玩轉(zhuǎn)21點(diǎn) 數(shù)學(xué)建模論文

2013年4月4日“行健杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了“行健杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B中選擇一項(xiàng)填寫）： A 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 教練組 日期： 年 月 日評(píng)閱編號(hào)（由組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： “行健杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)評(píng)閱編號(hào)（由組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：評(píng)閱記錄（可供評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注統(tǒng)一編號(hào)：評(píng)閱編號(hào)：論文題目：21點(diǎn)紙牌游戲的決策問(wèn)題摘要：21點(diǎn)紙牌游戲是世界上流行的紙牌游戲。在游戲中涉及要牌、分牌、比較大小贏牌的策略問(wèn)題。本文首先規(guī)定21點(diǎn)游戲規(guī)則，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型對(duì)21點(diǎn)紙牌游戲中點(diǎn)數(shù)進(jìn)行綜合分析，從而為玩家提供決策。問(wèn)題一：在本問(wèn)題中討論做出是否要牌的決策。是否要牌取決于這兩種情況下玩家贏牌的概率的大小。若要牌情況下贏牌概率大于停牌則要牌，否則停牌。因此，本文首先分析要牌與停牌條件下不同的獲勝情況，并采用迭代法建立博弈模型，以玩家手牌點(diǎn)數(shù)和為12為例，計(jì)算出要牌與停牌兩種情況下玩家贏牌的概率，得到以下結(jié)論：當(dāng)莊家明牌點(diǎn)數(shù)為1到3和7到10時(shí),要牌獲勝概率大于停牌獲勝概率，玩家應(yīng)要牌。當(dāng)莊家明牌點(diǎn)數(shù)為4到6時(shí)應(yīng)停牌，最后用枚舉法對(duì)模型加以優(yōu)化并將模型加以推廣從而制定最優(yōu)決策。問(wèn)題二：在本問(wèn)題中考慮多種附加規(guī)則，如黑杰克、保險(xiǎn)、分牌以及雙倍下注等規(guī)則來(lái)制定決策。首先針對(duì)是否買保險(xiǎn)，建立模型，計(jì)算出買保險(xiǎn)的期望收益為-9/13,不買保險(xiǎn)的期望收益為-8/13,得出不應(yīng)買保險(xiǎn)的結(jié)論，然后，針對(duì)是否分牌，再次以玩家手牌點(diǎn)數(shù)和為12（兩張6）為例，通過(guò)問(wèn)題一中所建立的模型，計(jì)算玩家在分牌下獲勝的概率，并與不分牌時(shí)獲勝的概率相比較，得出以下結(jié)論，當(dāng)莊家手牌點(diǎn)數(shù)為2到6時(shí)采取分牌策略，否則不分牌。將模型加以推廣，得出所有情形下是否牌的決策。然后，針對(duì)是否雙倍下注，再次通過(guò)枚舉法建立模型，計(jì)算獲勝概率，如獲勝概率超過(guò)50%則應(yīng)雙倍下注，最后進(jìn)行規(guī)劃統(tǒng)一，得到全部規(guī)則下，最優(yōu)決策表，并通過(guò)高低法建立算牌模型，輔助決策，以達(dá)到更高的勝率。關(guān)鍵詞：枚舉法 迭代法 高低法 黑杰克一問(wèn)題背景：21點(diǎn)游戲規(guī)則：站在圓弧桌子后面的荷官會(huì)一輪一輪向各位玩家手里發(fā)牌，每個(gè)人需要計(jì)算手里的幾張牌點(diǎn)數(shù)加到一起是多少（J，Q，K的點(diǎn)數(shù)是10分；A有兩種算法，1或者11，如果A算為11時(shí)總和大于 21，則A算為1），如果點(diǎn)數(shù)超過(guò)了 21 就算爆牌，誰(shuí)先爆牌誰(shuí)就輸了。在得到兩張牌之后，玩家有權(quán)決定是否繼續(xù)要牌。玩家的目標(biāo)就是讓自己手里的牌的點(diǎn)數(shù)和盡量接近 21 點(diǎn)，但是又不超過(guò) 21 點(diǎn)?