2).弧田（如圖陰影部分），由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為120°，半徑等于4米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為_米2.第17題圖【答案】【解析】由題可知，AOB=120°，OB=4，OCAB，“矢”為CD的長，則AD=DB，RtBOD中，OBD=30°，所以O(shè)D=2，“矢”為CD的長，CD=2，BD=，AB=2BD=，即“弦”的長，由公式，弧田面積=(弦×矢+矢2)=(×2+22)=第17題解圖【知識點(diǎn)】垂徑定理，含30°的直角三角形5. （2018湖北省孝感市，14，3分）已知O的半徑為10cm，是O的兩條弦，AB=16cm，CD=12cm，則弦和之間的距離是 【答案】2或14【解析】分兩種情況：如圖，當(dāng)弦AB和CD在圓心的同側(cè)時，AB=16cm，CD=12cm，AE=AB=8cm，CF=CD=6cm，根據(jù)勾股定理，OE=6（cm），OF=8（cm）.EF=OF-OE=8-6=2（cm）.如圖, 當(dāng)弦AB和CD在圓心的同側(cè)時，AB=16cm，CD=12cm，AE=AB=8cm，CF=CD=6cm，根據(jù)勾股定理， OE=6（cm），OF=8（cm）.EF=OE+OF=8+6=14（cm）. 綜上，弦和之間的距離是2cm或14cm. 【知識點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理.6.（2018四川涼山州，15，4分）如圖，ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是 【答案】(4,6)【解析】因?yàn)槭峭饨訄A的圓心,所以外心到三個頂點(diǎn)的距離都相等,等于外接圓的半徑.那么就是各邊中垂線的交點(diǎn).【知識點(diǎn)】外接圓的圓心，中垂線，點(diǎn)的坐標(biāo).7. （2018四川涼山州，16，4分）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于E，若CD8，D60°，則O的半徑為 【答案】【解析】先在RtADE中，由勾股定理建立方程，解出AE.再連接OD,設(shè)OD=OA=x，則OE=4-x，在RtODE中，由勾股定理建立方程，解出x.(第16題答圖)【知識點(diǎn)】勾股定理，二元一次方程的解.8. （2018·北京，12，2）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在O上，弧CB弧CD，CAD30°，ACD50°，則ADB_°【答案】70°【解析】弧CB弧CD，CAD30°，弧CB與弧CD的度數(shù)都為60°ACD50°，弧AD的度數(shù)都為100°劣弧AB的度數(shù)都為140°ADB×140°70°【知識點(diǎn)】圓周角定理；圓的有關(guān)性質(zhì)9.（2018廣西玉林，16題，3分）小華為了求出一個圓盤的半徑，他用所學(xué)的知識，將一寬度為2cm的刻度尺的一邊與圓盤相切，另一邊與圓盤邊緣兩個交點(diǎn)處的讀數(shù)分別是“4”和“16”（單位：cm），請你幫小華算出圓盤的半徑是_cm第16題圖【答案】10【解析】由題可知，AB=12，CD=2，OCAB于點(diǎn)D，所以AD=DB=6，設(shè)OB=r，則在RtODB中，(r-2)2+62=r2，解得，r=10【知識點(diǎn)】垂徑定理，勾股定理10. （2018山東省泰安市，14，3）如圖，是的外接圓，則的直徑為 【答案】【解析】（1）構(gòu)造以直徑BD為斜邊的Rt，根據(jù)圓周角A和圓周角D之間的關(guān)系推出是等腰直角三角形，從而可求出直徑的長。（2）連接OB、OC，根據(jù)圓心角O和圓周角A之間的關(guān)系推出是等腰直角三角形，先求出半徑OB或OC的長，從而再求出直徑的長.解法一：如圖1，過點(diǎn)B作直徑BD，連接DC，則BCD=90° 是等腰直角三角形， 根據(jù)勾股定理得：解法二：如圖2，連接OB、OC 是等腰直角三角形， 根據(jù)勾股定理得： 【知識點(diǎn)】圓周角性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理.