2018年高考數(shù)學(xué) 專題8.1 空間幾何體試題 文.doc

專題8.1 空間幾何體【三年高考】1. 【2017課標(biāo)II，文6】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意，該幾何體是由高為6的圓柱截取一半后的圖形加上高為4的圓柱，故其體積為，故選B.2. 【2017課標(biāo)3，文9】已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（ ）ABC D【答案】B【解析】如果，畫出圓柱的軸截面，所以，那么圓柱的體積是，故選B.3. 【2017天津，文11】已知一個正方形的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為 .【答案】 【解析】設(shè)正方體邊長為 ，則 ，外接球直徑為. 4. 【2017課標(biāo)1，文16】已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為_【答案】5. 【2017江蘇，6】 如圖,在圓柱內(nèi)有一個球,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是 .OO1O2(第6題) 【答案】 【解析】設(shè)球半徑為，則故答案為6【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】該幾何體直觀圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個扇形面積之和故選A7. 2016高考新課標(biāo)文數(shù)在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球，若，則的最大值是（ ）（A）4 （B） （C）6 （D） 【答案】B【解析】要使球的體積最大，必須球的半徑最大由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時，球的半徑取得最大值，此時球的體積為，故選B82016高考新課標(biāo)文數(shù)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ ）（A） （B） （C）90 （D）81【答案】B【解析】由三視圖該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱，所以該幾何體的表面積，故選B9【2016高考山東文數(shù)】一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為（ ）（A）（B） （C）（D）【答案】C【解析】由已知，半球的直徑為，正四棱錐的底面邊長為1，高為1，所以其體積為，選C.10. 【2015高考新課標(biāo)1，文6】九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有（ ）（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.6222，故選B.11. 【2015高考四川，文14】在三棱住ABCA1B1C1中，BAC90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)點M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點，則三棱錐PA1MN的體積是_.【答案】【解析】由題意，三棱柱是底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1的直三棱柱，底面積為如圖，因為AA1PN，故AA1面PMN，故三棱錐PA1MN與三棱錐PAMN體積相等，三棱錐PAMN的底面積是三棱錐底面積的，高為1故三棱錐PA1MN的體積為12.【2015高考湖南，文18】如圖4，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點。（I）證明：平面平面；（II）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積。【解析】（I）如圖，因為三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形 的邊的中點，所以，因此平面，而平面，所以平面平面.（II）設(shè)的中點為，連接，因為是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直線與平面所成的角，由題設(shè)知，所以，在中，所以，故三棱錐的體積?！?017考試大綱】空間幾何體(1)認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).(2)能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,能識別上述三視圖所表示的立體模型,會用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖.(3)會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式.(4)會畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上,尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求).【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題, 幾何體的三視圖是高考的熱點，題型多為選擇題、填空題，難度中、低檔主要考查幾何體的三視圖，以及由三視圖構(gòu)成的幾何體，在考查三視圖的同時，又考查了學(xué)生的空間想象能力及運算與推理能力對簡單幾何體的考查，主要考查簡單幾何體的概念、求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題.即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.【2018年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】由前三年的高考命題形式可以看出 ,要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學(xué)會運用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運用“割補法”等求解.球的組合體問題是高考必考內(nèi)容之一，每年都涉及，試題難度在中等，有時在壓軸題的位置，從整體上來看，試題難度理科比文科要大，主要考查學(xué)生的畫圖能力，空間想象能力，運算能力及邏輯推理能力，空間幾何體的表面積、體積等問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度為中、低檔客觀題主要考查由三視圖得出幾何體的直觀圖，求其表面積、體積或由幾何體的表面積、體積得出某些量；主觀題考查較全面，考查線、面位置關(guān)系，及表面積、體積公式，無論是何種題型都考查學(xué)生的空間想象能力預(yù)測2018年高考題中，對組合體的考查，以球的組合體為主，考查組合體的體積與表面積有關(guān)的問題對三視圖的考查，以空間幾何體的三視圖為主要考查點，重點考查學(xué)生讀圖、識圖能力以及空間想象能力對空間幾何體的面積與體積的考查，以空間幾何體的面積、體積為主要考查點，重點考查學(xué)生的空間想象能力、運算能力及邏輯推理能力復(fù)習(xí)建議：三視圖在近幾年的高考題都有體現(xiàn)，多面體畫圖、分析圖，用自己的語言描述圖，提高借助圖形分析問題的能力，培養(yǎng)空間觀念，注重三視圖與直觀圖的相互轉(zhuǎn)化及等積轉(zhuǎn)化的思想.