數(shù)學(xué)第五篇 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 理 新人教版

第第4 4節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用知識梳理自測知識梳理自測考點專項突破考點專項突破解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實 知識梳理自測知識梳理自測 把散落的知識連起來把散落的知識連起來【教材導(dǎo)讀教材導(dǎo)讀】 數(shù)列求和有哪些方法數(shù)列求和有哪些方法? ?提示提示: :公式法、倒序相加法、裂項相消法、分組求和法、并項求和法、錯位公式法、倒序相加法、裂項相消法、分組求和法、并項求和法、錯位相減法相減法. .知識梳理知識梳理 1.1.數(shù)列求和的基本方法數(shù)列求和的基本方法(1)(1)公式法公式法直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解. .(2)(2)倒序相加法倒序相加法如果一個數(shù)列如果一個數(shù)列aan n 滿足與首末兩項等滿足與首末兩項等“距離距離”的兩項的和相等的兩項的和相等( (或等于同一常數(shù)或等于同一常數(shù)),),那么那么求這個數(shù)列的前求這個數(shù)列的前n n項和項和, ,可用倒序相加法可用倒序相加法. .(3)(3)裂項相消法裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差把數(shù)列的通項拆成兩項之差, ,在求和時中間的一些項可以相互抵消在求和時中間的一些項可以相互抵消, ,從而求得其和從而求得其和. .(4)(4)分組求和法分組求和法一個數(shù)列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數(shù)列的通項公式組成一個數(shù)列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數(shù)列的通項公式組成, ,求和時可用求和時可用分組求和法分組求和法, ,分別求和而后相加分別求和而后相加. .(5)(5)并項求和法并項求和法一個數(shù)列的前一個數(shù)列的前n n項和中項和中, ,若項與項之間能兩兩結(jié)合求解若項與項之間能兩兩結(jié)合求解, ,則稱之為并項求和則稱之為并項求和. .形如形如a an n= = (-1)(-1)n nf(n)f(n)類型類型, ,可采用并項法求解可采用并項法求解. .(6)(6)錯位相減法錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的, ,那么這個那么這個數(shù)列的前數(shù)列的前n n項和可用此法來求項和可用此法來求, ,如等比數(shù)列的前如等比數(shù)列的前n n項和公式就是用此法推導(dǎo)的項和公式就是用此法推導(dǎo)的. .2.2.數(shù)列應(yīng)用題的常見模型數(shù)列應(yīng)用題的常見模型(1)(1)等差模型等差模型: :當(dāng)增加當(dāng)增加( (或減少或減少) )的量是一個固定量時的量是一個固定量時, ,該模型是等差模型該模型是等差模型, ,增加增加( (或減少或減少) )的的量就是公差量就是公差. .(2)(2)等比模型等比模型: :當(dāng)后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時當(dāng)后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時, ,該模型是等比模型該模型是等比模型, ,這個固這個固定的數(shù)就是公比定的數(shù)就是公比. .(3)(3)遞推模型遞推模型: :找到數(shù)列中任一項與它前面項之間的遞推關(guān)系式找到數(shù)列中任一項與它前面項之間的遞推關(guān)系式, ,可由遞推關(guān)系入手解決可由遞推關(guān)系入手解決實際問題實際問題, ,該模型是遞推模型該模型是遞推模型. .等差模型、等比模型是該模型的兩個特例等差模型、等比模型是該模型的兩個特例. .雙基自測雙基自測 1.1.數(shù)列數(shù)列1+21+2n-1n-1 的前的前n n項和為項和為( ( ) )(A)1+2(A)1+2n n (B)2+2 (B)2+2n n(C)n+2(C)n+2n n-1-1 (D)n+2+2 (D)n+2+2n nC CA A4.34.32 2-1-1+4+42 2-2-2+5+52 2-3-3+(n+2)2+(n+2)2-n-n= =. 考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 數(shù)列求和數(shù)列求和反思歸納反思歸納 分組法求和的常見類型分組法求和的常見類型(1)(1)若若a an n= =b bn nc cn n, ,且且 b bn n,c,cn n 為等差或等比數(shù)列為等差或等比數(shù)列, ,可采用分組法求可采用分組法求aan n 的前的前n n項和項和. .反思歸納反思歸納 (1)(1)常見的裂項方法常見的裂項方法( (其中其中n n為正整數(shù)為正整數(shù)) )(2)(2)利用裂項相消法求和時利用裂項相消法求和時, ,應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項, ,也有可能前面剩兩項也有可能前面剩兩項, ,后面也剩兩項后面也剩兩項, ,再就是將通項公式裂項后再就是將通項公式裂項后, ,有時候需要有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)調(diào)整前面的系數(shù), ,使前后相等使前后相等. .解解: :(1)(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,等比數(shù)列等比數(shù)列bbn n 的公比為的公比為q.q.由已知由已知b b2 2+b+b3 3= =12,12,得得b b1 1(q+q(q+q2 2)=12,)=12,而而b b1 1=2,=2,所以所以q q2 2+q-6=0.+q-6=0.又因為又因為q0,q0,解得解得q=2.q=2.所以所以b bn n=2=2n n. .由由b b3 3=a=a4 4-2a-2a1 1, ,可得可得3d-a3d-a1 1=8,=8,由由S S1111=11b=11b4 4, ,可得可得a a1 1+5d=16,+5d=16,聯(lián)立聯(lián)立, ,解得解得a a1 1=1,d=3,=1,d=3,由此可得由此可得a an n=3n-2.=3n-2.所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為a an n=3n-2,=3n-2,數(shù)列數(shù)列bbn n 的通項公式為的通項公式為b bn n=2=2n n. .