三、解答題1. （2018四川內(nèi)江，23，6） 如圖，以AB為直徑的O的圓心O到直線l的距離OE3，O的半徑r2，直線AB不垂直于直線l，過點(diǎn)A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、C，則四邊形ABCD的面積的最大值為 【答案】12【思路分析】由于四邊形ABCD為梯形，所以面積為兩底之和的一半再乘以高，由已知條件可以通過構(gòu)造三角形的中位線，證得兩底之和與線段OE的長度有關(guān)，是一個定值，所以四邊形面積的大小取決于高，當(dāng)直徑AB為梯形的高時，面積最大【解題過程】解：連接DO并延長交CB的延長線于F，ADl，BCl，ADBC，DAOFBO，ADOF，OAOB，AODBOF，ADBF，ODOF，OEl，ADBCOE，DECE，OECF (BFBC)(ADBC)，ADBC2OE6，四邊形ABCD的面積(ADBC)×CD，當(dāng)ABl時，即AB為梯形的高時四邊形ABCD的面積最大，最大值為×6×412【知識點(diǎn)】三角形中位線，梯形的面積公式；全等三角形；2. （2018安徽省，20，10分）如圖,O為銳角ABC的外接圓,半徑為5.（1）用尺規(guī)作圖作出BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡,不寫作法)；（2）若（1）中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3,求弦CE的長.【思路分析】(1)按照角的平分線的尺規(guī)作圖步驟，可做成AE符合要求；（2）根據(jù)相等圓周角，確定弧BE=弧EC，根據(jù)垂徑定理知OEBC，在RtODC中以及RtDEC中，可求出CE的長【解題過程】（1）如圖所示：（2） 連接OE、OC、EC,由（1）知AE為BAC的角平分線，BAE=CAE, 弧BE=弧EC，根據(jù)垂徑定理知OEBC，則DE=3. OE=OC=5，OD=OE-DE=2. 在RtODC中，在RtDEC中， 弦CE的長為【知識點(diǎn)】角平分線的尺規(guī)作圖，垂徑定理，勾股定理3. （2018江蘇無錫，24，8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AB=17，CD=10，A=90°，cosB=，求AD的長.【思路分析】如圖所示，延長AD、BC交于點(diǎn)E，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明ECDEAB，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)可以求得AD的長.【解題過程】如圖所示，延長AD、BC交于點(diǎn)E，四邊形ABCD內(nèi)接于，A=90°，EDC=B，ECD=A=90°，ECDEAB，.cosEDC=cosB=，CD=10，ED=,.，AD=6.【知識點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、分式方程的解法4. （2018山東省濟(jì)寧市，18，7）（7分）在一次數(shù)學(xué)活動課中，某數(shù)學(xué)小組探究求環(huán)形花壇（如圖所示）面積的方法.現(xiàn)有以下工具：卷尺；直棒EF；T型尺（CD所在的直線垂直平分線段AB）.（1） 在圖1中，請你畫出用T型尺找大圓圓心的示意圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）；（2） 如圖2，小華說：“我只用一根直棒和一個卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積，具體做法如下：將直棒放置到與小圓相切，用卷尺量出此時直棒與大圓兩交點(diǎn)M，N之間的距離，就可求出環(huán)形花壇的面積.”如果測得MN=10cm，請你求出這個環(huán)形花壇的面積.【思路分析】（1）根據(jù)垂徑定理，可知：圓心O必在直線CD上，則直線CD與CD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)O；（2）設(shè)切點(diǎn)為C，連接OM，OC從而化歸直角三角形中，應(yīng)用勾股定理即可解決問題.【解題過程】（1）如圖點(diǎn)O即為所求；（2）設(shè)切點(diǎn)為C，連接OM，OC MN是切線，OCMN，CM=CN=5， OM2-OC2=CM2=25，S圓環(huán)=OM2-OC2=25【知識點(diǎn)】尺規(guī)作圖的應(yīng)用 線段的垂直平分線的性質(zhì) 垂徑定理 勾股定理1. （2018貴州遵義，26題，12分）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延長線上的點(diǎn)，AC的垂直平分線交半圓于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接DA、DC，已知半圓O的半徑為3，BC=2（1）求AD的長；（2）點(diǎn)P是線段AC上一動點(diǎn)，連接DP，做DPF=DAC，PF交線段CD于點(diǎn)F，當(dāng)DPF為等腰三角形時，求AP的長。