因此，三視圖的內(nèi)容應(yīng)重點訓(xùn)練.與幾何體的側(cè)面積和體積有關(guān)的計算問題，根據(jù)基本概念和公式來計算，要重視方程的思想和割補法、等積轉(zhuǎn)換法的運用 【2018年高考考點定位】高考對空間幾何體的考查，主要考查簡單幾何體的概念、求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題.即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學(xué)會運用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，以選擇、填空題的形式考查，有時也會在解答題中出現(xiàn).【考點1】空間幾何體【備考知識梳理】1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（1）柱：棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線. 棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；（2）錐：棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.底面是三角錐、四邊錐、五邊錐的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面.棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體（3）臺：棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點.圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側(cè)面、母線、軸圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體.（4）球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑. (5)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形(6)正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心2空間幾何體的直觀圖（1）斜二測畫法建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐標(biāo)系；畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)的OX,OY,使=450（或1350），它們確定的平面表示水平平面； 畫對應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄徊寥ポo助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點的位置的畫法.（2）平行投影與中心投影：平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點.3.幾種常凸多面體間的關(guān)系2.一些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質(zhì)名稱棱柱直棱柱正棱柱圖形定 義有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線都互相平行的多面體側(cè)棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形名稱棱錐正棱錐棱臺正棱臺圖形定義有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的多面體底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分由正棱錐截得的棱臺側(cè)棱相交于一點但不一定相等相交于一點且相等延長線交于一點相等且延長線交于一點側(cè)面的形狀三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形對角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形狀與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形其他性質(zhì)高過底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等兩底中心連線即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)名稱特殊性質(zhì)平行六面體底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對角線交于一點，且被該點平分直平行六面體側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對角線交于一點，且被該點平分長方體底面和側(cè)面都是矩形；四條對角線相等，交于一點，且被該點平分正方體棱長都相等，各面都是正方形四條對角線相等，交于一點，且被該點平分【規(guī)律方法技巧】1. 注意特殊的四棱柱的區(qū)別：直四棱柱、正四棱柱、長方體、正方體、平行六面體、直平行六面體2. 棱臺的各側(cè)棱延長線交于一點是判斷棱臺的主要依據(jù)，兩底面平行且是相似多邊形3注意還臺為錐的解題方法的運用，將臺體還原為錐體可利用錐體的性質(zhì)注意正棱錐中的四個直角三角形為：高、斜高及底面邊心距組成一個直角三角形；高、側(cè)棱與底面外接圓半徑組成一個直角三角形；底面的邊心距、外接圓半徑及半邊長組成一個直角三角形；側(cè)棱、斜高及底邊一半組成一個直角三角形4.將幾何體展開為平面圖形時，要注意在何處剪開，多面體要選擇一條棱剪開，旋轉(zhuǎn)體要沿一條母線剪開.5.常見的特殊幾何體的性質(zhì)（1）平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱.平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體；平行六面體的任何一個面都可以作為底面；平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分；平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和.（2）長方體：長方體的一條對角線的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和；若長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為，則cos2+ cos2+cos2=1；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2.