，F(xiàn)在的撲克牌賭博游戲中，洗牌都是在洗牌機(jī)中完成的，不過(guò)并不是每局洗一次，往往一套牌（由四到六副組成）在用掉一半左右之后，才會(huì)換一副洗過(guò)的新牌。這一規(guī)則使得 21 點(diǎn)游戲中有了“算牌”的機(jī)會(huì)，玩家可以記住前面幾局中哪些牌已經(jīng)打出，哪些牌還留在剩下的牌里。21點(diǎn)游戲中涉及到的術(shù)語(yǔ)：a) 要牌：在現(xiàn)有牌基礎(chǔ)上繼續(xù)抽牌；b) 停牌：在現(xiàn)有牌基礎(chǔ)上不在抽牌；c) 分牌：玩家遇到點(diǎn)數(shù)相同的牌可分為兩墩牌；d) 雙倍下注：玩家在拿到前兩張牌之后，再下一注與原賭注相等的賭金1e) 黑杰克：前兩張手牌為A和10，則稱為黑杰克。若是玩家有黑杰克而莊家沒有，則玩家可贏得2倍賭金；相反，如果莊家有黑杰克玩家沒有，則莊家收走玩家賭金；f) 保險(xiǎn)：在莊家牌面為A時(shí)，玩家可以選擇買保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金為賭金的1/2。若此時(shí)莊家手牌為黑杰克，則玩家收回賭金及保險(xiǎn)金；若莊家手牌非黑杰克，則莊家收取玩家保險(xiǎn)金，之后玩家選擇要牌或停牌繼續(xù)游戲；g) 雙倍下注：玩家在拿到前兩張牌之后，可以再下一注與原賭注相等的賭金，然后只能再拿一張牌。如果拿到黑杰克，則不許雙倍下注。二問(wèn)題重述：?jiǎn)栴}一：你作為一位參與者，討論一般情形下，如何做出要牌或者不要牌的決策。（可對(duì)已經(jīng)進(jìn)行的牌局建立適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。）問(wèn)題二： 21點(diǎn)還有很多附加規(guī)則，比如一開始的兩張牌正好是一張A和一張10點(diǎn)的牌（加起來(lái)剛好21），這就稱為 Blackjack；如果別人也達(dá)到了 21 點(diǎn)，Blackjack 還可以更勝一籌。如果前兩張牌點(diǎn)數(shù)相同，玩家還可以把牌分開，相當(dāng)于一個(gè)玩家在充當(dāng)兩個(gè)玩家的角色，這種玩法就叫做“分牌”。試討論在附加規(guī)則下，如何做出自己的決策。三問(wèn)題分析：?jiǎn)栴}一：由題可知，問(wèn)題一中的規(guī)則較少，只考慮了在一般情況下，玩家與莊家進(jìn)行21點(diǎn)游戲時(shí)，首回合各發(fā)兩張牌及以后幾個(gè)回合中，玩家選擇繼續(xù)要牌或是停牌的決策。而制定此決策需要考慮要牌與停牌條件下玩家取勝的概率，因此可以選用枚舉法和迭代法的方法進(jìn)行概率的計(jì)算，并比較大小從而得出結(jié)論。問(wèn)題二的分析：?jiǎn)栴}二較問(wèn)題一添加了諸多規(guī)則，最終制定決策時(shí)需要分別考慮對(duì)應(yīng)規(guī)則下的決策。其中需要用到概率的計(jì)算、期望的計(jì)算等數(shù)學(xué)方法。在依次確定相應(yīng)規(guī)則下的決策后進(jìn)行統(tǒng)一規(guī)劃，即可得到此問(wèn)題的結(jié)論。四模型假設(shè)：1. 游戲中有多副撲克牌，即抽到每張牌的概率相等；2. 莊家發(fā)牌時(shí)，首回合玩家為兩張明牌，莊家一張明牌一張暗牌，以后由玩家與莊家選擇要牌或停牌；3. 游戲中，若莊家獲勝，則所有玩家全部賭金給莊家；若某一玩家獲勝，則莊家的賭金給該玩家，其余玩家的賭金歸于莊家；4. 若莊家與玩家點(diǎn)數(shù)之和相同，則打平，取回各自賭金；5. 莊家手牌點(diǎn)數(shù)之和等于或小于16必須繼續(xù)要牌，手牌之和大于16則必須停牌；五定義與符號(hào)聲明：表格 1：x莊家明牌點(diǎn)數(shù)；y莊家在明牌確定后抽到的牌為y；H首回合玩家手牌點(diǎn)數(shù)之和；F(a)當(dāng)前點(diǎn)數(shù)之和為a時(shí)繼續(xù)抽牌爆牌的概率；G(a)莊家得到點(diǎn)數(shù)之和為a的手牌的概率；P(H)玩家要牌獲勝的概率；P(S)玩家停牌獲勝的概率；P(B1)莊家爆牌的概率；P(B2)玩家爆牌的概率；P(VS)玩家點(diǎn)數(shù)之和大于莊家點(diǎn)數(shù)之和的概率；P1玩家要牌且莊家爆牌的概率；P2(i)(i=1,2,3,4)玩家在要牌比較點(diǎn)數(shù)時(shí)情況i所對(duì)應(yīng)的概率；a(x,y)x與y的二維數(shù)組；E1、E2玩家的收益期望；PS(yes)、PS(no)玩家分牌與不分牌獲勝的概率；M莊家牌面點(diǎn)數(shù)；N玩家手牌點(diǎn)數(shù)；D賭金六模型的建立與求解： (一).