《組合數(shù)學(xué)》測試題含標(biāo)準(zhǔn)答案

組合數(shù)學(xué)測試題含答案作者:日期:測試題組合數(shù)學(xué)一、選擇題1 .把101本書分給10名學(xué)生，則下列說法正確的是（）A.有一名學(xué)生分得11本書B.至少有一名學(xué)生分得 11本書C.至多有一名學(xué)生分得 11本書 D.有一名學(xué)生分得至少 11本書2 . 8人排隊上車，其中 A, B兩人之間恰好有4人，則不同的排列方法是（）A. 3 6! B. 4 6! C. 6 6!D. 8 6!3 . 10名嘉賓和4名領(lǐng)導(dǎo)站成一排參加剪彩，其中領(lǐng)導(dǎo)不能相鄰，則站位方法總數(shù)為（）A.10! P 11,4B. 10! P 9,4C. 10! P 10,4D. 14! 3!4 .把10個人分成兩組，每組 5人，共有多少種方法（）10A.510 10B.559C.499D.445 .設(shè)x,y均為正整數(shù)且x y 20,則這樣的有序數(shù)對x, y共有（）個A.190B.200C.210D.2206 .僅由數(shù)字1, 2, 3組成的七位數(shù)中，相鄰數(shù)字均不相同的七位數(shù)的個數(shù)是（）A.128B.252C.343D.1927 .百位數(shù)字不是1且各位數(shù)字互異的三位數(shù)的個數(shù)為（）A.576B.504C.720n n 8 .設(shè)n為正整數(shù)，則等于（）k 0 2kD.336A. 2n B. 2n 1nn 1C. n 2 D. n 2n9.設(shè)n為正整數(shù)，則k 0k1 n 3k的值是（）knnA. 2 B. 2nC. 2D.010.設(shè)n為正整數(shù)，則當(dāng)n 2時， k =（）k2 k 2nA.3n 1B.2n 1C.3D.11. 2xi6 ,3X2 X3 中3x1x2x32的系數(shù)是A.1440B.-1440C.0D.112.在1和106之間只由數(shù)字1 , 2或3構(gòu)成的整數(shù)個數(shù)為（）36 136 3A. -B. -C.7D.二213.在1和300之間的整數(shù)中能被3或5整除的整數(shù)共有（）個A.100B.120C.140D.16014.已知o是Fibonacci數(shù)列且21, f 834,則 f 10()A.89B.110C.144D.28815.遞推關(guān)系an3an14an 3的特征方程是A. X23xB.3xC. X33x2D.3x216.已知anQ1,2,2 時，an ()A. 3an2anB.3a n 12an 2C. 3an 12anD.3an 12an 217.遞推關(guān)系an2an11的解為a0A. an2nB. an1 2n 2C. an2nD. an18.設(shè) an5 2nn 0,1,2,ann 0的常生成函數(shù)是（）5A.1 2xB.一152x 2C.51 2xD. 5 12x 219.把15個相同的足球分給 4個人，使得每人至少分得3個足球，不同的分法共有（）種A.45B.36C.28D.2020.多重集S 2 a,4 b的5-排列數(shù)為（）A.521.部分?jǐn)?shù)為A.10B.103且沒有等號B.11C.15D.201的部分的15-分拆的個數(shù)為（）C.12D.1322.設(shè)n,k都是正整數(shù),Pk n表本部分?jǐn)?shù)為k的n-分拆的個數(shù)，則P6 11的值是（）A.6B.7C.8D.923.設(shè) AC是實數(shù)且對任意正整數(shù)n都有是（）A.9B.8C.7D.624.不定方程x1 2x22x317的正整數(shù)解的個數(shù)是t 2 5te 1 e ,則該數(shù)列的通項公式是（）A.26B.28C.30D.3225.已知數(shù)列an no的指數(shù)生成函數(shù)是Etn n n nA. an 765n 八n nB. an 765C. an7n 2 6n5nD. an7n、填空題1 .在1和2000之間能被6整除但不能被15整除的正整數(shù)共有 個2 .用紅、黃、藍(lán)、黑4種顏色去圖1 n棋盤，每個方格涂一種顏色，則使得被涂成紅色的方格數(shù)是奇數(shù)的涂色方法共有 種3 .已知遞歸推關(guān)系an3an 1 4an 2 12an 3 n 3的一個特征根為 2,則其通解為4 .把n n 3個人分到3個不同的房間，每個房間至少1人的分法數(shù)為 5 .棋盤的車多項式為個不同類的項。6 .由5個字母a,b,c,d,e作成的6次齊次式最多可以有n7.k 0k1 k28 .求由2個0, 3個1和3個2作成的八位數(shù)的個數(shù) 9 .含3個變元x, y, z的一個對稱多項式包含9個項，其中4項包含x,2項包含xyz ,1項是1 f 2 3 f 3 19常數(shù)項，則包含xy的項數(shù)為10 .已知小是門的3次多項式且f0 1 , f 111 .已g n,k表示把n元集劃分成 k個元素個數(shù)均不小于2的子集的不同方法數(shù)，則g n,2 =12 .部分?jǐn)?shù)為3且沒有等于k的部分的n-分拆數(shù)13 .把24顆糖分成5堆，每堆至少有3顆糖，則有 種分法三、計算題1 .在1000至9999之間有多少個數(shù)字不同的奇數(shù)？2、以3種不同的長度，8種不同的顏色和4種不同的直徑生產(chǎn)粉筆，試問總共 有多少種不同種類的粉筆？