第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1) 當(dāng)時，右端是正數(shù)因此，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：(2) 當(dāng)時，右端是零因此，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根：(3) 當(dāng)時，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實(shí)數(shù)根由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【例1】不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個數(shù)：(1) (2) (3) 解：(1) ， 原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(2) 原方程可化為： ， 原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根(3) 原方程可化為： ， 原方程沒有實(shí)數(shù)根說明：在求判斷式時，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍：(1) 方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4) 方程無實(shí)數(shù)根解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【例3】已知實(shí)數(shù)、滿足，試求、的值解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：綜上知：二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個根為：所以：，定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”上述定理成立的前提是【例4】若是方程的兩個根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算這里，可以利用韋達(dá)定理來解答解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想【例5】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實(shí)根的積為5；(2) 方程的兩實(shí)根滿足分析：(1) 由韋達(dá)定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論解：(1) 方程兩實(shí)根的積為5 所以，當(dāng)時，方程兩實(shí)根的積為5(2) 由得知：當(dāng)時，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故；當(dāng)時，由于 ，故不合題意，舍去綜上可得，時，方程的兩實(shí)根滿足說明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足【例6】已知是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根(1) 是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由(2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值解：(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立 一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根 ， 又是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根 ，但 不存在實(shí)數(shù)，使成立 (2) 要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為說明：(1) 存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在 (2) 本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會對為整數(shù)的分析方法練 習(xí)A 組1一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是()ABCD2若是方程的兩個根，則的值為()ABCD3已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長分別是關(guān)于的方程的根，則等于()ABCD4若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是()ABCD大小關(guān)系不能確定5若實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為()ABCD6如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是 _ 7已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 _ 8若方程的兩根之差為1，則的值是 _ 9設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則= _ ，= _ 10已知實(shí)數(shù)滿足，則= _ ，= _ ，= _ 11對于二次三項(xiàng)式，小明得出如下結(jié)論：無論取什么實(shí)數(shù)，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？請您說明理由12若，關(guān)于的方程有兩個相等的的正實(shí)數(shù)根，求的值13已知關(guān)于的一元二次方程(1) 求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值14已知關(guān)于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長(1) 取何值時，方程存在兩個正實(shí)數(shù)根？(2) 當(dāng)矩形的對角線長是時，求的值B 組1已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(1) 求的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請您說明理由2已知關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于11求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根3若是關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根，且都大于1(1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 若，求的值第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案A組1 B2 A3A4A5A67 38 9或91011正確1241314B組1(2) 不存在2(1)當(dāng)時，方程為，有實(shí)根；(2) 當(dāng)時，也有實(shí)根3(1) ；(2)