（3）正棱錐：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐.正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等；正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長可組成四個直角三角形； 若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則.（4）正四面體：側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體.設(shè)正四面體的棱長為，則高為，斜高為，對棱間的距離為，體積為. 正四面體與其截面:如圖所示點E為PA的中點，連接EB和EC.點F為BC中點，連接EF.則截面EBCPA, EBC面PAB, EBC面PAC. EF為相對棱的公垂線，其長度為相對棱的距離；正四面體可補形為正方體，如圖所示，四面體B-ACD即為正四面體.各個棱為正方體的面對角線.正方體的棱長是正四面體棱長的.利用這個補形為解題帶來很大的方便.6. 幾何體中計算問題的方法與技巧：在正棱錐中，正棱錐的高、側(cè)面等腰三角形的斜高與側(cè)棱構(gòu)成兩個直角三角形，有關(guān)計算往往與兩者相關(guān)；正四棱臺中要掌握對角面與側(cè)面兩個等腰梯形中關(guān)于上底、下底及梯形高的計算，另外，要能將正三棱臺、正四棱臺的高與其斜高，側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來；研究圓柱、圓錐、圓臺等問題，主要方法是研究其軸截面，各元素之間的關(guān)系，數(shù)量都可以在軸截面中得到；多面體及旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段【考點針對訓(xùn)練】1. 【江蘇省南京市南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三考前模擬】已知正四棱錐的底面邊長為，高為，則該四棱錐的側(cè)面積是_ 【答案】【解析】四棱錐的側(cè)面積是 2【福建省泉州市2017屆高三高考考前適應(yīng)性模擬】如圖所示,圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為_【答案】【解析】由題知旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是一圓臺去掉一個半球，其中圓臺的體積為，半球的體積，則所求體積為故本題答案為【考點2】空間幾何體的三視圖【備考知識梳理】空間幾何體的三視圖三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形.他具體包括：（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；（2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度.2.三視圖畫法規(guī)則高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對正寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等【規(guī)律方法技巧】1.解決三視圖問題的技巧：空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，正視圖和俯視圖的“長對正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”也就是說正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實、不見為虛”在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的“虛線”2.要切實弄清常見幾何體(圓柱、圓錐、圓臺、棱柱、棱錐、棱臺、球)的三視圖的特征，熟練掌握三視圖的投影方向及正視圖原理，才能迅速破解三視圖問題，由三視圖畫出其直觀圖3.解答三視圖題目時：(1)可以從熟知的某一視圖出發(fā)，想象出直觀圖，再驗證其他視圖是否正確；(2)視圖中標(biāo)注的長度在直觀圖中代表什么，要分辨清楚；(3)視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正俯長對正，正側(cè)高平齊，側(cè)俯寬相等4從能力上來看，三視圖著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：會畫圖根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實分明；會識圖根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；會析圖對圖形進行必要的分解、組合；會用圖對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a術(shù)；考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力.【考點針對訓(xùn)練】1. 【2017屆廣西南寧市高三一?！恳阎硯缀误w的三視圖如圖，則該幾何體的體積是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱，其底面是底邊長為，腰長為的等腰三角形，三棱柱的高為，故該幾何體的體積是 ，故選C.2. 【寧夏石嘴山市2017屆高三三?！咳鐖D1所示，是一個棱長為2的正方體被削去一個角后所得到的幾何體的直觀圖，其中， ，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其正視圖的是（ ）【答案】A【解析】由題意，根據(jù)該幾何體的直觀圖和俯視圖知，其正視圖的長應(yīng)為底面正方形的對角線長，寬應(yīng)為正方體的棱長，故排除B，D，而在三視圖中看不見的棱用虛線表示，故排除A，所以正確答案為C.【考點3】空間幾何體的表面積與體積【備考知識梳理】1多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積()全面積()體 積 ()棱柱棱柱直截面周長×+2·=·直棱柱·棱錐棱錐各側(cè)面積之和+·正棱錐棱臺棱臺各側(cè)面面積之和+(+)正棱臺 表中表示面積，分別表示上、下底面周長，h表斜高，h表示斜高，l表示側(cè)棱長.2旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球側(cè)全 (即)表中、分別表示母線、高，表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，分別表示圓臺 上、下底面半徑，表示半徑.【規(guī)律方法技巧】1. 求體積常見方法直接法（公式法）直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算；轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積；分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積；補形法：通過補形化歸為基本幾何體的體積；四面體體積變換法；利用四面體的體積性質(zhì)：（）底面積相同的兩個三棱錐體積之比等于其底面積的比；（）高相同的兩個三棱錐體積之比等于其底面積的比；（）用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方.