考查角度考查角度3:3:錯位相減法求和錯位相減法求和【例例3 3】 ( (20172017天津卷天津卷) )已知已知aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,前前n n項和為項和為S Sn n(n(nN N* *),),b bn n 是首項是首項為為2 2的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,且公比大于且公比大于0,b0,b2 2+b+b3 3=12,b=12,b3 3=a=a4 4-2a-2a1 1,S,S1111=11b=11b4 4. .(1)(1)求求aan n 和和 b bn n 的通項公式的通項公式; ;(2)(2)求數(shù)列求數(shù)列aa2n2nb b2n-12n-1 的前的前n n項和項和( (nnN N* *).).反思歸納反思歸納 錯位相減法求和策略錯位相減法求和策略(1)(1)如果數(shù)列如果數(shù)列aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列,b bn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,求數(shù)列求數(shù)列 a an nb bn n 的前的前n n項和時項和時, ,可采用錯位相減法可采用錯位相減法, ,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 b bn n 的公比的公比, ,然后作差然后作差求解求解. .(2)(2)在寫在寫“S Sn n”與與“qSqSn n”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊錯項對齊”以便下一以便下一步準確寫出步準確寫出“S Sn n-qS-qSn n”的表達式的表達式. .(3)(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時在應(yīng)用錯位相減法求和時, ,若等比數(shù)列的公比為參數(shù)若等比數(shù)列的公比為參數(shù), ,應(yīng)分公比等于應(yīng)分公比等于1 1和和不等于不等于1 1兩種情況求解兩種情況求解. .考點二考點二 與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問題與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問題反思歸納反思歸納 (1)(1)數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類: :已知函數(shù)條件已知函數(shù)條件, ,解解決數(shù)列問題決數(shù)列問題, ,一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象; ;已知數(shù)列條件已知數(shù)列條件, ,解決函數(shù)問題解決函數(shù)問題, ,一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形. .(2)(2)數(shù)列與不等式的恒成立問題數(shù)列與不等式的恒成立問題. .此類問題常構(gòu)造函數(shù)此類問題常構(gòu)造函數(shù), ,通過函數(shù)的單調(diào)性、通過函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決問題最值等解決問題. .(3)(3)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題. .解決此類問題要靈活選擇不等式的證明解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法方法, ,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等如比較法、綜合法、分析法、放縮法等. .備選例題備選例題 【例例1 1】 已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,且且a a2 2a an n=S=S2 2+S+Sn n對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n n都成立都成立. .(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2的值的值; ;(2)(2)若若b bn n=(-1)=(-1)n na an n, ,求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的前的前n n項和項和T Tn n. . 解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實 把典型問題的解決程序化把典型問題的解決程序化數(shù)列求和中的創(chuàng)新問題解題策略數(shù)列求和中的創(chuàng)新問題解題策略【典例典例】 (12 (12分分)()(20162016全國全國卷卷)S)Sn n為等差數(shù)列為等差數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和, ,且且a a1 1=1,S=1,S7 7=28.=28.記記b bn n=lg a=lg an n,其中其中xx表示不超過表示不超過x x的最大整數(shù)的最大整數(shù), ,如如0.9=0,lg 0.9=0,lg 99=1.99=1.(1)(1)求求b b1 1,b,b1111,b,b101101; ;(2)(2)求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前1 0001 000項和項和. .審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)關(guān)鍵信息關(guān)鍵信息信息轉(zhuǎn)化信息轉(zhuǎn)化S Sn n為等差數(shù)列為等差數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和, ,且且a a1 1=1,S=1,S7 7=28=28可以求得數(shù)列可以求得數(shù)列aan n 的通項的通項b bn n=lg a=lg an n,x,x的定義的定義, ,0.9=0,lg 99=10.9=0,lg 99=1分別求解分別求解b b1 1,b,b2 2,b,b3 3, ,b,b1 0001 000數(shù)列數(shù)列bbn n 的前的前1 0001 000項和項和分組求和分組求和答題模板答題模板: :第一步第一步: :根據(jù)等差數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列aan n 中的中的a a1 1=1,S=1,S7 7=28=28求求a an n, ,再根據(jù)函數(shù)再根據(jù)函數(shù)xx的定義求的定義求b b1 1,b,b1111,b,b101101; ;第二步第二步: :分析分析b bn n=lg a=lg an n 的規(guī)律并分類求出的規(guī)律并分類求出b bn n; ;第三步第三步: :分組求和得數(shù)列分組求和得數(shù)列bbn n 的前的前1 0001 000項和項和. .