3、至多使用4位數(shù)字可以寫成多少個2進(jìn)制數(shù)！ （2進(jìn)制數(shù)只能用符號0或1）4、由字母表L=a,b,c,d,e中字母組成的不同字母且長度為 4的字符串有多少個？如果允許字母重復(fù)出現(xiàn)，則由L中字母組成的長度為3的字符串有多少個？5、從1, 2, 39中選取不同的數(shù)字且使5和6不相鄰的7位數(shù)有多少？6、已知平面上任3點不共線的25個點，它們能確定多少條直線？能確定多少個三角形？7、計算數(shù)字為1, 2, 3, 4, 5且滿足以下兩個性質(zhì)的4位數(shù)的個數(shù)：（a）數(shù)字 全不相同；（b）數(shù)為偶數(shù)8、正整數(shù)7715785有多少個不同的正因子（1除外）？9、50!中有多少個0在結(jié)尾處？10、比5400大并且只有下列性質(zhì)的數(shù)有多少？（a）數(shù)字全不相同；（b）不出現(xiàn)數(shù)字2和711 .將m=3761寫成階乘和的形式。12 .根據(jù)序數(shù)生成的排列（p）=（3214）,其序號是多少？13 .如果用序數(shù)法對5個文字排列編號，則序號為117的排列是多少？14 .設(shè)中介數(shù)序列為（120）,向它所對應(yīng)的4個文字的全排列是什么？15 .按字典序給出所有3個文字的全排列。16 .按遞歸生成算法，依次寫出所有的 4個文字的全排列。17 .根據(jù)鄰位互換生成算法，4個文字的排列4231的下一個排列是什不同的方案？18 .有5件不同的工作任務(wù)，由4個人去完成它們，每件工作只能由一個人完成，問有多少種方式完成所有這5件工作？19 .有紀(jì)念章4枚，紀(jì)念冊6本，分送給十位同學(xué)，問有多少種分法？如限制每 人得一件物品，則又有多少種分法？20 .寫出按次序產(chǎn)生的所有從1, 2, 3, 4, 5, 6中任取2個的組合。21 .給定一個n邊形，能畫出多少個三角形使得三角形的頂點為n邊形的頂點，三角形的邊為n邊形的對角線（不是邊）？22 .試問（x+y+z）的6次方中有多少不同的項？23 .如果沒有兩個相鄰的數(shù)在同一個集合里，由1,2,？。中的數(shù)可形成3個 數(shù)的集合有多少？24 .試列出重集2 a,1 - b,3 - c的所有3組合和4組合。25 .設(shè)Fn為fibonna序列，求出使Fn = n的所有的n。26 .試求從1到1000中,不能被4,5或6整除的個數(shù)？27 .計算12+22+n228 .設(shè)某地的街道把城市分割成矩形方格，每個方格叫它塊，某甲從家里出發(fā)上班，向東要走過7塊，向北要走過5塊，問某甲上班的路經(jīng)有多少條？29 .設(shè)n=2532731 14,試求能除盡數(shù)n的正整數(shù)的數(shù)目。30 .求(1+x4+x8) 10中x20項的系數(shù)。31 .試給出3個文字的對稱群注中的所有元素，并說出各個元素的格式。32 .有一 BIBD,已知 b=14,k=3,入=2,求 v 和 r。33 .將39寫成三ai i!(0 < ai < i)的形式。34 .8個人圍坐一圈，問有多少種不同的坐法？35 .求 C 10,1 2C 10,2 3C 10,310C 10,1036 .試給出兩個正交的7階拉丁方。37 .在3n+1個球中，有n個相同，求從這3n+1個球中選取n個的方案數(shù)。38 .用紅、黃兩種顏色為一個等邊三角形的三個頂點著色，問有多少種實質(zhì)不同 的著色方案？39 .在r,s,t,u,v,w,x,y,z的排列中，求y居x和z中間的排列數(shù)。40 .求1040和2030的公因數(shù)數(shù)目。41 .求1到1000中不被5和7整除，但被3整除的數(shù)的數(shù)目。42 .求 14 24 34n4 的和。43 .用母函數(shù)法求遞推關(guān)系an 6am 8烝2 0的解，已知a°=0,a1=1。44 .試求由a,b,c這3個文字組成的n位符號用中不出現(xiàn)aa圖像的符號用的數(shù)目。45 .26個英文小寫字母進(jìn)行排列，要求 x和y之間有5個字母的排列數(shù)。46 .8個盒子排成一列，5個有標(biāo)志的球放到盒子里，每個盒子最多放一個球，要 求空盒不相鄰，問有多少種排列方案？47 .有紅、黃、藍(lán)、白球各兩個，綠、紫、黑球各 3個，從中取出6個球，試問 有多少種不同的取法。48 .用b、r、g這三種顏色的5顆珠子鑲成的圓環(huán)，共有幾種不同的方案？49 .n個完全一樣的球放到r (n>r)個有標(biāo)志的盒中，無一空盒，試問有多少種 萬案？50 .假設(shè)某個凸n邊形的任意三條對角線不共點，試求這凸n邊形的對角線交于多少個點？51 .求Sn 1 2 3 2 3 4 n n 1 n 2從k個不同文字中取n個文字作允許重復(fù)的排列，但不允許一個文字連續(xù)出現(xiàn) 3次，求這樣的排列的數(shù)目。52 .求下圖中從A點出發(fā)到n點的路徑數(shù)。53 .n條直線將平面分成多少個區(qū)域？假設(shè)無三線共點，且兩兩相父54 .四位十進(jìn)制數(shù)a b c d ,試求滿足a+b+c+d=31的數(shù)的數(shù)目55 .兩名教師分別對6名學(xué)生面試，每位教師各負(fù)責(zé)一門課，每名學(xué)生面試時間 固定，6名學(xué)生面試時間定于下周一的第 1節(jié)至第6節(jié)課，兩門課的面試分 別在901和902兩個教室進(jìn)行。