求多面體體積的常用技巧是割補法（割補成易求體積的多面體.補形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是1：2：3和等積變換法(平行換點、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等.2. 求體積常見技巧當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利(1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進而求之(2)幾何體的“補形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等另外補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法，由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補成錐體研究體積(3)有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素3.組合體的表面積和體積的計算方法實際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺、球，而是由柱、錐、臺、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體的表面積或體積的基本方法就是“分解”，將組合體分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺、球或其一個部分，分別計算其體積，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個組合體的表面積或體積轉(zhuǎn)化為這些“部分的表面積或體積”的和或差易錯提示空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和對于簡單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計算時不要多算也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和4.求解幾何體體積的策略及注意問題(1)與三視圖有關(guān)的體積問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確還原幾何體及弄清幾何體中的數(shù)量關(guān)系(2)計算柱、錐、臺的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面積和高(3)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法，應(yīng)熟練掌握 (4)注意組合體的組成形式及各部分幾何體的特征【考點針對訓(xùn)練】1. 【湖南省長沙市2017屆高三臨考沖刺】如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形，點在底面上的投影恰為的中點， 與平面所成的角為，則該三棱柱的體積為（ ）A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C【解析】由題意得 ,所以三棱柱的體積為 ,選C.2. 【山西省太原市2017屆高三二模】魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、 前后完全對稱從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為_（容器壁的厚度忽略不計） 【答案】【考點4】球與幾何體的組合體【備考知識梳理】1.組合體：由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體.【規(guī)律方法技巧】1. 幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為，球的半徑為，正方體的外接球，則；正方體的內(nèi)切球，則；球與正方體的各棱相切，則.(2)長方體的同一頂點的三條棱長分別為，外接球的半徑為，則.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31.2.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖.3.解決與球有關(guān)的切、接問題的方法：(1)一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系(2)若球面上四點中兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題4.求解球與多面體的組合問題時，其關(guān)鍵是確定球心的位置，可以根據(jù)空間幾何體的對稱性判斷球心的位置，然后通過作出輔助線或輔助平面確定球的半徑和多面體中各個幾何元素的關(guān)系，達到求解解題需要的幾何量的目的【考點針對訓(xùn)練】1. 【遼寧省錦州市2017屆高三質(zhì)量檢測（一）】三棱錐的所有頂點都在球的球面上， 是邊長為3的正三角形， 是球的直徑，且，則此三棱錐的體積_【答案】【解析】由題意得 ，其中 為中心,因為 ,所以2. 【遼寧省沈陽市2017屆高三八?！恳阎拿骟w的頂點都在同一個球的球面上， ， ，且， ， . 若該三棱錐的體積為，則該球的表面積為_. 【答案】【解析】將四面體補成長方體，則三棱錐的體積為,球的直徑為 , 球的表面積為 【應(yīng)試技巧點撥】1.解決三視圖問題的技巧：空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，正視圖和俯視圖的“長對正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”也就是說正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實、不見為虛”在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的“虛線”2.要切實弄清常見幾何體(圓柱、圓錐、圓臺、棱柱、棱錐、棱臺、球)的三視圖的特征，熟練掌握三視圖的投影方向及正視圖原理，才能迅速破解三視圖問題，由三視圖畫出其直觀圖3.解答三視圖題目時：(1)可以從熟知的某一視圖出發(fā)，想象出直觀圖，再驗證其他視圖是否正確；(2)視圖中標(biāo)注的長度在直觀圖中代表什么，要分辨清楚；(3)視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正俯長對正，正側(cè)高平齊，側(cè)俯寬相等4從能力上來看，三視圖著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：會畫圖根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實分明；會識圖根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；會析圖對圖形進行必要的分解、組合；會用圖對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a術(shù)；考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力.5. 