廣東省中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 題型三 規(guī)律探索題課件

題型三題型三 規(guī)律探索題規(guī)律探索題 典例精講類型一類型一 數(shù)式規(guī)律數(shù)式規(guī)律例例1（2015省卷省卷15，4分分）觀察下列一組數(shù)：）觀察下列一組數(shù)： ， ， ， ， ，根據(jù)該組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第，根據(jù)該組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第10個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是_.13253749511【思維教練【思維教練】觀察式子，分子為連續(xù)的正整數(shù)，且分子與分?jǐn)?shù)觀察式子，分子為連續(xù)的正整數(shù)，且分子與分?jǐn)?shù)序號(hào)相同，分母為從序號(hào)相同，分母為從3開(kāi)始的連續(xù)的奇數(shù)，且分母比分子的開(kāi)始的連續(xù)的奇數(shù)，且分母比分子的2倍倍多多1，由此可推出第，由此可推出第10個(gè)數(shù)個(gè)數(shù).【解析【解析】觀察各個(gè)分?jǐn)?shù)，不難發(fā)現(xiàn)：分子與分?jǐn)?shù)序號(hào)相同，分母觀察各個(gè)分?jǐn)?shù)，不難發(fā)現(xiàn)：分子與分?jǐn)?shù)序號(hào)相同，分母比序號(hào)的比序號(hào)的2倍多倍多1，所以第，所以第10個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為 .1010=210+1211021例例2（2016恩施州恩施州）觀察下列等式：）觀察下列等式：1+2+3+4+n= n(n+1)；1+3+6+10+ n（n+1）= n(n+1)(n+2)；1+4+10+20+ n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)； 則有：則有：1+5+15+35+ n(n+1)(n+2)(n+3)=_.12121616124124【思維教練【思維教練】觀察等式右邊存在一組有規(guī)律的因式：觀察等式右邊存在一組有規(guī)律的因式： n(n+1)，n(n+1)(n+2)，n(n+1)(n+2)(n+3)，因式項(xiàng)依次多加一項(xiàng)；，因式項(xiàng)依次多加一項(xiàng)；其系數(shù)的規(guī)律是第其系數(shù)的規(guī)律是第n個(gè)等式的系數(shù)是上一個(gè)等式的系數(shù)乘個(gè)等式的系數(shù)是上一個(gè)等式的系數(shù)乘 ，由此可推出所求式子結(jié)果由此可推出所求式子結(jié)果.11n【解析【解析】觀察所給等式可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)等式的右邊系數(shù)觀察所給等式可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)等式的右邊系數(shù)為為 =1 ，因式為，因式為n(n+1)；第二個(gè)等式的右邊系數(shù)為；第二個(gè)等式的右邊系數(shù)為 = ，因式為，因式為n(n+1)(n+2)；第三個(gè)等式的右邊系數(shù)；第三個(gè)等式的右邊系數(shù)為為 = ，因式為，因式為n(n+1)(n+2)(n+3)，所以第四個(gè)等，所以第四個(gè)等式的右邊系數(shù)為式的右邊系數(shù)為 = ，因式為，因式為n(n+1)(n+2) (n+3)(n+4)，結(jié)果為，結(jié)果為 .1216161241241212131415112011234120n nnnn11234120n nnnn【答案答案】滿滿 分分 技技 法法數(shù)式規(guī)律探索主要有以下數(shù)式規(guī)律探索主要有以下3類：類：1.數(shù)字規(guī)律探索：數(shù)字規(guī)律探索：（1）當(dāng)所給的一組數(shù)是整數(shù)時(shí)，先觀察這組數(shù)字是自然）當(dāng)所給的一組數(shù)是整數(shù)時(shí)，先觀察這組數(shù)字是自然數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列還是正整數(shù)數(shù)列經(jīng)過(guò)數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列還是正整數(shù)數(shù)列經(jīng)過(guò)平方、平方加平方、平方加1或減或減1等運(yùn)算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)等運(yùn)算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)字的符號(hào)，判斷數(shù)字符號(hào)的正負(fù)是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn)字的符號(hào)，判斷數(shù)字符號(hào)的正負(fù)是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn)一種符號(hào)，如果是交替出現(xiàn)的可用一種符號(hào)，如果是交替出現(xiàn)的可用(-1)n或或(-1)n-1表示數(shù)字表示數(shù)字的符號(hào)，最后把數(shù)字規(guī)律和符號(hào)規(guī)律結(jié)合起來(lái)從而得到的符號(hào)，最后把數(shù)字規(guī)律和符號(hào)規(guī)律結(jié)合起來(lái)從而得到結(jié)果；結(jié)果；（2）當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合的時(shí)候，先把這組數(shù)據(jù)）當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合的時(shí)候，先把這組數(shù)據(jù)的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷出分子和分母的數(shù)的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷出分子和分母的數(shù)字規(guī)律（其方法同（字規(guī)律（其方法同（1），從而得出分子和分母的規(guī)），從而得出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第律，最后得到該組第n項(xiàng)的規(guī)律項(xiàng)的規(guī)律.2.