第26題圖【思路分析】（1）連接OD，通過已知線段長度和DE是AC的垂直平分線求得OE長，在RtDOE中求得DE長，進(jìn)而在RtADE中求得AD長；（2）因?yàn)榈妊切尾淮_定，應(yīng)分類討論當(dāng)DP=DF時，P與A重合，當(dāng)PD=PF時，可通過相似得到CDP是等腰三角形，從而求出CP和AP，當(dāng)FP=FD時，可通過角的等量代換得到CDP是等腰三角形，在RtDEP中利用勾股定理求得DP，從而求出CP和AP。【解析】（1）如圖1，連接OD，因?yàn)榘霃綖?，所以O(shè)A=OB=OD=3，因?yàn)锽C=2，所以AC=8，因?yàn)镈E垂直平分AC，所以DA=DC，AE=4，DEO=90°，OE=1，在RtDOE中，在RtADE中，第26題解圖1（2）因?yàn)镻DF為等腰三角形，因此分類討論：當(dāng)DP=DF時，如圖2，A與P重合，則AP=0第26題解圖2當(dāng)PD=PF時，如圖3，因?yàn)镈PF=A=C，PDF=CDP ，所以PDFCDP，因?yàn)镻D=PF，所以CP=CD，所以CP=，AP=AC-PC=第26題解圖3當(dāng)FP=FD時，如圖4，因?yàn)镕DP和DAC都是等腰三角形，DPF=A，所以FDP=DPF=A=C，所以,設(shè)DP=PC=x，則EP=4-x，在RtDEP中，DE2+EP2=DP2，得，得x=3，則AP=5第26題解圖4綜上所述，當(dāng)DPF為等腰三角形時，AP的長可能為0，5【知識點(diǎn)】勾股定理，等腰三角形，相似三角形2. （2018河北省，23，9）如圖，AB50°，P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AC上（不與點(diǎn)A重合）的任意一點(diǎn)，連接MP，并使MP的延長線交射線BD于點(diǎn)N，設(shè)BPNa （1）求證：APMBPN； （2）當(dāng)MN2BN時，求的度數(shù)； （3）若BPN的外心在該三角形的內(nèi)部，直接寫出的取值范圍 第23題圖【思路分析】（1）根據(jù)已知條件可知，APM與BPN存在兩組對應(yīng)角及其中一條邊對應(yīng)相等，可證全等；（2）當(dāng)MN2BN時，利用第（1）的結(jié)論，可得到BPN為等腰三角形，從而求出的度數(shù)；（3）根據(jù)三角形外心的特點(diǎn)：銳角三角形外心的三角形內(nèi)部，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部可求得的度數(shù)【解析】（1）P為AB的中點(diǎn)， APBP1分 又AB，PAMBPN， APMBPN2分 （2）APMBPN， PMPN1分 MN2BN， BNPN B50°2分 （3）BPN的外心在該三角形的內(nèi)部， BPN是銳角三角形1分 0°90°，0°180°50°90° 40°90°2分【知識點(diǎn)】三角形全等，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形的外心3. （2018湖南省湘潭市，25，10分）如圖，AB是以O(shè)為圓心的半圓的直徑，半徑COAO，點(diǎn)M是上的動點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、C、B重合，直線AM交直線OC于點(diǎn)D，連結(jié)OM與CM（1）若半圓的半徑為10當(dāng)AOM=60°時，求DM的長；當(dāng)AM=12時，求DM的長（2）探究：在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中，DMC的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由 【思路分析】（1）當(dāng)AOM=60°時，D=30°，AMO為等邊三角形，然后根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)得到AD=2AO，再結(jié)合AMO為等邊三角形求出DM的長；連接BM，則可得AMB=90°，根據(jù)兩個角相等的三角形是相似三角形得到AODABM，從而得到求出AD的長，進(jìn)而求出DM的長；（2）在圖a中，由于AB是直徑，所以AMB=90°，所以DMC+CMB=90°，然后根據(jù)所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得到CMB=COB，從而得到DMC的度數(shù)為45°，是一個定值；在圖b中,連接AC、MB，由于ACMB是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)性質(zhì)可得CMB與CAO互補(bǔ)，再結(jié)合ACO為等腰直角三角形，從而得到DMC的度數(shù)仍然是一個定值.