求體積常見技巧當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利 (1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進而求之(2)幾何體的“補形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等另外補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法，由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補成錐體研究體積(3)有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素6.求體積常見方法直接法（公式法）；轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積；分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積；補形法：通過補形化歸為基本幾何體的體積；四面體體積變換法；利用四面體的體積性質(zhì)：（）底面積相同的兩個三棱錐體積之比等于其底面積的比；（）高相同的兩個三棱錐體積之比等于其底面積的比；（）用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方.求多面體體積的常用技巧是割補法（割補成易求體積的多面體.補形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是1：2：3和等積變換法(平行換點、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等.7.常見的特殊幾何體的性質(zhì)（1）平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱.平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體；平行六面體的任何一個面都可以作為底面；平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分；平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和.（2）長方體：長方體的一條對角線的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和；若長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為，則cos2+ cos2+cos2=1；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2.（3）正棱錐：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐.正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等；正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長可組成四個直角三角形；若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則.（4）正四面體：側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體.設(shè)正四面體的棱長為，則高為，斜高為，對棱間的距離為，體積為. 正四面體與其截面:如圖所示點E為PA的中點，連接EB和EC.點F為BC中點，連接EF.則截面EBCPA, EBC面PAB, EBC面PAC. EF為相對棱的公垂線，其長度為相對棱的距離；正四面體可補形為正方體，如圖所示，四面體B-ACD即為正四面體.各個棱為正方體的面對角線.正方體的棱長是正四面體棱長的.利用這個補形為解題帶來很大的方便.8與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖.9.注意還臺為錐的解題方法的運用，將臺體還原為錐體可利用錐體的性質(zhì)注意正棱錐中的四個直角三角形為：高、斜高及底面邊心距組成一個直角三角形；高、側(cè)棱與底面外接圓半徑組成一個直角三角形；底面的邊心距、外接圓半徑及半邊長組成一個直角三角形；側(cè)棱、斜高及底邊一半組成一個直角三角形 1. 【福建省福州外國語學(xué)校2017屆高三適應(yīng)性考試（三）】一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為（ ）AB CD 【答案】D 2. 【廣西高級中學(xué)2017屆高三階段性檢測】三棱錐的每個頂點都在表面積為的球的球面上，且平面，為等邊三角形，則三棱錐的體積為（ ）A3BCD【答案】C【解析】因為球的表面積為，所以球半徑為，設(shè)的邊長為，則，由正三角形的性質(zhì)可知外接圓直徑，根據(jù)球的性質(zhì)可得，解得，三棱錐的體積為：，故選C. 3. 【寧夏石嘴山市2017屆高三三?！孔鏁?zhǔn)悄媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，5世紀(jì)末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等現(xiàn)有以下四個幾何體：圖是從圓柱中挖出一個圓錐所得的幾何體；圖、圖、圖分別是圓錐、圓臺和半球，則滿足祖暅原理的兩個幾何體為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】設(shè)截面與底面的距離為，則中截面內(nèi)圓半徑為，則截面圓環(huán)的面積為；中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為；中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為；中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為，所以中截面的面積相等，故選D4. 【河南省新鄉(xiāng)市2017屆高三三?！烤耪滤阈g(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有鄒亮，下廣三丈，茅四仗，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹腻涹w，下底面寬仗長仗；上棱長仗，高一丈，問它的體積是多少？”已知丈為尺，現(xiàn)將該鍥體的三視圖給出右圖所示，齊總網(wǎng)格紙小正方形的邊長1丈，則該鍥體的體積為（ ）A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺【答案】A【解析】該契體的直觀圖如右圖中的幾何體，取的中點， 的中點為，連接，則該幾何體的體積為四棱錐與三棱柱的體積之和，而三棱柱可以通過割補法得到一個高為，底面積平方丈的一個直棱柱，故該契體的體積立方丈 立方尺.故選A. 5. 【2017重慶二診】已知棱長為的正方體內(nèi)部有一圓柱，此圓柱恰好以直線為軸，則該圓柱側(cè)面積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如圖由正方體的對稱性可知，圓柱的上底面必與過點的三個面相切，且切點分別在線段上，設(shè)線段上的切點為， 面，圓柱上底面的圓心為，半徑即為記為，則， ，由知，則圓柱的高為，.