問(wèn)題一模型的建立與求解：根據(jù)問(wèn)題一的假設(shè)6，莊家手牌點(diǎn)數(shù)之和等于或小于16必須繼續(xù)要牌，手牌之和大于16則必須停牌；可知，莊家要牌或停牌已由游戲規(guī)則確定，所以主要針對(duì)玩家是否要牌進(jìn)行分析。玩家在停牌的情況下，假定玩家手牌點(diǎn)數(shù)之和為12。若莊家手牌點(diǎn)數(shù)之和大于16，莊家停牌，莊家勝；因此，只有在莊家點(diǎn)數(shù)之和等于或小于16時(shí)，莊家要牌且爆牌時(shí)玩家方能獲勝；玩家在要牌情況下，有如下兩種情況可以獲勝：(1) 玩家沒有爆牌但莊家爆牌；(2) 玩家與莊家都沒有爆牌但玩家點(diǎn)數(shù)大于莊家點(diǎn)數(shù)取勝。在確定玩家要牌與停牌獲勝情況后，對(duì)概率P(H)、P(S)進(jìn)行如下兩種方法的計(jì)算：1.迭代法2：(1).玩家停牌的情況下，由上述分析知只有在莊家要牌且爆牌的情況下才能獲勝。此時(shí)對(duì)莊家抽牌情況可進(jìn)行以下分析:若莊家點(diǎn)數(shù)之和為16，抽到牌點(diǎn)數(shù)為6到10的牌會(huì)爆牌，則： 若莊家點(diǎn)數(shù)之和為15，抽到牌點(diǎn)數(shù)為7到10會(huì)爆牌，此概率為7/13，而抽到A又可規(guī)劃為點(diǎn)數(shù)之和為16的情況，則：若莊家點(diǎn)數(shù)之和為14，抽到牌點(diǎn)數(shù)為8到10會(huì)爆牌，此概率為6/13，而抽到A和2又可規(guī)劃為點(diǎn)數(shù)之和為16的情況，則：同理，可計(jì)算出H14到H6的爆牌概率。當(dāng)點(diǎn)數(shù)之和為5時(shí)，情況又有所不同，A可算為11點(diǎn)，此時(shí),再進(jìn)行H2到H5的計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果如下表格：表格 2點(diǎn)數(shù)和F(HX)0.615380.585800.55394 0.51962 0.48267 0.21211 0.21211 0.22843 0.24474 0.26231 0.42315 0.43650 0.41436 0.39496 0.37569 則可知當(dāng)莊家牌面點(diǎn)數(shù)為6時(shí)停牌獲勝概率P(S)=F(H6)=0.4231.(2).如果玩家沒有停牌，而繼續(xù)要牌的話，這時(shí)想要獲勝，同上述兩種情況。在玩家沒有爆牌但莊家爆牌而獲勝的情況下，概率： 現(xiàn)在來(lái)考慮比較玩家點(diǎn)數(shù)之和大于莊家點(diǎn)數(shù)之和的獲勝情況：如果莊家第一張牌點(diǎn)數(shù)為2，此時(shí)由于莊家的暗牌未知，則可視為待莊家抽取的牌，則.如果莊家手牌點(diǎn)數(shù)之和為3，則為H2的情況下抽取到A牌，即： 同理，可算出的值，在計(jì)算過(guò)程中仍然要考慮A為11點(diǎn)的情況。計(jì)算結(jié)果如下：表格 3牌面點(diǎn)數(shù)和234567891011G(H2)1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H3)0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H4)0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H5)0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H6)0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H7)0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H8)0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 G(H9)0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 G(H10)0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 