試問共有多少種面試的順序。56 .對正六角形的6個頂點用5種顏色進(jìn)行染色，試問有多少種不同的方案？旋 轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)使之重合的視為相同的方案。58 .生成矩陣10001 0 10100111G001011000010 1 1試求相應(yīng)的校驗矩陣H。59 .由m個0, n個1組成的n+m位符號用,其中n&m+1,試求不存在兩個1相鄰 的符號用的數(shù)目。60 .n個男人與n個女人沿一圓桌坐下，問兩個女人之間坐一個男人的方案數(shù)， 又m個女人n個男人，且m<n沿一圓桌坐下求無兩個女人并坐的方案數(shù)。61 .求由A,B,C,D組成的允許重復(fù)的排列中 AB至少出現(xiàn)一次的排列數(shù)目。62 .求滿足下列條件：X1 X2 X340, 6 X115,5 X220,10 X325 的整數(shù)解數(shù)目。63 .求不超過120的素數(shù)的數(shù)目。64 .試說明A群中各置換的不同格式及其個數(shù)。65 .已知生矩陣10000 110100101G001011000011 11求下列信息的碼字？(a) 1110 (b) 1000 (c) 0001 (d) 110166 .有n個不同的整數(shù)，從中取出兩組來，要求第 1組的最小數(shù)大于另一組的最 大數(shù)，有多少種取法？67 .設(shè)某組織有26名成員，要選一名主席，一名會計，一名秘書，且規(guī)定一人不 得擔(dān)任一個以上職務(wù)，問有多少種選法？68 .從整數(shù)1, 2,，100中選取兩個數(shù)。(1)使得它們的差等于7; (2)使得 它們的差小于或等于7,各有多少種選取方式？69 .有n個相同的紅球和m個相同的白球；那么這 m+n個球有多少種不同的排列 方式？70 .一個工廠里已裝配了 30輛汽車，可供選擇的設(shè)備是收音機、空調(diào)和白圈輪胎。 這30輛汽車中，15輛有收音機，8輛有空調(diào)，6輛是白圈輪胎，而這三種設(shè) 備都具有的汽車有3輛，試求這三種設(shè)備都不具備的汽車至少有多少輛？71 .數(shù)1, 2,，9的全排列中，求偶數(shù)在原來位置上，其余都不在原來位置上 的錯排數(shù)目。72 .在等于300的自然數(shù)中：(1)有多少個不能被3, 5和7整除的數(shù)？ ( 2)有 多少個能被3整除，但不能被5和7整除的數(shù)？73 .求下列數(shù)值函數(shù)的生成函數(shù)：(1) ar cr(r=0 , 1, 2,)，其中 C為實數(shù)。(2) ar 1rq , (r=0,1,2,)，其中 a為正整數(shù)。 r74 .求下列生成函數(shù)的數(shù)值函數(shù)：其中 Ax x2/5 6x x275 .用生成函數(shù)求下式之和：1?n 2?n nn.76 .一個人上樓梯，可以一步上一個臺階，也可以一步上兩個臺階，令an表示有n個臺階時的上樓方式數(shù)，寫出an的遞推關(guān)系，并求解之。77 .利用特征方程法解遞推關(guān)系：an an 1 9an 2 9an 3, n 3a00,a11,a2278 .求下列遞推關(guān)系的特解 an 3an 1 2an 2 2 n1 9.1)求小于10000的含1的正整數(shù)的個數(shù) 2)求小于10000的含0的正整數(shù)的個80 .在100名選手之間進(jìn)行淘汰賽(即一場的比賽結(jié)果，失敗者退出比賽),最后產(chǎn) 生一名冠軍，問要舉行幾場比賽？81 .計算1,n的無重不相鄰組合C n,r的計數(shù)問題82 .某保密裝置須同時使用若干把不同的鑰匙才能打開?，F(xiàn)有7人，每人持若干 鑰匙。須4人到場，所備鑰匙才能開鎖。問至少有多少把不同的鑰匙？ 每人至少持幾把鑰匙？83 .凸10邊形的任意三個對角線不共點，試求這凸10邊形的對角線交于多少點？又把所有對角線分割成多少段？84 .在5個0, 4個1組成的字符串中，出現(xiàn)01或10的總次數(shù)為4的，有多少個？85 .整數(shù)n拆分成1, 2, 3,，m的和，并允許重復(fù)，求其母函數(shù)。86 .某甲參加一種會議，會上有6位朋友，某甲和其中每人在會上各相遇 12次, 每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇1次，1人也沒有遇見的有87.給出下列等式的組合意義:5次，問某甲共參加了幾次會議?(a)(b)l,n k mlm l1m 288.將正整數(shù)10寫成3個非負(fù)整數(shù)n1,n2, %的和，要求n1 3,出4,% 6,有多少種不同的寫法？89 .計算母函數(shù)G x 1 2x/ 02的頭6項。1 3x x90 .紅、白、黑三色球各8個，現(xiàn)從中取出9個，要求3種顏色的球都有，問有 多少種不同取法？91 .求序歹!j c n,0 , c n,1 ,c n,2 ,1 nc n, n的母函數(shù)。92 .解遞歸關(guān)系 an an 20,a0 0,a1 293 .求下列表達(dá)式中求出as。的值a。ax50a50x94 .設(shè)a是擲兩個骰子時和為r的方式數(shù)，其中第一個骰子的點數(shù)為偶數(shù)，第個骰子的點數(shù)為奇數(shù)，求序列 a0，a1，a2的母函數(shù)。