高三數(shù)學高考（理）二輪復習專題學案專題三三角函數(shù)及三角變換、平面向量及解三角形人教大綱版學案11 三角變換與解三角形

1.1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式, ,正弦、余弦、正切、正弦、余弦、正切、 余切的誘導公式余切的誘導公式. .2.2.兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)、半角兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)、半角 的三角函數(shù)公式的三角函數(shù)公式. .3.3.通過簡單的三角恒等變換解決三角函數(shù)問題的化通過簡單的三角恒等變換解決三角函數(shù)問題的化 簡、求值與證明簡、求值與證明. .4.4.掌握正弦定理、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理, ,并能解決一些簡單的三并能解決一些簡單的三 角形度量問題角形度量問題. .5.5.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一 些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題. . 學案學案11 11 三角變換與解三角形三角變換與解三角形 1.(20091.(2009江西江西) )若函數(shù)若函數(shù) 則則f f( (x x) )的最大值為的最大值為 ( )( ) A.1 B.2 A.1 B.2 C. D. C. D.解析解析 當當x x= = 時時, ,函數(shù)取得最大值為函數(shù)取得最大值為2. 2. ,20 ,cos)tan31 ()(xxxxfxxxfcos)tan31 ()()3cos(2sin3cosxxx13 23 B B32.(20092.(2009廣東廣東) )已知已知ABCABC中中,A A,B B,C C的對邊分的對邊分 別為別為a a, ,b b, ,c c, ,若若a a= =c c= = 且且A A=75=75, ,則則b b等于等于 ( )( ) A.2 B. A.2 B. C. D. C. D.解析解析 因因sin sin A A=sin 75=sin 75=sin(30=sin(30+45+45) ) =sin 30 =sin 30cos 45cos 45+sin 45+sin 45cos 30cos 30= = 由由a a= =c c= = 可知可知,C C=75=75, , 所以所以B B=30=30,sin ,sin B B= .= . 由正弦定理得由正弦定理得26 26 32432426 ,426 21.22146262sinsinBAabA A3.(20093.(2009全國全國)已知已知ABCABC中中,tan ,tan A A= ,= ,則則 cos cos A A等于等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析12513513121312135.1312)125(11tan11cos. ),2(,125tan,22AAAAABC中已知D D4.(20094.(2009全國全國)若若 則函數(shù)則函數(shù)y y=tan 2=tan 2x xtantan3 3x x 的最大值為的最大值為_._.解析解析,24 x-8-8.841241)211(211212tan1tan2tan2tan, 1,24,tan222424243tttttxxxxytxtx令題型一題型一 已知三角函數(shù)求值已知三角函數(shù)求值【例【例1 1】(2009(2009廣東廣東) )已知向量已知向量a a=( ,-2)=( ,-2)與與b b=(1,=(1, ) )互相垂直互相垂直, ,其中其中 (1)(1)求求 的值；的值； 解解 (1) (1) a a與與b b互相垂直互相垂直, ,a ab b= =sincoscossin 和.cos,20 ,1010)sin()2(的值求若. )2, 0(,0cos2sin.55cos,552sin, )2, 0(,55cos,552sin, 1cossin,cos2sin22又得代入即【探究拓展探究拓展】在解有關(guān)根據(jù)條件求三角函數(shù)值問題】在解有關(guān)根據(jù)條件求三角函數(shù)值問題 時，首先根據(jù)條件限定某些角的取值范圍時，首先根據(jù)條件限定某些角的取值范圍, ,由范圍進由范圍進 而確定出三角函數(shù)值的符號而確定出三角函數(shù)值的符號, ,還應注意公式的正用與還應注意公式的正用與 逆用及變形應用逆用及變形應用, ,根據(jù)條件還要注意適當拆分角、拼根據(jù)條件還要注意適當拆分角、拼 角等技巧的應用角等技巧的應用. . .22)sin(sin)cos(cos)(coscos,10103)(sin1)cos(,22,20 ,20)2(2則變式訓練變式訓練1 1 已知已知 (1)(1)求求sin sin x x的值；的值； 解解 . )43,2(,102)4cos(xx.)32sin()2(的值求x4)4sin(sin.1027)4(cos1)4sin(,)2,4(4,)43,2() 1 (2xxxxxx于是所以因為.54221022210274sin)4cos(4cos)4sin(xx.5037243sin2cos3cos2sin)32sin(.2571cos22cos,2524cossin22sin.53)54(1sin1cos),43,2()2(222xxxxxxxxxxx所以所以因為題型二題型二 三角函數(shù)與解三角形三角函數(shù)與解三角形【例【例2 2】(2009(2009四川四川) )在在ABCABC中中, ,A A, ,B B為銳角為銳角, ,角角A A, , B B, ,C C所對應的邊分別為所對應的邊分別為a a, ,b b, ,c c, ,且且cos2cos2A A= sin= sinB B= = (1) (1)求求A A+ +B B的值；的值； (2)(2)若若a a- -b b= = 求求a a, ,b b, ,c c的值的值. . 解解 (1)(1)A A、B B為銳角為銳角,sin ,sin B B= = cos cos B B= = 又又cos 2cos 2A A=1-2sin=1-2sin2 2A A= = ,53.1010,12 ,1010.10103sin12B,53,552sin1cos,55sin2AAAcos(cos(A A+ +B B)=cos )=cos A Acos cos B B-sin -sin A Asin sin B B.4,0.2210105510103552BABA. 5,2,1, 122, 12,5,2,2105,sinsinsin.22sin,43) 1 ()2(cabbbbabcbacbaCcBbAaCC即得由正弦定理知由【探究拓展探究拓展】本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān)】本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān) 系系, ,兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等 基礎知識及基本運算能力基礎知識及基本運算能力. .在求解三角形的面積時，在求解三角形的面積時， 應注意面積的表達式有幾種不同表達方式，應靈活應注意面積的表達式有幾種不同表達方式，應靈活 選擇選擇. . 變式訓練變式訓練2 2 在在ABCABC中中,sin(,sin(C C- -A A)=1,sin )=1,sin B B= = (1) (1)求求sin sin A A的值；的值； (2)(2)設設ACAC= ,= ,求求ABCABC的面積的面積. .解解.316.33sin, 0sin,31)sin1 (21sin, )2sin2(cos22)24sin(sin,24,2) 1 (2AABABBBABABACAC又且由(2)(2)如圖所示如圖所示, ,由正弦定理得由正弦定理得 又又sin sin C C=sin(=sin(A A+ +B B)=sin )=sin A Acos cos B B+cos +cos A Asin sin B B.sinsinABCBAC,2331336sinsinBAACBC.233623621sin21,36313632233CBCACSABC題型三題型三 向量與解三角形向量與解三角形【例【例3 3】(2009(2009湖南湖南) )在在ABCABC, ,已知已知 求角求角A A, ,B B, ,C C的大小的大小. . 解解設設BCBC= =a a, ,ACAC= =b b, ,ABAB= =c c， |32ABACAB,3|2BCAC ,43)65sin(sin.43sin3sinsin,33|3,6), 0(,23cos,3cos2, |32222CCABCabc，BCACABAAAbcAbcACABACAB所以于是得由因此又所以得由【探究拓展探究拓展】解答這一類問題】解答這一類問題, ,首先要保證向量運算首先要保證向量運算 必須正確必須正確, ,否則否則, ,反被其累反被其累, ,要很好的掌握正、余弦定要很好的掌握正、余弦定 理的應用的條件及靈活變形理的應用的條件及靈活變形, ,方能使問題簡捷解答方能使問題簡捷解答. . .32,6,66,32,6,326,32, 032,343236506.0)32sin(,2cos32sin,3sin32cossin2,43)sin23cos21(sin2CBACBACCCCC，CACCCCCCCCC或故或即或從而所以知由即因此變式訓練變式訓練3 3 (2009 (2009江西江西) )在在ABCABC中中, ,A A、B B、C C所對所對 的邊分別為的邊分別為a a、b b、c c， (1)(1)求求C C； (2)(2)若若 求求a a, ,b b, ,c c. .解解.2)31 ( ,6bcA,31CACB.4, 1tan,232123tan21sinsin65coscos65sinsin)6sin(,sinsin2321,2)31 () 1 (CCCCCCCCCBcbbc即得則有得由.2312,sinsin2)31 (3122, 3122,4.31cos, 31)2(cbaCcAabcababCCabCACB解得則有即得而推出由題型四題型四 解三角形與實際問題解三角形與實際問題【例【例4 4】(2009(2009海南海南) )如圖如圖, ,為了解某海域海底構(gòu)造為了解某海域海底構(gòu)造， 對海平面內(nèi)一條直線上的對海平面內(nèi)一條直線上的A A、B B、C C三點進行測量三點進行測量. .