數(shù)陣規(guī)律探索：數(shù)陣規(guī)律探索：此類題目中的數(shù)據(jù)與有序數(shù)對(duì)是對(duì)應(yīng)的，設(shè)問(wèn)方式有已此類題目中的數(shù)據(jù)與有序數(shù)對(duì)是對(duì)應(yīng)的，設(shè)問(wèn)方式有已知有序數(shù)對(duì)求數(shù)值和表示某個(gè)數(shù)值的有序數(shù)對(duì)，本質(zhì)上知有序數(shù)對(duì)求數(shù)值和表示某個(gè)數(shù)值的有序數(shù)對(duì)，本質(zhì)上講，這兩種方式是相同的講，這兩種方式是相同的.此類型題的解決方法有：此類型題的解決方法有：（1）分析數(shù)陣中的數(shù)字排列方式：）分析數(shù)陣中的數(shù)字排列方式：每行的個(gè)數(shù)；每行的個(gè)數(shù)；每列的個(gè)數(shù)；每列的個(gè)數(shù)；相鄰數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)，并且觀察是否某相鄰數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)，并且觀察是否某一行或者某一列數(shù)據(jù)具有某些特別的性質(zhì)（如完全平方一行或者某一列數(shù)據(jù)具有某些特別的性質(zhì)（如完全平方數(shù)，正整數(shù)）等；數(shù)，正整數(shù)）等；（2）找出該行或列上的數(shù)字與其所在的行數(shù)或列數(shù)的）找出該行或列上的數(shù)字與其所在的行數(shù)或列數(shù)的關(guān)系；關(guān)系；（3）使用）使用中找出的具有特殊性質(zhì)的數(shù)字，根據(jù)（中找出的具有特殊性質(zhì)的數(shù)字，根據(jù)（2）中的性質(zhì)定位，求得答案中的性質(zhì)定位，求得答案.3.等式規(guī)律探索：等式規(guī)律探索：第一步：標(biāo)序數(shù)；第一步：標(biāo)序數(shù)；第二步：對(duì)比式子與序數(shù)，即分別比較等式中各部分與第二步：對(duì)比式子與序數(shù)，即分別比較等式中各部分與序數(shù)（序數(shù)（1，2，3，4，n）之間的關(guān)系，把其蘊(yùn)含的規(guī)）之間的關(guān)系，把其蘊(yùn)含的規(guī)律用含序數(shù)的式子表示出來(lái)律用含序數(shù)的式子表示出來(lái).通常方法是將式子進(jìn)行拆分，通常方法是將式子進(jìn)行拆分，觀察式子中數(shù)字與序數(shù)是否存在倍數(shù)或者乘方的關(guān)系；觀察式子中數(shù)字與序數(shù)是否存在倍數(shù)或者乘方的關(guān)系；第三步：根據(jù)找出的規(guī)律得出第第三步：根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個(gè)等式，并進(jìn)行檢驗(yàn)個(gè)等式，并進(jìn)行檢驗(yàn).類型二類型二 圖形規(guī)律圖形規(guī)律一、圖形累加規(guī)律探索一、圖形累加規(guī)律探索 典例精講例例3（2016山西山西）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，依長(zhǎng)相同的小正方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有個(gè)圖案中有 個(gè)涂有陰影的小正方形（用個(gè)涂有陰影的小正方形（用含有含有n的代數(shù)式表示）的代數(shù)式表示）.例例3題圖題圖【思維教練【思維教練】觀察圖形，易知后一個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多觀察圖形，易知后一個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多4個(gè)涂有陰影的小正方形，依此規(guī)律即可求出第個(gè)涂有陰影的小正方形，依此規(guī)律即可求出第n個(gè)圖案中個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形的個(gè)數(shù)涂有陰影的小正方形的個(gè)數(shù).