G(H11)0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 G(H12)0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 G(H13)0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 G(H14)0.136 0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 G(H15)0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 G(H16)0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 G(H17)0.155 0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 G(H18)0.149 0.155 0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 G(H19)0.143 0.149 0.155 0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 0.129 G(H20)0.137 0.143 0.149 0.155 0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 G(H21)0.130 0.137 0.143 0.149 0.155 0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 在這種情況下，若玩家通過(guò)比較點(diǎn)數(shù)大小取勝，有以下四種情況：情況一：玩家為21點(diǎn)，莊家為20到17點(diǎn)；情況二：玩家為20點(diǎn)，莊家為19到17點(diǎn)；情況三：玩家為19點(diǎn)，莊家為18到17點(diǎn)；情況四：玩家為18點(diǎn)，莊家為17點(diǎn)。以情況四的計(jì)算為例：由上述內(nèi)容可知，當(dāng)玩家點(diǎn)數(shù)之和為12，若想抽牌后為18點(diǎn)，則等同于玩家點(diǎn)數(shù)之和為2，抽牌后變?yōu)?點(diǎn)，因此概率為，而莊家拿到17點(diǎn)的概率為，則情況四的概率 若想抽牌后為19點(diǎn)，則等同于玩家點(diǎn)數(shù)之和為2，抽牌后變?yōu)?點(diǎn)，因此情況三的概率同理，可得到：因此，在玩家手牌點(diǎn)數(shù)之和為12，莊家第一張牌為6的情況下玩家選擇要牌時(shí)獲勝的概率：則：P(S)>P(H)，選擇停牌為最優(yōu)策略。據(jù)此推廣，可得在莊家牌面為2至11的情況下概率P1、P2、P(H)、P(S)值為下表：表格 4牌面點(diǎn)數(shù)和P1P2P(H)P(S)20.187780.204320.39210 0.3756930.197410.215220.41262 0.3949640.207110.191410.39851 0.41436 50.218170.185070.40324 0.43650 60.178980.193100.372080.42315 70.131110.323200.45431 0.26231 80.122330.289240.41157 0.24474 90.114170.248210.36238 0.22843 100.106020.200500.306510.21211 110.106020.156350.26237 0.21211 從上表可直觀比較出P(H)與P(S)在莊家不同牌面時(shí)大小，從而可得出結(jié)論，但這種方法雖然計(jì)算量較小，思路清晰，但模型中對(duì)A牌的情況考慮充分，所以采用枚舉法對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。2.枚舉法3：利用枚舉法計(jì)算莊家在明牌為x的情況下，拿到y(tǒng)的概率。y值所對(duì)應(yīng)的莊家情形為：表格 5Y171819202122莊家情形17點(diǎn)停牌18點(diǎn)停牌19點(diǎn)停牌20點(diǎn)停牌21點(diǎn)停牌爆牌將概率記為。