95 .有多少棵有n個頂點的二叉數(shù)？96 .求下式之和1 c n,1 /2 c n,2 /31 nc n,n / n 197 .展開多項式x1 x2 x3 498 .六個引擎分列兩排，要求引擎的點火的次序兩排交錯開來，試求從一特定引擎 開始點火有多少種方案。99 .試求n個完全一樣的骰子擲出多少種不同的方案？100 .寫出全部部分?jǐn)?shù)最小的19-完備分拆n n k101 .已知 f n 2 ，求 f n102 .求方程x1 2x2 4x3 17的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)。四、證明題1 .證明：1,2,n的全排列的最大逆序數(shù)是n(n-1)/2。試確定具有n(n-1)/2個逆 序的唯一排列。2 .證ncn 1,r r 1c n，r 1 .并給出組合意義.3 .n個完全一樣的球，放到r個有標(biāo)志的盒子，nr,要求無一空盒，試證其方 案數(shù)為cn 1，r 1.4 .試證一整數(shù)是另一個整數(shù)的平方的必要條件是除盡它的數(shù)目為奇數(shù).5.試證明：c0，m c1，mc n,m c n 1,m 17.證明：若F16 .證明：(C(n,0) 2+(C(n,1) 2+ - +(C(n,n) 2 = C(2n,n)F21, Fn Fn 1 Fn 2 (n>2),則 n1.5/2其中 a = (1+，5)/2, B=(1-，5) /28 . N個代表參加會議，試證其中至少有兩個人各自的朋友數(shù)相等。9 .證明：12 22n2 n n 1 2n 1 /61/2 。10 .證明：2n!/2n是整數(shù)11 .證明：在邊長為1的等邊三角形內(nèi)任取5點，試證至少有兩點的距離小于12.證明:11 n Fn 1 Fn10 Fn Fn 1其中 Fn 定義為：Fi F2 1, Fn Fn 1 Fn 213 .任取11個整數(shù)，求證其中至少有兩個數(shù)它們的差是10的倍數(shù)。14 .在邊長為1的正方形內(nèi)任取5點，試證其中至少有兩點，其間距離小于 衣/2,15 .若H是群G的子群，試證：|xH|=K,其中K=|H| , xCG16 .二維空間的點(x,y )的坐標(biāo)x和y都是整數(shù)的點稱為格點。任意5個格點的 集合A,試證A中至少存在兩個點，它們的中點也是格點。17 .證明：在由字母表0,1, 2生成的長度為n的字符串中，0出現(xiàn)偶數(shù)次的字 符串有(3n+1) /2個。c m, n c m n,02n c m,n18 .試證任意r個相鄰的正整數(shù)的連乘積(n+1) (n+2) - (n+r)必被r!除盡。19 .證明： c m,0 c m,n c m,1 c m 1, n 120 .證明 cn,1 2c n,2nc n, n n2n 121 .任取5個整數(shù)，試求其中必存在3個數(shù)，具和能被3整除。22 .若H是群G的子群，x和y是G的元素。試證xHC yH或為空集，或xH=yH.23 .令 S=1, 2,，n+1,n >2, T x, y,z S,x z, y z試證：T 12 22n2 C n 1,2 2C n 1,3。24 .證明：任何K個相繼的正整數(shù)之積，必是r的倍數(shù)，其中r=1 , 2,，Ko25 .求證：2n122n2 2nn 12 n2n n 1 o26.使用二項式定理證明nnn 2k,試推廣到任意實數(shù)r,求k 0nn kk r o 027 .證明 |A B C |A |B |C A B |A C B C |A B C28 .證明任何k個相繼正整數(shù)中，有一個必能被 k整除。29 .證明在小于或等于2n的任意n+1個不同的正整數(shù)中，必有兩個是互等的。用=£弓"30 .證任一正整數(shù)n可唯一地表成如下形式： 肉 ,0<ai<i,i =1,2,31 .對于給定白正整數(shù)n,證明當(dāng)二,早為奇數(shù)）工為偶數(shù)）匕時，Cn,k是最大值。32 .證明在由字母表0,1,2生成的長度為n的字符串中,0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有2個；33 .設(shè)有三個 7 位的二進(jìn)制數(shù)： a1a2a3a4a5a6a7, b1b2b3b4b5b6b7 , c1c2c3c4c5c6c7。試證存在整數(shù)i和j , 1 i j 7 ,使得下列之一必定成立，ai aj bi bj,ai aj g cj, bi bj g 5。34 .證明：在n階幻方中將每個數(shù)碼a換成n2 1 a ,所得的陣列仍是一個 n階幻方。（注：所謂幻方是指一個 n n方陣，其中的元素分別是1,2 n2,且每列的元素和均相等）35 .證明：把有n個元素的集合s劃分為k個有序集合的個數(shù)等于knk36 .試證明：1/1 x n 1 c n k 1,kxk,x 1 k 037 .證明：如果在邊長為1的等邊三角形內(nèi)任取10個點，則必有2個點，它們 的距離不大于1/3。測試題答案組合數(shù)學(xué)、選擇題1.D2.C3.A11.B12.C13.C4.C5.A6.D14.A 15.C 16.B7.A8.B9.C10.C17.D 18.A 19.D20.C21.C 22.B 23.D24.B 25.D、填空題1. 267,n n2. 4-c3 3n n 0,1,2,23. an g 2nc24. 3n 3 2n 32345. 1 7t 14t 8t t6. 