【解析】解：（1）當(dāng)AOM=60°時，OM=OA，AMO是等邊三角形，A=MOA=60°，MOD=30°，D=30°，COAO，AD=2AO=20，DM=OM=10.連接MB，AB是直徑，AMB=90°，COAO，AOD=90°，A=A，ADOABM，AO=10，AM=12，AD=,DM=AD-AM=（2）當(dāng)點(diǎn)M位于之間時，連接BM，如圖：AB是直徑，AMB=90°，DMC+CMB=90°，CMB=COB=45°，CMD=45°；當(dāng)點(diǎn)M位于之間時，連接BM、AC，如圖：四邊形ACMB為圓內(nèi)接四邊形，CMB+CAO=180°，COAO，AOD=90°，ACO為等腰之間三角形，CAO=45°，AMB=90°，DMC=180°-90°-45°=45°.綜上所述，CMD=45°.【知識點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形；圓周角定理；等邊三角形的性質(zhì)；含30°直角三角形的性質(zhì)4. （2018福建A卷，24，12）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AC為直徑，DEAB交AB于點(diǎn)E，交O于點(diǎn)F(1)延長DC、FB交于點(diǎn)P，求證：PB=PC；(2) 如圖2，過點(diǎn)B作BGAD于點(diǎn)G，交DE于H若AB=，DH=1，OHD=80°，求EDB的度數(shù)EE(圖2)【思路分析】（1）利用直徑所對的圓周角為直角，推出DEA=ABC，判定出BE、DF的位置關(guān)系，進(jìn)而得出F=PBC，再根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”證得PCB=F，代換出PCB、PBC的關(guān)系，就可得出結(jié)論P(yáng)B=PC；（2）先判定四邊形DHBC是平行四邊形，利用正弦函數(shù)求得ACB度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)計算出EDB的度數(shù).【解題過程】解：（1）AC是O的直徑，ABC=90°，DEAB，DEA=90°，DEA=ABC，BEDF，F(xiàn)=PBC，四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形，F(xiàn)+DCB=180°，又PCB+DCB=180°，PCB=F，PCB=PBC，PC=PB；（2）如圖2，連結(jié)OD，AC是O的直徑，ADC=90°，BGAD，AGB=90°，ADC=AGB，BGDC，又BCDE，四邊形DHBC為平行四邊形，BC=DH=1,在ABC中，AB=，ACB=60°，從而BC=AC=OD，DH=OD，在等腰三角形DOH中，DOH=OHD=80°，ODH=20°，設(shè)DE交AC于N，BCDE，ONH=ACB=60°，NOH=180°-（ONH+OHD）=40°，DOC=DOH-NOH=40°，OA=OD，OAD=DOC=20°，則CBD=OAD=20°，BCDE，BDE-CBD=20°.【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；圓；平行線判定及性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)5. （2018福建B卷，24，12）如圖,D是ABC外接圓上的動點(diǎn),且B,D位于AC的兩側(cè),DEAB,垂足為E,DE的延長線交此圓于點(diǎn)F,BGAD,垂足為G,BG交DE于點(diǎn)H,DC,FB的延長線交于點(diǎn)P,且PC=PB.(1)求證:BGCD;(2)設(shè)ABC的外接圓的圓心為O,若AB=DH, OHD=80°,求BDE的大小.【思路分析】（1）先利用等腰三角形性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)推出角相等，從而證得BC、DF的位置關(guān)系，再利用平行線性質(zhì)證得ABC=90°，得出AC是圓的直徑，由此可計算出ADC度數(shù)，再由BGAD，即可證得結(jié)論；（2）先判定四邊形DHBC是平行四邊形，利用正弦函數(shù)求得ACB度數(shù)，分別判斷出BC、AC和DH、AC的數(shù)量關(guān)系，再分兩種情況討論，利用根據(jù)等腰三角形性質(zhì)計算出EDB的度數(shù).【解題過程】解：（1）PC=PB，PCB=PBC，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，BAD+BCD=180°，又PCB+BCD=180°，PCB=BAD，BAD=BFD，BFD=PCB=PBC，BCDF，DEAB，DEB=90°，ABC=90°，AC是圓的直徑，ADC=90°，BGAD，AGB=90°，ADC=AGB，BGCD。