【解析【解析】4n+1序數(shù)序數(shù)123n涂陰影的小涂陰影的小正方形個(gè)數(shù)正方形個(gè)數(shù)5913圖形之間的圖形之間的變化規(guī)律變化規(guī)律55+415+425+4（n-1）4n+1【答案答案】滿滿 分分 技技 法法解答圖形累加規(guī)律探索的方法：解答圖形累加規(guī)律探索的方法：第一步第一步,寫序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為寫序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，n”第二步第二步,數(shù)圖形個(gè)數(shù)：在圖形數(shù)量變化時(shí)，要記出每組圖數(shù)圖形個(gè)數(shù)：在圖形數(shù)量變化時(shí)，要記出每組圖形的表示個(gè)數(shù)；形的表示個(gè)數(shù)；第三步第三步,尋找圖形數(shù)量與序數(shù)尋找圖形數(shù)量與序數(shù)n的關(guān)系：針對(duì)尋找第的關(guān)系：針對(duì)尋找第n個(gè)圖個(gè)圖形表示的數(shù)量時(shí)，先將后一個(gè)圖形的表示個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形表示的數(shù)量時(shí)，先將后一個(gè)圖形的表示個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行比對(duì)，通常作差來(lái)觀察是否有恒定量的變化，形的個(gè)數(shù)進(jìn)行比對(duì)，通常作差來(lái)觀察是否有恒定量的變化，然后按照定量變化推導(dǎo)出具體某個(gè)圖形的個(gè)數(shù)；然后按照定量變化推導(dǎo)出具體某個(gè)圖形的個(gè)數(shù)；第四步第四步,驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確.二、圖形成倍遞變規(guī)律探索二、圖形成倍遞變規(guī)律探索 典例精講例例4（2011省卷省卷10，4分分）如圖）如圖，將一個(gè)正六邊形各邊，將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為，它的面積為1，取取ABC和和DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖，如圖中陰影部分；取中陰影部分；取A1B1C1和和D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖如圖中陰影部分；如此下去中陰影部分；如此下去，則正六角星形，則正六角星形AnFnBnDnCnEn的面積為的面積為_(kāi).例例4題圖題圖【思維教練【思維教練】要得到第要得到第n個(gè)正六角星形的面積，通過(guò)觀個(gè)正六角星形的面積，通過(guò)觀察前一個(gè)正六角星形與后一個(gè)正六角星形之間的面積關(guān)察前一個(gè)正六角星形與后一個(gè)正六角星形之間的面積關(guān)系，由于前后兩個(gè)正六角星形相似，可根據(jù)相似圖形面系，由于前后兩個(gè)正六角星形相似，可根據(jù)相似圖形面積之比等于相似比的平方得到面積關(guān)系，找出規(guī)律即可積之比等于相似比的平方得到面積關(guān)系，找出規(guī)律即可.【解析【解析】很容易知道正六角星形很容易知道正六角星形A1F1B1D1C1E1與正六角星與正六角星形形AFBDCE相似，且相似比是相似，且相似比是1 2，所以它們的面積比為，所以它們的面積比為1 4，同理，正六角星形，同理，正六角星形A2F2B2D2C2E2與正六角星形與正六角星形A1F1B1D1C1E1也相似，且相似比是也相似，且相似比是1 2，所以它們的面積，所以它們的面積比為比為1 4，由這些規(guī)律得正六角星形，由這些規(guī)律得正六角星形AnFnBnDnCnEn的面積的面積為為1( )n= .1414n【答案答案】14n滿滿 分分 技技 法法圖形成倍遞變規(guī)律探索的?？碱愋陀校簣D形成倍遞變規(guī)律探索的?？碱愋陀校?.點(diǎn)坐標(biāo)成倍遞變：點(diǎn)坐標(biāo)成倍遞變：（1）根據(jù)圖形的變換規(guī)律分別求出第）根據(jù)圖形的變換規(guī)律分別求出第1個(gè)點(diǎn)，第個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)點(diǎn)，個(gè)點(diǎn)，第第3個(gè)點(diǎn)，第個(gè)點(diǎn)，第4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，歸納出后一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與前個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，歸納出后一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與前一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間存在的倍分關(guān)系；一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間存在的倍分關(guān)系；（2）根據(jù)（）根據(jù)（1）中得到的倍分關(guān)系，得到第）中得到的倍分關(guān)系，得到第M個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).2.線段（面積）成倍遞變線段（面積）成倍遞變:已知一個(gè)幾何圖形的邊長(zhǎng)（面積），通過(guò)遞推確定第已知一個(gè)幾何圖形的邊長(zhǎng)（面積），通過(guò)遞推確定第M次變換后的圖形的邊長(zhǎng)（面積）次變換后的圖形的邊長(zhǎng)（面積）.（1）根據(jù)題意可得出第一次變換前的邊長(zhǎng)（面積）根據(jù)題意可得出第一次變換前的邊長(zhǎng)（面積）為為b；（2）通過(guò)計(jì)算得到第一次變換后的邊長(zhǎng)（面積），）通過(guò)計(jì)算得到第一次變換后的邊長(zhǎng)（面積），第二次變換后的邊長(zhǎng)（面積），第三次變換后的邊長(zhǎng)第二次變換后的邊長(zhǎng)（面積），第三次變換后的邊長(zhǎng)（面積），第四次變換后的邊長(zhǎng)（面積），歸納出后（面積），第四次變換后的邊長(zhǎng)（面積），歸納出后一個(gè)邊長(zhǎng)（面積）與前一個(gè)邊長(zhǎng)（面積）之間存在的一個(gè)邊長(zhǎng)（面積）與前一個(gè)邊長(zhǎng)（面積）之間存在的倍分關(guān)系是倍分關(guān)系是n；（3）第）第M次變換后，求得線段的長(zhǎng)度（面積）為次變換后，求得線段的長(zhǎng)度（面積）為nMb.