2107. 08. 4209. 210. 2n3 5n2 3n 1n 1)11. 2 n 1n23 n k12.12213. 23三、計算題1、在1000至9999之間的數(shù)都是4位數(shù)。我們可以先選個位，再選千位，百位和十位。因為我們要的數(shù)是奇數(shù)，所以個位數(shù)字可以是1, 3, 5, 7, 9中的任何一個，即有 5種選擇。選定個位數(shù)之后，十位就只有8種選擇了。百位也只有 8種選擇，而十位則只有 7種選擇，因此應(yīng)用乘法原則，問題的答案是5X 8X 8X 7=2240種。2、在這個問題中，我們要計算的是組合數(shù)，因為粉筆的特性與上面三種數(shù)的順序無關(guān)，利 用乘法法則可知共有 3X 8X 4=96種不同種類的粉筆。3、因為2進(jìn)制數(shù)必須考慮其數(shù)字的次序，故要計算的是排列問題。有4種選擇要做，并且每種都可以獨立地選擇0或1,于是有2X 2X2X2=24=16種至多4位數(shù)字的2進(jìn)制數(shù)，它們分別是0 , 1, 10, 11, 100, 101, 111 , 1000, 1001, 1010, 1011 , 1100, 1101 , 1110, 11114、從5個字母中選取4個組成的字符串共有 p(5,4)=5 X4X3X 2=120種。如果允許字母重 復(fù)出現(xiàn)，則長度為 3的字符串共有5X5X 5=125種。5、可以這樣考慮：在 9個數(shù)字中不重復(fù)地選取7個作排列共有P 9,7種，其中出現(xiàn)5和6相鄰的排列數(shù)共有 2 6 P 7,5種，因為出現(xiàn)5和6相鄰的排列可看成是從 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9七個數(shù)中選5個排列后，將56或65插入到這5個數(shù)的6個間隔位置上(數(shù) 前、數(shù)后及兩個數(shù)字之間的間隔共 6個位置)，所以包含相鄰的 5和6的7位數(shù)共有2 6 P 7,5，于是所求數(shù)的個數(shù)為 P 9,72 6 P 7,5151200。6、因為任3點均不共線，所以25個點中每兩個點組成一條直線，每3個點了構(gòu)成一個三角形，所以共有 C 25,2300條直線和C 25,32300個三角形。7、因為所求的數(shù)為偶數(shù)，所以個位只有2種選擇：2或4。因為4位數(shù)字全不相同，所以乘余3位數(shù)只能是1, 2, 3, 4, 5中去掉用于個位數(shù)的數(shù)字之后的4個數(shù)字的3排列，可是共有2XP(4,3)=24個這樣的數(shù)。8、因為 77 1 57 8 5 34 5 2 7 3 11 ,所以共有 4 12 13 1111 119 個不同的正因子9、因為在1到50中共有10個數(shù)含有因子5而這10個數(shù)中又有2個包含有因子25。因此 50!中含有10+2=12個5因子，顯然50!中至少含有12個因子2,因為在1至U 50這50個數(shù)中有25個是偶數(shù)所以50!中含有12個因子10,即50!在結(jié)尾處有12個0。10、符合條件的數(shù)可分成以下幾類：(1) 8 位數(shù)：共有7XP(7,7)=35280 個(2) 7 位數(shù)：共有7XP(7,6)=35280 個(3) 6 位數(shù)：共有7XP(7,5)=17640 個(4) 5 位數(shù)：共有7XP(7,4)=5880 個(5) 4位數(shù)：8位數(shù)5的有3XP (7, 3) =630個8 位數(shù)=5,百位數(shù)4的有4X P (6, 2) =120個8 位數(shù)=5,百位數(shù)=4的有P (6, 2) =30個所以符合條件的數(shù)共有94860個11 . 3761 =5 . 6!+5!+4!+2 - 3!+2!+112 .因為和(p)=(3214)對應(yīng)的中介數(shù)是(021),所以(p)的序號為m=0- 3!+2 2!+1=5,即(p)是第5個排列13 .因為117=44!+3 3!+2!+1 ,則中介數(shù)為(4311),所以序號為117的5個文字的全排列為54231。14 .因為a1=0,所以2在1的右邊，a2=2，所以3在1和2的左邊,a3=1 ,所以4在2的前面且在3和1的后面，因此所對應(yīng)的排列為3142。15.123 , 132, 213, 231, 312, 32116 . 1234 1243 1423 41231324 1342 1432 41323124 3142 3412 43122134 2143 2413 42132314 2341 2431 42313214 3241 3421 432117 .排列4231的下一個排列是 4213。18 .因為5件工作中的每一件工作都可由4個人中的任一人完成，因此每件工作有4種分配方法，所以總共有 4X 4 X4X4X 4=1024種完成任務(wù)的方案。19 .因為沒有限制一個同學(xué)可得紀(jì)念章和紀(jì)念冊的個數(shù)，所以將4枚紀(jì)念章分給十個同學(xué)的方法有C(10+4-1,4 ) =C(13,4),將6本紀(jì)念冊分給十個同學(xué)的方法有C(10+6-1 , 6) =C(15,6),所以若有 C (13, 4)、C (15, 6)種方案。20 .如果限制每人得 1件物品，則共有 10! / (4! 