根據(jù)全概率事件公式：計(jì)算莊家不同情形下的概率：表格 6171819202122112.62%12.62%12.62%12.62%38.07%11.46%213.80%13.25%12.66%12.02%13.95%34.33%313.28%12.77%12.24%11.63%12.66%37.42%413.08%12.62%12.12%10.57%11.95%39.68%512.14%12.14%11.69%11.19%11.15%41.68%616.48%10.57%10.57%10.12%9.89%42.35%736.82%13.74%7.82%7.82%7.52%26.27%812.83%35.91%12.83%6.92%7.01%24.51%911.99%11.99%35.06%11.99%6.12%22.87%1011.14%11.14%11.14%34.21%11.15%21.23%利用相同方法，計(jì)算玩家不同情形下勝率：(1) 玩家沒有爆牌但莊家爆牌的概率：(2) 玩家與莊家都沒有爆牌但玩家點(diǎn)數(shù)大于莊家點(diǎn)數(shù)取勝，即則，玩家獲勝的概率當(dāng)玩家手中出現(xiàn)A時(shí)，且其以軟點(diǎn)數(shù)考慮時(shí)，即我們可以把A當(dāng)1或11計(jì)算，此時(shí)我們根據(jù)不同情況可得以下結(jié)果：表格 7MN1234567891011121321停停停停停停停停停停停停停20停停停停停停停停停停停停停19停停停停停停停停停停停停停18停停停停停停停停停停停停停17要停停停停停停停停停停停停16要停停停停停要要要要要要要15要停停停停停要要要要要要要14要停停停停停要要要要要要要13要停停停停停要要要要要要要12要要要停停停要要要要要要要11要要要要要要要要要要要要要10要要要要要要要要要要要要要9要要要要要要要要要要要要要8要要要要要要要要要要要要要7要要要要要要要要要要要要要6要要要要要要要要要要要要要5要要要要要要要要要要要要要4要要要要要要要要要要要要要3要要要要要要要要要要要要要2要要要要要要要要要要要要要A，11停停停停停停停停停停停停停A，10停停停停停停停停停停停停停A，9停停停停停停停停停停停停停A，8要停停停停停停停要要要要要A，7要要要要要要要要要要要要要A，6要要要要要要要要要要要要要A，5要要要要要要要要要要要要要A，4要要要要要要要要要要要要要A，3要要要要要要要要要要要要要A，2要要要要要要要要要要要要要 (二).問(wèn)題二模型的建立與求解4：1. 保險(xiǎn)的決策：玩家是否買保險(xiǎn)的決策可根據(jù)計(jì)算不同情況下玩家獲勝期望收益來(lái)決策。若玩家選擇買保險(xiǎn)：(1) 莊家手牌為黑杰克（概率為4/13），玩家收回保險(xiǎn)金與賭金，期望；(2) 莊家手牌非黑杰克（概率為9/13），玩家輸?shù)舯ｋU(xiǎn)金，隨后繼續(xù)游戲獲勝的概率設(shè)為A%，則期望；則，玩家獲勝期望若玩家選擇不買保險(xiǎn)：(1) 莊家手牌為黑杰克，玩家輸?shù)糍€金，獲勝期望；(2) 莊家手牌非黑杰克，玩家繼續(xù)游戲，獲勝期望；則，玩家獲勝期望。由上述可知，決策為不買保險(xiǎn)。2. 分牌的決策：分牌與否的決策可根據(jù)不同情況下玩家獲勝的概率進(jìn)行計(jì)算而制定。以玩家手牌為2張6，莊家牌面為2為例，分牌后每墩牌概率的計(jì)算同問(wèn)題一中玩家選擇要牌情況下通過(guò)與莊家手牌比較大小獲勝的概率計(jì)算相同，其中玩家不爆牌但莊家爆牌的概率；玩家與莊家都不爆牌但玩家點(diǎn)數(shù)大于莊家點(diǎn)數(shù)的四種情況概率依次為： 則可計(jì)算得到玩家獲勝的概率： 而不分牌獲勝的概率PS(no)=P(H)= 0.39210，通過(guò)比較可知PS(yes)>PS(no)，選擇分牌策略。同理，通過(guò)推廣可得玩家相同手牌點(diǎn)數(shù)為其他值時(shí)分牌獲勝的概率如下表：表格 210.123610.179300.3029120.218940.221830.4407730.230160.224070.4542340.241470.257430.4989050.254370.288970.5433460.246590.376000.6225970.152860.373230.5261080.142620.331920.4745590.133110.292780.42589100.123610.228870.35247結(jié)合表5可得分牌決策如下表：（表示分牌）表格 3MN12345678910(1,1)(2,2)××××(3,3)××××(4,4)××××××××(5,5)××××××××××(6,6)×××××(7,7)××××(8,8)(9,9)×××(10,10)××××××××××3. 