精修版數(shù)學(xué)人教A版選修45優(yōu)化練習(xí)：第四講 達(dá)標(biāo)檢測 Word版含解析

精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理達(dá)標(biāo)檢測時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意x0和正整數(shù)n，都有xnxn2xn4n1”時(shí)，需要驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為()An01Bn02Cn01,2 D以上答案均不正確解析：當(dāng)n01時(shí)，x2成立，故選A.答案：A2從一樓到二樓的樓梯共有n級臺階，每步只能跨上1級或2級，走完這n級臺階共有f(n)種走法，則下面的猜想正確的是()Af(n)f(n1)f(n2)(n3)Bf(n)2f(n1)(n2)Cf(n)2f(n1)1(n2)D f(n)f(n1) f(n2)(n3)解析：分別取n1,2,3,4驗(yàn)證，得f(n)答案：A3設(shè)凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n1邊形的對角形的條數(shù)f(n1)為()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：凸n1邊形的對角線的條數(shù)等于凸n邊形的對角線的條數(shù)，加上多的那個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的對角線的條數(shù)(n2)條，再加上原來有一邊成為對角線，共有f(n)n1條對角線，故選C.答案：C4用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3，nN能被9整除”，利用歸納假設(shè)證nk1，只需展開()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：nk時(shí)，式子為k3(k1)3(k2)3，nk1時(shí)，式子為(k1)3(k2)3(k3)3，故只需展開(k3)3.答案：A5下列說法中正確的是()A若一個(gè)命題當(dāng)n1,2時(shí)為真，則此命題為真命題B若一個(gè)命題當(dāng)nk時(shí)成立且推得nk1時(shí)也成立，則這個(gè)命題為真命題C若一個(gè)命題當(dāng)n1,2時(shí)為真，則當(dāng)n3時(shí)這個(gè)命題也為真D若一個(gè)命題當(dāng)n1時(shí)為真，nk時(shí)為真能推得nk1時(shí)亦為真，則此命題為真命題解析：由完全歸納法可知，只有當(dāng)n的初始取值成立且由nk成立能推得nk1時(shí)也成立時(shí)，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可A，B，C項(xiàng)均不全面答案：D6平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()Af(k)1 Bf(k)kCf(k)k1 Dk·f(k)解析：第k1條直線與前k條直線都相交且有不同交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，此時(shí)應(yīng)比原先增加k個(gè)交點(diǎn)答案：B7用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除時(shí)，若nk時(shí)，命題成立，欲證當(dāng)nk1時(shí)命題成立，對于34(k1)152(k1)1可變形為()A56×34k125(34k152k1)B34×34k152×52kC34k152k1D25(34k152k1)解析：由34(k1)152(k1)181×34k125×52k125×34k125×34k156×34k125(34k152k1)答案：A8數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2·an(n2)，而a11通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an等于()A. BC. D解析：由a2S2S14a21得a2由a3S3S29a34a2得a3a2.由a4S4S316a49a3得a4a3，猜想an.答案：B9用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)(nN)時(shí)，從k到k1，左邊需要增加的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D解析：當(dāng)nk時(shí)左邊的最后一項(xiàng)是2k，nk1時(shí)左邊的最后一項(xiàng)是2k2，而左邊各項(xiàng)都是連續(xù)的，所以nk1時(shí)比nk時(shí)左邊少了(k1)，而多了(2k1)·(2k2)因此增加的代數(shù)式是2(2k1)答案：B10把正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排序，則從2 018到2 020的箭頭方向依次為()A BC D解析：由2 0184×5042，而an4n是每一個(gè)下邊不封閉的正方形左上頂點(diǎn)的數(shù)，故應(yīng)選D.答案：D11用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()Ak2B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析：當(dāng)nk時(shí)，左端123k2，當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2，故應(yīng)選D.答案：D12若k棱柱有f(k)個(gè)對角面，則k1棱柱的對角面的個(gè)數(shù)為()A2f(k) Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)2解析：如圖所示是k1棱柱的一個(gè)橫截面，顯然從k棱柱到k1棱柱，增加了從Ak1發(fā)出的對角線k2條，即相應(yīng)對角面k2個(gè)，以及A1Ak棱變?yōu)閷蔷€(變?yōu)橄鄳?yīng)的對角面)故f(k1)f(k)(k2)1f(k)k1.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)13已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí)，若已假設(shè)nk(k2為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證n_時(shí)等式成立解析：nk為偶數(shù)，下一個(gè)偶數(shù)為nk2.答案：k214在數(shù)列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差數(shù)列，則S2，S3，S4分別為_，猜想Sn_.