6! ) 12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 5621 .因為n邊形的每個頂點有 n-3條對角線，要使另一邊也是對角線，則選中的兩條對角線不能相鄰，于是相當(dāng)于在n-4條對角線中選2條對角線作三角形的兩邊，另一條邊即為此二 對角線頂點的連線。所以共有 C(n-4,2)個這樣的三角形，有 n個頂點，共有n - c(n-4,2) 個三角形。但這里有重復(fù)，因為每一個滿足條件的三角形在三個頂點處重復(fù)了3次，所以真正不同的三角形只有 n c(n-4,2)/3. 例如，6邊形中可以找出6 c(2,2)/3=2 個這樣的三角 形。22 .共有 C (3+6-1,6 ) =C(8,6)=C(8,2)=28 項。23 .因為可以在1,2,18中任取3個的組合同在1,2,20中任取3個沒有相鄰的數(shù)組成的集合之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系，所以答案是0(18,3)=81624 . c,c,c,b,c,c,a,c,c,a,b,c,a,a,c,a,a,b,共 6 個 3 組合，a,c ,c,c,b,c,c,c,a,b,c,c,a,a,c,c,a,a,b,c共 5 個 4 組合。25 . F1 = 1, F 5 = 526 .因為能被4整除的有10000/4=2500,能被5整除的有1000/5=2000 ,能被6整除的有 10000/6=1666 ,能同時被4, 5整除的有10000/20=500 ,能同時被4,6整除的有10000/24=416 , 能同時被5, 6整除的有10000/30=333,能同時被4, 5, 6整除的有10000/120=83 ,所以符 合要求的有 10000- (2500+2000+1666) + (500+416+333) -83=5000 (個)27.因為 k2=2C(k,2)+C(k,1)=2xk(k1)/2+k= k 2所以 12+22+n2=2(C(1,2)+C(2,2)+C(n,2)+C(1,1)+C(2,1)+C(n,1)=2X C(n+1,3)+C(n+1,2)=2X(n+1)n(n 1)/(3 X2)+(n+1)n/2=n(n+1)(2n+1)/628. N=C(7+5,7)=C(7+5,5)=C(12,5)=792般情況 N=C(m+n,n)29. N=(1+5)(1+2)(1+3)(1+4)=36030.令x4=y,貝Ux8=y2,x20=y5,于是(1+y+y2)10 中y5項的系數(shù)N 即為(1+x 4+x8)10中x20項的系數(shù)，而 y5=y?y y y y=y y y y2=y - y2 - y2,于是N=C(10,5)+c(10,3)c(7,1)+c(10,1) c(9,2)=132631 S 3=(1)(2)(3),(23),(12),(13),(123),(132)(2)(3)的格式是3(23),(12),(13)的格式是(1) 1(2) 2(123),(132) 的格式是 132 因為 bk=vr , r(k-1)= 入(v-1),已知 b=14,k=3,入=2所以p4 X 3=vr即時Jr=42求得力=7r(3-1=2(v-1)2r=2(v-1)r=633. 39=4!+2 ?3!+2!+1!=24+12+2+134. N=7!=504035. 因為 C(n,1)+2C(n,2)+ +nC(n,n)=n? 2n-1所以 C(10,1)+2C(10,2)+ + 100(10,10)=10? 210-1=51201 2 32 3 43 4 54 5 65 6 76 7 17 1 24 5 65 6 76 7 17 1 21 2 32 3 43 4 57113253和74254662 3 44 5 66 7 11 2 33 4 55 6 77 1 25 6 77 1 22 3 44 5 66 7 11 2 33 4 517A+B=1B=1A+2B+C=17c=15A+3B+3C+D=98D=50A+4B+6C+4D+E=354E=60A+5B+10C+10D+5E+F=979F=24所以 Sn=C(n,1)+15C(n,2)+50C(n,3)+60C(n,4)+24C(n,5) =(n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/3043.解：特征函數(shù)為 x2-6x+8=0,x i=2,x 2=4,所以可設(shè)an=A?2n+B?(，于是 a 0=0=A+B解得 A=-1/2aL i=1=2A+4BB=1/2即 an=(4 n-2 n)/244.解：設(shè)an為n位符號串中不出現(xiàn) aa圖像的符號串的個數(shù)，貝U an=2an-i +23n-2,即 a n2an-i2an-2 = 0 , ai=3,a 2=8,由此知 a 0=1 o特征方程為 x2-2x-2=0, x i=i+a/3 , x 2=i-a/3 ,可設(shè)an=A(i + v/3)n+B(i- V3)n,a 0 = i = A+BaL i = 3 = (i+，3)A+(i-，3)B解此方程并得A =( 3 + 2V3)/6B=( l_ 3 -2，3)/6an=( 3 + 2v73)(1+，3) n+( 3 -2 ,3)(1-，3) n/645.解：M=2?20! ?5! ?C(24,5)=40 ?24!46.解：如圖0 0 0 0 0 ,3個空盒可插在兩個球之間，共有C(6,3)=20種方案,5個有標(biāo)志 的球共有5!種排序，所以總計有M=20?5!=2400種排列方案。47.