已已 知知ABAB=50 m,=50 m,BCBC=120 m,=120 m,于于A A處測得水深處測得水深ADAD=80 m,=80 m,于于B B 處測得水深處測得水深BEBE=200 m,=200 m,于于C C處測得水深處測得水深CFCF=110 m,=110 m,求求 DEFDEF的余弦值的余弦值. . 解解 作作DMDMACAC交交BEBE于于N N, ,交交CFCF于于MM. . 在在DEFDEF中中, ,由余弦定理得由余弦定理得【探究拓展探究拓展】對幾何中的計算問題】對幾何中的計算問題, ,往往通過正、余往往通過正、余 弦定理把幾何問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題弦定理把幾何問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題, ,再通過解三再通過解三 角函數(shù)達到求解三角形問題的目的角函數(shù)達到求解三角形問題的目的. . , )m(15012090)()m(13012050, )m(2981017030222222222222BCFCBEEFENDNDEDMMFDF.65161501302298101501302cos222222EFDEDFEFDEDEF變式訓練變式訓練4 4 如圖所示如圖所示, ,扇形扇形AOBAOB, ,圓圓 心角心角AOBAOB=60=60, ,半徑半徑OAOA=2,=2,在弧在弧 ABAB上有一點上有一點P P, ,過點過點P P做平行于做平行于OBOB 的直線交的直線交OAOA于點于點C C, ,設設AOPAOP= = 求求COPCOP面積的最大值及此時面積的最大值及此時 的值的值. .解解 因為因為AOBAOB=60=60且且CPCPOBOB, ,所以所以OCPOCP=120=120, , 則在則在OCPOCP中中， OPOP2 2= =OCOC2 2+ +CPCP2 2-2-2OCOCCPCPcos 120cos 120 = =OCOC2 2+ +CPCP2 2+ +OCOCCPCP， 又因又因OCOC2 2+ +CPCP2 222OCOCCPCP, ,所以所以OPOP2 233OCOCCPCP, , 又又OPOP= =OAOA=2,=2,即即OCOCCPCP 所以所以S SCOPCOP= = OCOCCPCPsin 120sin 120 = = OCOCCPCP 即即( (S SCOPCOP) )maxmax= = 此時此時OCOC= =CPCP， 又又OCPOCP=120=120, ,所以所以 =AOPAOP=30=30. . ,342143,33,33【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】 (2009(2009山東山東) )設函數(shù)設函數(shù)f f( (x x)=cos(2)=cos(2x x+ )+sin+ )+sin2 2x x. . (1) (1)求函數(shù)求函數(shù)f f( (x x) )的最大值和最小正周期；的最大值和最小正周期； (2)(2)設設A A, ,B B, ,C C為為ABCABC的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角, ,若若 且且C C為銳角為銳角, ,求求sin sin A A. .3)2(,31cosCfB ,41【解題示范解題示范】 f f( (x x) )取得最大值取得最大值,f f( (x x)最大值最大值= = f f( (x x) )的最小正周期的最小正周期 故函數(shù)故函數(shù)f f( (x x) )的最大值為的最大值為 最小正周期為最小正周期為 6 6分分,)Z(4,222.2sin23212cos21212sin232cos2122cos13sin2sin3cos2cos)() 1 (時即所以當解xkxkxxxxxxxxxf,231,22T,231. 因此因此sin sin A A=sin -(=sin -(B B+ +C C)=sin()=sin(B B+ +C C) )=sin =sin B Bcos cos C C+cos +cos B Bsin sin C C分求得由分所以為銳角又解得即由10.322sin31cos8.3,.23sin,41sin2321,41)2()2(BBCCCCCf分1263222331213221.1.解三角形常見類型及解法解三角形常見類型及解法:(1):(1)已知一邊和兩角，用已知一邊和兩角，用 正弦定理求解正弦定理求解, ,在有解時只有一解在有解時只有一解;(2);(2)已知兩邊和夾已知兩邊和夾 角角, ,用余弦定理或正弦定理求解用余弦定理或正弦定理求解, ,在有解時只有一解在有解時只有一解; ; (3) (3)已知三邊已知三邊, ,用余弦定理求解，在有解時只有一解用余弦定理求解，在有解時只有一解; ; (4) (4)已知兩邊和其中一邊的對角，用余弦定理或正弦已知兩邊和其中一邊的對角，用余弦定理或正弦 定理求解定理求解, ,可有兩解、一解或無解可有兩解、一解或無解. .2.2.