雙倍下注的決策：因?yàn)殡p倍下注只能拿一張牌，也就是說(shuō)，雙倍下注實(shí)際上是押注買一張牌的問(wèn)題。因此，雙倍下注的決策依據(jù)為拿到這張牌后的勝率，若勝率大于50%，則選擇雙倍下注，否則，不進(jìn)行雙倍下注。獲勝情況仍為上述兩種情況(1) 玩家沒有爆牌但莊家爆牌： (2) 玩家與莊家都沒有爆牌但玩家點(diǎn)數(shù)大于莊家點(diǎn)數(shù)取勝情況一的計(jì)算方法與問(wèn)題一中的計(jì)算方法一致，而情況二則略有不同，以手牌點(diǎn)數(shù)和為11時(shí)為例利用枚舉法計(jì)算取勝概率表格4 MN2345678980.446810.464080.461220.489540.499990.423860.327550.2888390.499830.534710.549270.565760.577490.499960.470520.37088100.593850.615090.630860.644910.658430.621610.581590.52379110.625480.648200.665350.680680.692750.654500.613090.56923120.374890.388990.400390.411890.418400.376120.340890.30373130.345990.358610.368510.378310.385850.355940.322060.28615從表格中可觀察到：當(dāng)玩家手牌點(diǎn)數(shù)之和小于8時(shí)或大于12時(shí)，押注拿牌獲勝的概率總小于50%；點(diǎn)數(shù)之和為9時(shí)，則伴隨莊家手牌點(diǎn)數(shù)變化而變化。從上表可得到玩家雙倍下注的決策如下表：表格 5 MN234567891011H18單單單單單單單單單單H17單單單單單單單單單單H16單單單單單單單單單單H15單單單單單單單單單單H14單單單單單單單單單單H13單單單單單單單單單單H12單單單單單單單單單單H11雙雙雙雙雙雙雙雙雙單H10雙雙雙雙雙雙雙雙單單H9單雙雙雙雙單單單單單H8單單單單單單單單單單H7單單單單單單單單單單H6單單單單單單單單單單H5單單單單單單單單單單H4單單單單單單單單單單 MN234567891011（1,2）單單單雙雙單單單單單（1,3）單單單雙雙單單單單單（1,4）單單雙雙雙單單單單單（1,5）單單雙雙雙單單單單單（1,6）單雙雙雙雙單單單單單（1,7）單雙雙雙雙單單單單單（1,8）單單單單單單單單單單（1,9）單單單單單單單單單單（1,10）單單單單單單單單單單根據(jù)上述過(guò)程，可得最終決策為如下示意圖：（橫向代表玩家手牌組合或點(diǎn)數(shù)和，縱向代表莊家明牌點(diǎn)數(shù)）注：圖標(biāo)含義： ：分牌； ：停牌； ：雙倍下注； ：要牌；4.通過(guò)算牌來(lái)輔助是否要牌與投入賭金的大?。?1).設(shè)52張牌出現(xiàn)的概率始終相同，也就是說(shuō)每張牌都是從一個(gè)無(wú)窮多副牌組成的牌盒里抽出來(lái)的，或者說(shuō)前面出過(guò)的牌不影響后面的牌，換句話說(shuō)，每張牌相互之間都是獨(dú)立的。顯然，不可能有這樣的由無(wú)窮多副牌組成的牌盒，前面出過(guò)的牌總會(huì)影響后面的牌。在算牌法剛出現(xiàn)的時(shí)代，賭場(chǎng)仍然使用一副牌來(lái)玩二十一點(diǎn)，那么這個(gè)影響就更明顯。比如，發(fā)牌員發(fā)出牌來(lái)，你拿到兩個(gè)10（包括J、Q、K），莊家亮牌也是10，翻出底牌來(lái)還是10，那么下一輪里10出現(xiàn)的概率已不再是4/13，而是12/48，即1/4，略低于4/13。同樣的，其他點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率也已不再是1/13，而是1/12。像輪盤賭這類游戲，每次輪盤轉(zhuǎn)出什么結(jié)果，和上一次完全沒有關(guān)系。還有牌九這類游戲，每玩過(guò)一輪，就重新洗牌。這些游戲里，每把賭博之間都是互相獨(dú)立的。而二十一點(diǎn)的各把之間，在重新洗牌之前，不是獨(dú)立的。前一把出現(xiàn)了什么牌，會(huì)影響到下一把。