解：母函數(shù)為 G(x)= (1+x+x 2)4(1+x+x 2+x3)3,其中x6的系數(shù)為 M=1?10+4?12+10?12+16?10+19?6+16?3+10?1=510,因為 G(x)= (1+4x+10x 2+16x3+19x4+16x5+10x 6+4x7+x8) X48.解：運動群 G=(1)(2)(3)(4)(5),(12 3 4 5),(1 3 5 2 4),(14 2 5 3), (1 5 4 3 2 ),(1)(25)(34),(2)(13)(45),(3)(24)(15),(4)(35)(12),(5)(14)(23)= p1,p 2,p 3,p 4,p 5,p 6,p 7,p 8,p 9,p 1。c( p i)=5, c(p2)=c(p3)=c(p4)=c(p5)=1, c(p6)=c(p7)=c(p 8)= c(p 9)= c(p10)=3, m=3,|G|=10,據(jù) P?lya 定理，M=(1/|G|) ?(mc(p1)+ mc(p2) + mc(p3)+。+ mc(p10)=(1/10)(35+4?31+5?33 =(1/10) (243+12+45) =30。49. C ( n - 1 , r 1 )將n個球排成一行， 兩球之間有一間隔， 共有n 1個間隔。 在此n 1個間隔中任取 r 1個，將n個球分成r段，將第1段的球(其中至少有1球)放入第1個盒子，所 以共有C (n 1, r 1)種方案。50. C ( n , 4 )凸n邊形有n個頂點， 任取其中4個頂點可以組成一個凸4邊形，該4邊形的兩條對角線有一個交點，所以凸n邊形的對角線交于C (n, 4)個交點(根據(jù)假設(shè)，沒有3條 對角線相交于一點)。51. Sn = n (n+1) (n + 2) (n + 3)/4Sn=l - 2 ,3 + 2 , 3 , 4 +. + n (n+1) (n + 2)= 3!(l2-3/3!+234/3!+.+n(n+l)(n + 2)/3!)= 3!(C(3,3)+C(4,3)+.+C(n + 2,3)=3! (C(3, 0)+C(4, 1)+.+C(n + 2, n 1)=3 ! C (n + 3 , 4)=n (n+1) (n + 2) (n + 3)/452. an=(k/(2(k 1)+k/(2-sqrt( (k l)(k + 3)(k 1 + s q r t (k 1) (k + 3) ) /2) n+ (k/(2(k 1)k/(2-sqrt( (k 1) (k + 3)-(k 1 s q r t (k 1) (k + 3) )/2) n假設(shè)從k (k>l)個不同文字取出n個(可以重復(fù))作排列，但不允許一個文字連續(xù) 出現(xiàn)3次的排列所組成的集合為An,則所求排列數(shù)a n= | A n | o將A0中的字符串按最后一個文字可以分成兩類：一類是最后一個文字同其前一個文字不相同的那些字符串，共有（k 1） a n i個（最后一位有k 1種選擇，而前n 1位是沒有一個文字連續(xù)出現(xiàn)3次的字符串），另一類是最后兩個文字相同，但與倒數(shù)第3個文字不相同 的字符串，共有（k 1 ） a 2個，所以有遞推關(guān)系n - 2(k-1)(k+ 1a n ( k 1 ) a 而 ai=k, a 2=k，遞推關(guān)系的特征方程為2,.x (k 一 ) x ( k 一 )=0其根為:a 1 = (k1 + sqrt ( (kl) (k + 3) )/2a 2 = (kl sqrt ( (kl) (k + 3) )/2于是知an = Aiain + A2a2n由于a i = k , a 2 = k 2 ,由遞推關(guān)系知a o=k/ (k l),所以ao=k/(kl)=A iai° + A2a2°A = Ai+A2ai=k=A iai1+A2a21=Ai (k 1 + sqrt (kl) (k + 3) )/2+ A2(k-l-sqrt (kl) (k + 3) )/2解得Ai=(k/(2 (k l) A 2 = (k/ (2 (k l) 所以an= (k/ (2 (k l)+k/ (2)k/ (2)+k/ (2sqrt ( (k l)sqrt ( (k l),sqrt ( (k l)(k + 3)(k + 3)(k + 3)(k- 1 + sqrt (kl)(k + 3) )/2)+ (k/ (2 (kl) k/ (2 - sqrt(kl) (k + 3)(k 一 1 一 s qD (k + 3) ) /2)53. f (n) = ( ( 1+，5 )/2)n+1- (1-V5) /2)n+1) /V5假設(shè)從A (編號為0 )到編號為 i的頂點有f (i )條路徑，則f ( 1 )= 1, f (2)=2 ,當(dāng) i >2 時，f (i ) =f (i-1) +f (i 2),由此知 f ( 0 ) = f(A)= 1。當(dāng)i=n 時，f (n) = f (n-1 ) +f (n 2)，即 f (n) -f (n-1 ) -f (n 2) = 0。其特 征方程為：x? x 1=0,它的兩個根分別為：a 1=(1+，5)/2, a 2=(1，5)/2。于是知 f (n)=Aiain+A20C2n,根據(jù)f (0) =1= A + A2f(l)=l=A(l+，5)/2+ A2(l -V5 )/2, 解得A1= ( 1 +，5 ) / (2"5), A2= ( 1 -V5 ) / ( 2)所以,f (n) = ( (1 +，5) /2)"- (1-，5 ) /2)J /，5 = F ( n+ 1)其中F (n)為第n個Fibonacci數(shù)。