創(chuàng)新設(shè)計（全國通用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 概率與統(tǒng)計 第2講 隨機變量及其分布課件 理

第2講隨機變量及其分布高考定位概率模型多考查獨立重復(fù)試驗、相互獨立事件、互斥事件及對立事件等；對離散型隨機變量的分布列及期望的考查是重點中的“熱點”，多在解答題的前三題的位置呈現(xiàn)，?？疾楠毩⑹录母怕剩瑤缀畏植己投椃植嫉钠谕?真真 題題 感感 悟悟(2016全國卷)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進(jìn)機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個？解(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04；所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元).當(dāng)n19時，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.當(dāng)n20時，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知當(dāng)n19時所需費用的期望值小于n20時所需費用的期望值，故應(yīng)選n19.考考 點點 整整 合合1.條件概率2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B).3.獨立重復(fù)試驗4.超幾何分布5.離散型隨機變量的分布列x1x2x3xiPp1p2p3pi為離散型隨機變量的分布列.(2)離散型隨機變量的分布列具有兩個性質(zhì)：pi0；p1p2pi1(i1，2，3，).(3)E()x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量的數(shù)學(xué)期望或均值.D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做隨機變量的方差.(4)性質(zhì)E(ab)aE()b，D(ab)a2D()；XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)；X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)p(1p).熱點一相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗概率模型 微題型微題型1相互獨立事件的概率相互獨立事件的概率【例11】 (2016北京卷)A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：(1)試估計C班的學(xué)生人數(shù)；(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；(3)再從A，B，C三個班中各任取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25(單位：小時).這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為0，試判斷0和1的大小(結(jié)論不要求證明).探究提高對于復(fù)雜事件的概率，要先辨析事件的構(gòu)成，理清各事件之間的關(guān)系，并依據(jù)互斥事件概率的和，或者相互獨立事件概率的積的公式列出關(guān)系式；含“至多”“至少”類詞語的事件可轉(zhuǎn)化為對立事件的概率求解；并注意正難則反思想的應(yīng)用(即題目較難的也可從對立事件的角度考慮).微題型微題型2獨立重復(fù)試驗的概率獨立重復(fù)試驗的概率【例12】 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.探究提高在解題時注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征：(1)在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；(2)在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.【訓(xùn)練1】 某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件 17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分種/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.(注：將頻率視為概率)解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，將頻率視為概率得X的分布列為熱點二離散型隨機變量的分布列微題型微題型1利用相互獨立事件、互斥事件的概率求分布列利用相互獨立事件、互斥事件的概率求分布列(1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望.可得隨機變量X的分布列為：探究提高解答這類問題使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述解答過程是解答得分的根本保證.引進(jìn)字母表示事件可使得事件的描述簡單而準(zhǔn)確，或者用表格描述，使得問題描述有條理，不會有遺漏，也不會重復(fù)；分析清楚隨機變量取值對應(yīng)的事件是求解分布列的關(guān)鍵.微題型微題型2二項分布二項分布(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大？(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X1，X2的分布列如下：微題型微題型3超幾何分布超幾何分布【例23】 (2016合肥二模)為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.探究提高抽取的4人中，運動員可能為種子選手或一般運動員，并且只能是這兩種情況之一，符合超幾何概型的特征，故可利用超幾何分布求概率.【訓(xùn)練2】 (2014新課標(biāo)全國卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：1.概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別(1)發(fā)生時間不同：在P(A|B)中，事件A，B的發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時發(fā)生.(2)樣本空間不同：在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為總的樣本空間，因而有P(A|B)P(AB).2.求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布XB(n，p)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.