因此，如果我們能記住前面出過(guò)什么牌，就能大致預(yù)測(cè)以后的賭局走勢(shì)，從而調(diào)整自己的賭注，在對(duì)自己有利時(shí)下大注，在對(duì)莊家有利時(shí)下小注或不下注，就能在這個(gè)游戲里占到優(yōu)勢(shì)。(2).通過(guò)“高低法（High-Low）”建立算牌模型：在游戲過(guò)程中，我們把每一張出現(xiàn)的2，3，4，5，6都算1點(diǎn)，7，8，9算0點(diǎn)，10，J，Q，K，A算1點(diǎn)，將各點(diǎn)相加，結(jié)果越大，就表示前面出現(xiàn)過(guò)的小牌越多，對(duì)玩家越有利。反過(guò)來(lái)，如果結(jié)果是個(gè)負(fù)數(shù)，就表示前面出過(guò)的大牌比小牌多，對(duì)莊家有利。比如前面出現(xiàn)的牌是：4，9，10，5，J，A，8，10，Q，2，6，K，J，7 ，那么點(diǎn)數(shù)就是4張小牌減7張大牌，是3。當(dāng)然，在游戲過(guò)程中，你不可能叫莊家把牌局暫停，讓你從容加減。你必須在每張牌出來(lái)時(shí)，就在心里默算點(diǎn)數(shù)。比如在上面的例子里，從第一張牌出現(xiàn)開始，你就應(yīng)該在心里默算出：1，1，0，1，0，1，-1，2，3，2，1，2，3，3。在實(shí)際運(yùn)用中，還可以采取兩張牌一計(jì)的技巧，因?yàn)榍f家發(fā)牌時(shí)一般速度較快，這樣可以方便地把很多同時(shí)出現(xiàn)的大牌和小牌抵消不計(jì)，提高了算牌速度，減少了可能的計(jì)算錯(cuò)誤。比如在上面的例子里，如果兩張牌一計(jì)，那就是：1，1，1，2，2，2，3。如果是一副牌，3已經(jīng)是很糟糕的點(diǎn)數(shù)了，這時(shí)應(yīng)該下最小注，或者停止不玩。不過(guò)一般來(lái)說(shuō)，現(xiàn)在的賭場(chǎng)都使用六到八副牌，那么在六副牌312張牌內(nèi)，發(fā)出14張牌，還剩298張牌，平均每副牌的點(diǎn)數(shù)是(3)×52/2980.5，還算可以忍受。顯然，在每一盒牌（“盒（shoe）”是指一盒牌從開始發(fā)牌到洗牌的過(guò)程，這一盒牌里可能有六副、四副、八副或其他副數(shù)的牌）的開始，由于大部分牌還未發(fā)出，因此平均點(diǎn)數(shù)總是在0左右。要到牌盒里剩下的牌不多時(shí)，平均點(diǎn)數(shù)才可能比較顯著地偏離0。所以算牌手在算牌時(shí)都會(huì)尋找合適的賭桌，一方面要找人少的桌子，因?yàn)槿嗽缴?，你在單位時(shí)間內(nèi)玩的次數(shù)越多，實(shí)際收益才會(huì)更逼近期望值；另一方面要找切牌少的發(fā)牌員，因?yàn)樵撉卸嗌倥?，賭場(chǎng)只有個(gè)大概的規(guī)定，具體執(zhí)行還是要靠發(fā)牌員的覺悟，所以同一家賭場(chǎng)里，不同的發(fā)牌員切出的牌來(lái)常會(huì)差很多。(3).如何調(diào)整賭注：在點(diǎn)數(shù)變大時(shí)，該怎么提高賭注，每個(gè)算牌手都有自己的習(xí)慣和算度。貝爾實(shí)驗(yàn)室的J.L.Kelly推導(dǎo)出，在理論上，如果你占A的優(yōu)勢(shì)，本錢總數(shù)為R，那么最優(yōu)賭注是B = A * R。比如你有一萬(wàn)塊錢的本錢，現(xiàn)在你占1%的優(yōu)勢(shì)，那么就應(yīng)該在這把壓下一百塊錢。這種下注法稱為“Kelly法”，是在理論上可以獲得最大回報(bào)的方法。但在實(shí)踐中，只可視為下注時(shí)的上限。在點(diǎn)數(shù)為0或負(fù)數(shù)時(shí)，玩家應(yīng)當(dāng)下最小賭注。當(dāng)然，最好是干脆不玩，坐等點(diǎn)數(shù)變正。最后，如果賭場(chǎng)認(rèn)為您在算牌，它可能會(huì)采取措施。在美國(guó)沒有地方規(guī)定算牌是違法的，但在內(nèi)華達(dá)州，法庭認(rèn)為賭場(chǎng)作為私人俱樂部有權(quán)強(qiáng)制執(zhí)行它們自己的規(guī)則，并且賭場(chǎng)可以禁止算牌者參與賭博。在其他州，不能禁止玩家玩游戲，但賭場(chǎng)可以在游戲中取出更多的牌，從而使算牌術(shù)不那么準(zhǔn)確。在線21點(diǎn)游戲的一大優(yōu)勢(shì)就是，沒有了背后咄咄的目光，更從容的使用所有的基本策略和算牌法，從而最大限度的削弱在線賭場(chǎng)的優(yōu)勢(shì)，贏取賭金。