（2）由（1）知BCDF，BGCD，四邊形BCDH為平行四邊形，BC=DH，在ABC中，AB=DH，ACB=60°，BAC=30°，ADB=60°，BC=AC，DH=AC。（）當(dāng)點(diǎn)O在DE的左側(cè)時，如圖1，作直徑DM，連結(jié)AM，則DAM=90°，AMD+ADM=90°，DEAB，BED=90°，ABD+BDE=90°，AMD=ABD，ADM=BDE。DH=AC，DH=OD，DOH=OHD=80°，ODH=20°，ADB=60°，ADM+BDE=40°，ADM=BDE=20°；（）當(dāng)點(diǎn)O在DE的右側(cè)時，如圖2，作直徑DN，連結(jié)BN，同（）可得ADE=BDN=20°，ODH=20°，BDE=BDN+ODH=40°，綜上，BDE =20°或BDE=40°。【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；平行線的判定及性質(zhì)；圓周角的性質(zhì)6.（2018廣東省深圳市，22，？分）如圖在O中，BC2，ABAC，點(diǎn)D為AC上的動點(diǎn)，且cosABC.(1)求AB的長度；(2)求AD·AE的值；(3)過A點(diǎn)作AHBD，求證：BHCDDH.【思路分析】（1）過點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M，由垂徑定理可得BMMCBC1，再由cosABC即可求出AB的長度；（2）由ABAC，可得ABCACB，然后由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可證得ADCACE，從而證出EACCAD，從而求出AD·AE的值；（3）在BD上取一點(diǎn)N，使得BNCD，可證得ABNACD，可得ANAD，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得DHNH，即可證得BHCDDH.【解題過程】解：（1）過點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M，ABAC，AMBC ，BC2，BMMCBC1，又cosABC，則在RtAMB中，即，解得AB；(2)連接CD，ABAC，ABCACB，四邊形ABCD內(nèi)接于O，ADCABC180°，又ACEACB180°，ADCACE，又EACDAC，EACCAD，即，AD·AE10；（3）在BD上取一點(diǎn)N，使得BNCD，則在ABN和ACD中，ABNACD（SAS），ANAD，又AHBD，DHNH，又BNCD，BHBNNHCDDH.【知識點(diǎn)】銳角的三角函數(shù)；圓周角定理的推論；垂徑定理；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)和判定；全等三角形的性質(zhì)和判定7. （2018河南，22，10分）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40°,連接AC,BD交于點(diǎn)M填空：的值為 ；AMB的度數(shù)為 （2）類比探究如圖2,在OAB和OCD中, AOB = COD = 90°,OAB=OCD=30°, 連接AC交BD的延長線于點(diǎn)M請判斷的值及AMB的度數(shù),并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下,將OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點(diǎn)M若OD=1, OB=,請直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時AC的長【思路分析】(1)依據(jù)條件，構(gòu)造三角形全等，得到對應(yīng)邊相等，比值為1;對應(yīng)角相等,再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，求出AMB的度數(shù).或者由題意可知OAC可由OBD旋轉(zhuǎn)而得到，所以根據(jù)對應(yīng)邊所在直線夾角等于旋轉(zhuǎn)角這一性質(zhì)得到AMB的度數(shù).(2)首先由含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系得到.由（1）中三角形全等過渡到第二問三角形相似（根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等兩三角形相似），得到=.且對應(yīng)角相等，即CAO=BOD,再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到AMD=AOB=90°.（3）畫出符合要求的圖形