應用正、余弦定理解斜三角形應用問題的方法步應用正、余弦定理解斜三角形應用問題的方法步 驟驟:(1):(1)分析分析: :理解題意理解題意, ,分清已知與待求分清已知與待求, ,并畫出示意并畫出示意 簡圖簡圖;(2);(2)建模：根據(jù)條件與所求的目標建模：根據(jù)條件與所求的目標, ,把已知量與把已知量與 待求量盡量集中在有關(guān)三角形中待求量盡量集中在有關(guān)三角形中, ,建立解斜三角形的建立解斜三角形的 數(shù)學模型數(shù)學模型;(3);(3)求解求解: :利用余弦定理或正弦定理有序的利用余弦定理或正弦定理有序的 解三角形解三角形, ,求得數(shù)學模型的解；求得數(shù)學模型的解；(4)(4)檢驗檢驗: :檢驗上述所檢驗上述所 求解是否有實際意義，進而得出實際問題的解求解是否有實際意義，進而得出實際問題的解. .3.3.在在ABCABC中常用關(guān)系：中常用關(guān)系：(1)(1)a ab bc c A AB BC C sin sin A Asin sin B Bsin sin C C;(2);(2)A A、B B、C C成等差數(shù)列成等差數(shù)列 B B=60=60;(3);(3)2b2b= =a a+ +c c或或b b2 2= =a ac c 0 0B B6060. . 一、選擇題一、選擇題1.1.函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=sin)=sin2 2x x+ sin + sin x xcos cos x x在區(qū)間在區(qū)間 上的最上的最 大值是大值是 ( )( ) A.1 B. A.1 B. C. D. C. D.解析解析32,4.23211)(. 1)62sin(21.65623,24.21)62sin(2sin2322cos1cossin3sin)(max2xfxxxxxxxxxxf2313123C C2.(20092.(2009遼寧遼寧) )已知已知 等于等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析22cos2cossinsin, 2tan則43544534.541tan2tantancossincos2cossinsin222222原式D D3.3.已知銳角三角形的邊長分別是已知銳角三角形的邊長分別是2,3,2,3,x x, ,則則x x的取值范的取值范 圍是圍是 ( )( ) A.1 A.1x x5 5B.B. C. C. D. D. 解析解析若若3 3是最大邊是最大邊, ,則則3 32 2x x2 2+2+22 2, ,即即x x3,3, 若若x x是最大邊是最大邊, ,則則x x2 2332 2+2+22 2, ,即即33x x . . 由上可知由上可知135 x513 x50 x513.135 xB B4.4.已知已知a a、b b、c c是是ABCABC的三條對應邊的三條對應邊, ,若滿足若滿足( (a a+ +b b+ +c c) ) ( (a a+ +b b- -c c)=3)=3abab, ,且且sin sin A A=2sin =2sin B Bcos cos C C, ,那么那么ABCABC 是是 ( )( ) A. A.直角三角形直角三角形 B.B.等腰直角三角形等腰直角三角形 C.C.等腰三角形等腰三角形 D.D.等邊三角形等邊三角形解析解析 因為因為( (a a+ +b b+ +c c)()(a a+ +b b- -c c)=)=a a2 2+ +b b2 2- -c c2 2+2+2abab=3=3abab, , 則則 所以所以C C=60=60, , 又又sinsinA A=2sin =2sin B Bcos cos C C, ,則則sin sin A A=sin =sin B B, ,即即A A=B B. . ABCABC為等邊三角形為等邊三角形. . ,212cos222abcbaCD D5.5.在在ABCABC中中, ,若若(sin (sin A A+sin +sin B B):):( (sin sin B B+sin +sin C C):): (sin (sin C C+sin +sin A A)=4:5:6,)=4:5:6,則則C C的值為的值為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由題意可知由題意可知:(:(a a+ +b b):():(b b+ +c c):():(c c+ +a a)=4:5:6,)=4:5:6, 則則a a: :b b: :c c=5:3:7,=5:3:7,令令a a=5=5k k, ,b b=3=3k k, ,c c=7=7k k ( (k k0),0),443323.32.2135249925cos222CkkkkkC所以C C6.6.在在ABCABC中中, ,若有一個內(nèi)角不小于若有一個內(nèi)角不小于120120, ,則最長邊則最長邊 與最短邊之比的最小值是與最短邊之比的最小值是 ( )( ) A. B. C.2 D. A. B. C.2 D. 解析解析 設設C C120120, ,則則c c為最大邊為最大邊, ,設設a a為最小邊，為最小邊， 則則A AB B, ,所以所以A A+ +B B=180=180- -C C,A A(0, ,(0, ,6. 3cos2sin2sinsin)sin(sinsinAAAABAACac所以B B253二、填空題二、填空題7.(20097.(2009湖南湖南) )在銳角在銳角ABCABC中中, ,BCBC=1,=1,B B=2=2A A, ,則則 的值等于的值等于_,_,ACAC的取值范圍為的取值范圍為_._.