綜上所述，21 點(diǎn)是真正的技巧游戲，各位玩家不妨看看以下表格的數(shù)據(jù)：表格 6莊家優(yōu)勢(shì)普通玩法3-5%基本策略0.5%算家負(fù)數(shù)以上表格表明，玩家采用了基本策略以后，莊家優(yōu)勢(shì)從3-5%降低為0.5%，而玩家采取算牌術(shù)時(shí)，優(yōu)勢(shì)則從負(fù)數(shù)變?yōu)榱苏龜?shù)。七模型的評(píng)價(jià)與推廣：1.模型的優(yōu)點(diǎn)：(1).本文在正確清晰的理解題意的基礎(chǔ)上，建立了科學(xué)合理的數(shù)學(xué)模型；對(duì)與問(wèn)題一，我們科學(xué)合理的確定21點(diǎn)游戲規(guī)則的基礎(chǔ)上，然后利用枚舉法以及全概率公式，建立了我們的21點(diǎn)是否要牌模型，巧妙地解決了所問(wèn)問(wèn)題；對(duì)于問(wèn)題二，我們又將黑杰克、分牌、算牌、雙倍下注等情況納入考慮范圍，分別討論在不同情況下莊家與玩家的決策情況，是文章具有可讀性；整體來(lái)看，本文考慮的情況更全面，消除了模型的局限性，使模型更具有普遍性與實(shí)用性。(2).應(yīng)用正確處理數(shù)據(jù)的方法，使結(jié)果真實(shí)可靠；(3).模型的可推廣性較強(qiáng)，可應(yīng)用到其他博彩項(xiàng)目中；(4).模型中應(yīng)用迭代法計(jì)算概率，大大減少計(jì)算量。2.模型的缺點(diǎn)：(1).模型中，枚舉法雖然適用，但由于計(jì)算量較大，會(huì)加大工程量；(2).模型雖然考慮大多數(shù)情況，但還是有例如投降等情況會(huì)漏掉。3.模型的推廣：本模型雖然存在一些不足之處，但是得到的結(jié)果還是較為合理的。本模型還可以用于扎金花等其他博彩領(lǐng)域。各種情況考慮全面，得到的結(jié)果會(huì)更讓人滿意。八參考文獻(xiàn)：1 維基百科，二十一點(diǎn)，https:/zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BB%BF%E4%B8%80%E9% BB%9E；2013年4月4日；2 百度文庫(kù)，揭秘21點(diǎn)，2013年4月4日；3 果殼網(wǎng)（），21點(diǎn)：賭場(chǎng)里最可能贏錢的游戲， article/ 307091/，2013年4月4日；4 博智，打敗莊家，德宏傣族景頗族自治州：德宏民族出版社，2004年1月：93-192九附錄：附表 123456789101180.4468060.4640810.4612210.4895440.4999920.4238590.3275480.2888340.0560950.26419490.4998310.534710.5492720.5657590.5774880.4999620.470520.3708770.3279030.319628100.5938540.6150940.6308650.6449060.6584320.621610.5815890.5237890.4191760.387898110.6254770.6482020.6653530.6806750.6927520.6545040.6130870.5692270.5070160.420014120.374890.388990.4003860.4118870.4184020.3761220.3408890.3037260.2642810.239407130.345990.3586090.3685120.378310.3858520.3559450.3220630.2861550.2479650.223091140.3170910.3282280.3366380.3447330.3533020.3357670.3032370.2685840.2316490.206775150.2881910.2978460.3047640.3111560.3207520.3155890.2844110.2510120.2153330.190459160.2592920.2674650.272890.2775790.2882020.2954110.2655840.2334410.1990170.174143170.2303920.2370830.2410160.2440020.2556520.2752330.2467580.215870.18270.15782716