三、圖形循環(huán)規(guī)律探索三、圖形循環(huán)規(guī)律探索 典例精講例例5如圖，彈性小球從點(diǎn)如圖，彈性小球從點(diǎn)P（0，3）出）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形矩形OABC的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為形的邊時(shí)的點(diǎn)為P1，第，第2次碰到矩形次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為的邊時(shí)的點(diǎn)為P2，第，第n次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn，則點(diǎn)則點(diǎn)P3的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是_，點(diǎn)，點(diǎn)P2016的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是_.例例5題圖題圖【思維教練【思維教練】要確定點(diǎn)要確定點(diǎn)P3的坐標(biāo)，可根據(jù)入射角與反射的坐標(biāo)，可根據(jù)入射角與反射角的定義作出圖形，依次確定角的定義作出圖形，依次確定P1,P2，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到P3的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，繼續(xù)作圖，可知每繼續(xù)作圖，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，根據(jù)次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，根據(jù)循環(huán)規(guī)律即可確定循環(huán)規(guī)律即可確定P2016的坐標(biāo)的坐標(biāo).【解析【解析】如解圖，經(jīng)過(guò)如解圖，經(jīng)過(guò)6次反彈后小球回到出發(fā)點(diǎn)次反彈后小球回到出發(fā)點(diǎn)P（0，3），當(dāng)點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)P第第3次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（8，3），），20166336，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P第第2016次碰到矩形的邊次碰到矩形的邊時(shí)為第時(shí)為第336個(gè)循環(huán)組的第個(gè)循環(huán)組的第6次反彈，此時(shí)，點(diǎn)次反彈，此時(shí)，點(diǎn)P2016的坐標(biāo)的坐標(biāo)為（為（0，3）.例例5題解圖題解圖（8，3），（），（0，3）【答案答案】滿滿 分分 技技 法法圖形循環(huán)規(guī)律探索主要考查類型有圖形循環(huán)規(guī)律探索主要考查類型有3種：種：1.點(diǎn)坐標(biāo)變換在坐標(biāo)軸上或象限內(nèi)循環(huán)遞推變化，求第點(diǎn)坐標(biāo)變換在坐標(biāo)軸上或象限內(nèi)循環(huán)遞推變化，求第M個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；2.圖形循環(huán)變換類，求經(jīng)過(guò)圖形循環(huán)變換類，求經(jīng)過(guò)M次變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)或次變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)或圖形；圖形；3.幾何圖形循環(huán)旋轉(zhuǎn)變換，通過(guò)幾何圖形循環(huán)旋轉(zhuǎn)變換，通過(guò)M次變換后，求起始點(diǎn)次變換后，求起始點(diǎn)到終點(diǎn)的線段長(zhǎng)到終點(diǎn)的線段長(zhǎng).對(duì)于此類問(wèn)題，一般解題思路為：對(duì)于此類問(wèn)題，一般解題思路為：先觀察點(diǎn)坐標(biāo)（圖形）變化的規(guī)律是順時(shí)針（逆時(shí)先觀察點(diǎn)坐標(biāo)（圖形）變化的規(guī)律是順時(shí)針（逆時(shí)針）循環(huán)交替出現(xiàn)，找出循環(huán)一周的變換次數(shù)，記為針）循環(huán)交替出現(xiàn)，找出循環(huán)一周的變換次數(shù)，記為n；用用Mn=Wq（0qn)，則第，則第M次變換后的點(diǎn)次變換后的點(diǎn)坐標(biāo)（圖形）就是一個(gè)循環(huán)變換中第坐標(biāo)（圖形）就是一個(gè)循環(huán)變換中第q次變化對(duì)應(yīng)的次變化對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)（圖形），或存在一定的倍分關(guān)系；點(diǎn)坐標(biāo)（圖形），或存在一定的倍分關(guān)系；根據(jù)題意找出第根據(jù)題意找出第q次變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)（圖形），次變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)（圖形），即可推斷出第即可推斷出第M個(gè)（次）變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)（圖個(gè)（次）變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)（圖形）形）.