解析：S11,2Sn1Sn2S1.當(dāng)n1時(shí)，2S2S123，S2；當(dāng)n2時(shí)，2S3S22，S3；當(dāng)n3時(shí)，2S4S32，S4.猜想Sn.答案：、15設(shè)f(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)3.在“假設(shè)nk時(shí)成立”后，f(k1)與f(k)的關(guān)系是f(k1)f(k)·_.解析：當(dāng)nk時(shí)，f(k)；當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)，所以應(yīng)乘·.答案：·16. 有以下四個(gè)命題：(1)2n>2n1(n3)(2)2462nn2n2(n1)(3)凸n邊形內(nèi)角和為f(n)(n1)(n3)(4)凸n邊形對角線條數(shù)f(n)(n4)其中滿足“假設(shè)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立，則當(dāng)nk1時(shí)命題也成立”但不滿足“當(dāng)nn0(n0是題中給定的n的初始值)時(shí)命題成立”的命題序號是_解析：當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)經(jīng)驗(yàn)證(2)，(3)，(4)均不成立，(1)不符合題意，對于(4)假設(shè)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立，則當(dāng)nk1時(shí)命題不成立所以(2)(3)正確答案：(2)(3)三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明對于整數(shù)n0，An11n2122n1能被133整除證明：(1)當(dāng)n0時(shí)，A011212133能被133整除(2)假設(shè)nk時(shí)，Ak11k2122k1能被133整除當(dāng)nk1時(shí)，Ak111k3122k311·11k2122·122k111·11k211·122k1(12211)·122k1.11·(11k2122k1)133·122k1.nk1時(shí)，命題也成立根據(jù)(1)(2)，對于任意整數(shù)n0，命題都成立18(12分)設(shè)xn是由x12，xn1(nN)定義的數(shù)列，求證：xn<.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，x12<1，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，不等式成立，即xk<，那么，當(dāng)nk1時(shí)，xk1.由歸納假設(shè)，xk<，則<，>.xk>，<.xk1<.即xk1<.當(dāng)nk1時(shí)，不等式xn<成立綜上，得xn<(nN)19(12分)證明：tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(n1)·tan nn(n2，nN)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊tan ·tan 2，右邊2·22tan ·tan 2左邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)等式成立，即tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(k1)·tan kk.當(dāng)nk1時(shí)，tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(k1)·tan ktan k·tan(k1)ktan k·tan(k1)k1tan(k1)·tan ktan(k1)tan k(k1)，所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)和(2)知，當(dāng)n2，nN時(shí)等式恒成立20(12分)數(shù)列an滿足Sn2nan(nN)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想解析：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，a11.當(dāng)n2時(shí)，a1a2S22×2a2，a2.當(dāng)n3時(shí)，a1a2a3S32×3a3，a3.當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S42×4a4，a4.由此猜想an(nN)(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak，那么nk1(k1且kN)時(shí)，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1.2ak12ak，ak1.這表明nk1時(shí)，結(jié)論成立，所以an(nN)21(13分)在平面內(nèi)有n條直線，每兩條直線都相交，任何三條直線不共點(diǎn)，求證：這n條直線分平面為個(gè)部分證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，一條直線把平面分成兩部分，而f(1)2，所以命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)命題成立，即k條直線把平面分成f(k)個(gè)部分則當(dāng)nk1時(shí)，即增加一條直線l，因?yàn)槿魏蝺蓷l直線都相交，所以l與k條直線都相交，有k個(gè)交點(diǎn)；又因?yàn)槿魏稳龡l直線不共點(diǎn)，所以這k個(gè)交點(diǎn)不同于k條直線的交點(diǎn)，且k個(gè)交點(diǎn)也互不相同，如此k個(gè)交點(diǎn)把直線l分成k1段，每一段把它所在的平面區(qū)域分為兩部分，故新增加了k1個(gè)平面部分所以f(k1)f(k)k1k1.所以當(dāng)nk1時(shí)命題也成立由(1)(2)可知當(dāng)nN時(shí)，命題成立，即平面上通過同一點(diǎn)的n條直線分平面為個(gè)部分22(13分)設(shè)x1>0，x11，且xn1，nN.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果0<x1<1，則xn<xn1.證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果0<x1<1，則0<xn<1.(1)n1時(shí)，x2，因?yàn)?<x1<1，所以(x11)3<0.則有x3x1<3x1，故x2<1.故n1時(shí)命題成立(2)當(dāng)nk(k1)時(shí)命題成立，即0<xk<1，(xk1)3<0.也有x3xk<3x1，即<1.故xk1<1.且xk1>0.由(1)、(2)知nN時(shí)命題都成立xnxn1xn<0，于是xn<xn1.最新精品資料