應(yīng)選答案D。6. 【2017四川宜賓二診】三棱錐內(nèi)接于半徑為的球， 過球心，當(dāng)三棱錐體積取得最大值時，三棱錐的表面積為A. B. C. D. 【答案】D7. 【遼寧省錦州市2017屆高三質(zhì)檢（二）】已知三棱錐， ， ， 兩兩垂直且長度均為6，長為2的線段的一個端點在棱上運動，另一個端點在底面內(nèi)運動（含邊界），則的中點的軌跡與三棱錐的點所在的三個面所圍成的幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因為長為2的線段MN的一個端點M在棱OA上運動,另一個端點N在BCO內(nèi)運動(含邊界)，可知MN的中點P的軌跡為以O(shè)為球心，以1為半徑的球體，則MN的中點P的軌跡與三棱錐的面所圍成的幾何體可能為該球體的.表面積為個球面和3個圓面的和：，故選B.8. 【安徽省巢湖市2017屆高三最后一次模擬】已知球是正三棱錐（底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球， ， ，點在線段上，且，過點作圓的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如圖，設(shè) 的中心為 ，球 的半徑為 ，連接，易求得 ，則 .在中，由勾股定理， ，解得 ，由 ，知 ，所以 ，當(dāng)過點 的截距與 垂直時，截面圓的面積最小，此時截面圓的半徑 ，此時截面圓的面積為 ；當(dāng)過點 的截面過球心時，截面圓的面積最大，此時截面圓的面積為 ，故選B.9. 【河南省新鄉(xiāng)市2017屆高三第一次調(diào)研】已知一個圓錐內(nèi)接于球（圓錐的底面圓周及頂點均在球面上），若球的半徑，圓錐的高是底面半徑的2倍，則圓錐的體積為_【答案】【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，高為.依題意有，解得，所以圓錐的體積為.10. 【陜西省西安市長安區(qū)2017屆高三4月模擬】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形,點為的中點，則面將四棱錐所分成的上下兩部分的體積的比值為 【答案】【解析】設(shè)棱錐的底面的面積為，高為， ，先求三棱錐的體積， ，同理，由于三棱錐和等高，而，則，所以下半部分的體積為，上半部分的體積為，所以上下兩部分體積之比為.11. 【2016年安徽安慶高三一模】一個幾何體的三視圖如圖所示,其體積為（ ）A B C D【答案】A【解析】該幾何體是一個直三棱柱截去一個小三棱錐,如圖 所示,則其體積為：.故選A.12. 【2016年安徽淮北一中高三檢測】算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3，那么近似公式，相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（ ）A B C D【答案】B【解析】，若，則，故選B13. 【2016屆陜西省安康市高三第三次聯(lián)考】若一個四棱錐底面為正方形, 頂點在底面的射影為正方形的中心, 且該四棱錐的體積為,當(dāng)其外接球的體積最小時, 它的高為（ ）A B C D【答案】A14. 【2017屆湖南師大附中高三上入學(xué)摸底】若某圓柱體的上部挖掉一個半球，下部挖掉一個圓錐后所得的幾何體的三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是A24 B248 C244 D32【答案】C【解析】幾何體的表面積是圓柱的側(cè)面積與半個球的表面積、圓錐的側(cè)面積的和圓柱的側(cè)面積為S12×2×416，半球的表面積為S22×228，圓錐的側(cè)面積為S3×2×2×24，所以幾何體的表面積為SS1S2S3244.15. 【2016屆吉林省白城一中高三下4月】已知在直角梯形中，將直角梯形沿折疊成三棱錐，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時，其外接球的體積為_.【答案】【解析】：當(dāng)三棱錐的體積最大時，即點到底面的距離最大時，此時平面平面,取中點,中點,連接,所以,而,所以點是其外接球的球心，所以,故填：. 【一年原創(chuàng)真預(yù)測】1. 如圖所示，小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為( )A B C D 【答案】C【解析】由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，如圖，它可以看做由一個長方體截得，且長方體的底面是邊長為3的正方形，高為2，所以該幾何體的體積為，故選C【入選理由】本題考查空間幾何體的三視圖，幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的空間想象能力和基本運算能力本題通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力.而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向，故選此題.2如圖，在三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）A B C D 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，如圖，取的中點，連結(jié)并延長，交外接球于，連結(jié)，則，由勾股定理可得，由勾股定理可得，由直角三角形射影定理可得，可得，從而可得，故，由正弦定理得，所以外接球的表面積為，故選A【入選理由】本題主要考查球的表面積、組合體等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想這類題是高考考查球及其組合體的?？碱}型，有兩類重要組合模型，即球的內(nèi)切與球的外接而此題是外接問題,故選此題.3. 如圖，在四邊形中，.現(xiàn)沿對角線折起，使得平面平面，且三棱錐的體積為，此時點，在同一個球面上，則該球的體積是（ ）A B C D【答案】A【解析】，的外接圓半徑為.由題意知，平面平面，如圖，取的中點，連結(jié)，則平面，球心在上.因為三棱錐的體積為，所以，解得，球心到平面的距離為（為外接球的半徑），由勾股定理可得，故所求球的體積為故選A.【入選理由】本題主要考查棱錐的體積公式，球的體積公式，組合體等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力組合體是高考考試的重點與難點,也是平常練習(xí)的重點，故選此題.4. 已知四棱錐的底面四邊形的外接圓半徑為，且此外接圓圓心到點距離為，則此四棱錐體積的最大值為_【答案】【解析】由題意得四棱錐的高, 底面四邊形面積最大值為，因此四棱錐體積最大值為【入選理由】本題考查圓內(nèi)接四邊形面積的最值、棱錐體積等基礎(chǔ)知識，意在考查基本運算能力.本題考查比較基礎(chǔ)，難度不大，故選此題.5. 已知一個圓錐的底面半徑為，側(cè)面積是底面積的倍，則由它的兩條母線所確定的截面面積的最大值為_【答案】【入選理由】本題考查圓錐側(cè)面積、圓錐軸截面、圓錐截面面積的最大值的求法等基礎(chǔ)知識，意在考查基本運算能力本題考查比較基礎(chǔ)，難度不大，故選此題. - 39 -