解析解析 由正弦定理由正弦定理: :AACcos,sinsinBACABC,230,220,20,3,3,AAAACCACBA.22cos,cossin22sinsinBCAACAAACAACABC答案答案 2 28.8.在在ABCABC中中, ,C C=60=60, ,a a、b b、c c分別為分別為A A、B B、C C的對的對 邊，則邊，則 =_.=_.解析解析 由余弦定理可知由余弦定理可知: :a a2 2+ +b b2 2= =c c2 2+ +abab, ,.32,cos2,23cos22,46ACAACAA又)3, 2(cabcba. 122222bcacabcbcacabcbcacabcbcacbacabcba又1 19.9.如果函數(shù)如果函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間D D上是凸函數(shù)上是凸函數(shù), ,則對于區(qū)間則對于區(qū)間D D上上 任意的任意的x x1 1, ,x x2 2,x xn n, ,都有都有: : 現(xiàn)已知現(xiàn)已知y y=sin =sin x x在在0, 0, 上是凸上是凸 函數(shù)函數(shù), ,則在則在ABCABC中中,sin ,sin A A+sin +sin B B+sin +sin C C的最大值的最大值 是是_._.解析解析 由題意可知：由題意可知： 所以所以sin sin A A+sin +sin B B+sin +sin C C的最大值是的最大值是nxfxfxfn)()()(21);(21nxxxfn.233sin)3sin(3sinsinsinCBACBA.23323310.10.在在ABCABC中，中，ACAC=2=2BCBC, ,若若ABAB=3,=3,則則ABCABC的最大面的最大面 積為積為_._.解析解析 如圖如圖, ,作作CDCDABAB或其延長線于或其延長線于D D， 設設BCBC= =m m, ,CDCD= =h h, ,BDBD= =t t, , 則則4 4m m2 2-(3+-(3+t t) )2 2= =m m2 2- -t t2 2= =h h2 2,m m2 2=2=2t t+3,+3, 當且僅當當且僅當t t=1=1時時,(,(S SABCABC) )maxmax=3. =3. 3 3,3321,24) 1(3222hSttthABC三、解答題三、解答題11.(200911.(2009全國全國)設設ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A A、B B、C C的對邊長的對邊長 分別為分別為a a、b b、c c,cos(,cos(A A- -C C)+cos )+cos B B= = b b2 2= =ac,ac,求求B B. .解解 由由cos(cos(A A- -C C)+cos )+cos B B= = 得得cos(cos(A A- -C C)-cos()-cos(A A+ +C C)=)= cos cos A Acos cos C C+sin +sin A Asin sin C C-(cos -(cos A Acos cos C C- - sin sin A Asin sin C C)= sin )= sin A Asin sin C C= = 又由又由b b2 2= =acac及正弦定理得及正弦定理得sinsin2 2B B=sin =sin A Asin sin C C, , 故故sinsin2 2B B= sin = sin B B= = 或或sin sin B B= (= (舍去舍去),), 于是于是B B= = 或或B B= = 又由又由b b2 2= =acac知知b ba a或或b bc c, ,所以所以B B= =,23,23)(23CAB及,23,43,4323233.32.312.(200912.(2009江西江西) )在在ABCABC中中, ,角角A A、B B、C C所對的邊分所對的邊分 別為別為a a, ,b b, ,c c. .且且 sin(sin(B B- -A A)=cos )=cos C C. . (1) (1)求求A A, ,C C； (2)(2)若若S SABCABC= = 求求a a, ,c c. .解解 (1)(1)因為因為 所以所以sin sin C Ccos cos A A+sin +sin C Ccos cos B B=cos =cos C Csin sin A A+cos +cos C C sin sin B B, ,即即sin sin C Ccos cos A A-cos -cos C Csin sin A A=cos =cos C Csin sin B B- - sin sin C Ccos cos B B, , 得得sin(sin(C C- -A A)=sin()=sin(B B- -C C).). 所以所以C C- -A A= =B B- -C C或或C C- -A A= -(= -(B B- -C C)()(不成立不成立) )，,coscossinsintanBABAC, 33,coscossinsintanBABAC,coscossinsincossinBABACC即.125,4),(656,21cos)sin(.32,3,2BAABABCABABCBAC得舍去或則又因為所以得即. 32,22,2322,sinsin, 33826sin21)2(cacaCcAaacBacSABC得即又返回