54. an= (n2+n+2) /2設(shè)n條符合條件的直線將平面分成an個區(qū)域，那么n- 1條直線可將平面分成an1個區(qū)域，而第n條直線與前n-1條直線均相交，有 n1個交點，因此第 n條直線被分成n 段，而每一段對應(yīng)一個新增的區(qū)域，所以有an=ani+n,即anani = n。于是an 1 an 2 = n 1 , 由此得 an 2 an 1 + an- 2=1, 同牛羊an 1 2 an 2 + an 3=1, 故得an 3 an-1 + 3 an- 2 - an- 3 = 0,其特征方程為 x3 3 x?+ 3 x 1 = 0 ,解此方程 得 a = a 1 = a 2 = a 3=1,所以 an = (Ao+Ain + A2n2) a n=Ao+Ain+ A2n2 ,而a0= 1 = Aoai = 2 = Ao+ Ai + A2a2 = 4 = Ao+ 2 A + 4 A2解得Ao=1A 1=1/2A 2=1/2由此知an= (n+n+2) / 255、56因為 X1+X2+X3+X4= 31,Xi>0 (i = 1 , 2,3, 4 )的整數(shù)解共有C (4+31-1,31)=C (34, 3 ) = 34 33 32/6 = 5984 (個)。再考慮X1+X2+X3+X4= 31,Xi> 1 0 (i = 1 , 2,3, 4 )的整數(shù)解的個數(shù)。令N為全體非負(fù)整數(shù)解，則|Nl| = 5984。令A(yù)(i = 1 , 2 , 3 , 4 )為其中Xi> 1 0的解集合。則| A |即為(Xd 10) + X2+X3 + X4 = 31,也就是X1 + x2+x3+x4 = 21的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)。所以，| A | = C(4 +21- 1, 21)= C (24, 3) = 24 23 22/6 =2024。同理可知I A I = IA3 I= I A4I = IA1 I = 2024。類似地，I A n A | = C (4+11-1 ,11 ) = C (14, 3) = 14 13 12/6 = 364 ( 1 & i<j 0 4), |AnAnA|=C (4+11, 1)=C (4, 1)=4(1W i<j<k W4),而I Ai n a2nA3nA4 1 = o。根據(jù)容斥原理，a+ b+c + d=31, 0 < a, b, c, dw 9的整數(shù)解個數(shù)等于I ? i n? 2 n? 3 n? 4 | =I Nl|- 4 1Al1 + C (4,2)1Al AA21 C (4,3)|Ai PA2nA3| 十I a n a2nA3 n a-= 5984-4 - 2024+6 - 3644 - 4+ 0=5656.190800假設(shè)6個學(xué)生參加第1位教師的面試的順序為1、2、3、4、5、6 (即對第1個面 試的學(xué)生編號1 , ,對第6個面試的學(xué)生編號6)，那么，這6個學(xué)生參加第2位教 師的面試的順序必定是1、2、3、4、5、6的一個錯排。不然，就有至少一個學(xué)生 要同時參加兩為教師的面試。于是面試方案總數(shù)為 6!D6=6!6! (1-1+ 1/2! 1/3! +1/4! - 1/5! +1/6! ) = 6!256 =19080057. 1505對應(yīng)于旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)的運動群的置換為：p 1 (不動)(1) (2) (3) (4) (5) (6)格式為(1) 6p260o(123456)格式為（6 ）p3 （逆時針旋轉(zhuǎn)120。）( 135) (246 )2格式為（3）p4 （逆時針旋轉(zhuǎn)180。）( 14) (25) (36)格式為（2） 3p5 （逆時針旋轉(zhuǎn)240。）(153) (264)格式為（3） 2p6 （逆時針旋轉(zhuǎn)300o）(654321)格式為（6 ）p7 （沿14軸翻轉(zhuǎn)）(1) (4) (26) (35)格式為（1）2（2） 2p8 （沿25軸翻轉(zhuǎn)）(2) (5) (13) (46)格式為（1）2（2） 2p9 （沿36軸翻轉(zhuǎn)）(3) (6) (15) (24)格式為（1）2（2） 2p10 （?g12邊54邊中線翻轉(zhuǎn)）( 12) (36) (45)格式為（2）3p11 （沿23邊56邊中線翻轉(zhuǎn)）( 14) (23) (56)格式為（2 ）p12 （?目16邊34邊中線翻轉(zhuǎn)）( 16) (25) (34)格式為（2 ）所以，總方案數(shù)為l = ( 56 + 2 51 + 2 52+ 4 53 + 3 - 54) /12 = 18060/12 = 150558.1110 10 00 1110 10110 1因為1 0 0 0 1 0 1I 3 1A4 30 10 0 11 1G0 0 10 1100 0 0 1 0 1 1 4 71110AT 0111HAT |I3 3759. C （ m 1 , n）將m個。排成一行，兩個。之間有一間隔，共有m+1 （>n）個間隔（包括頭尾處的 間隔）。在此m+ 1個間隔中任取n個插入1 ,則所得符號串滿足要求，所以共有 C （m+1, n）個這樣的符號串。60. （n l） ! n!, （n l） ! n!/ （nm）!先讓n個男人圍坐一圈，共有（n 1 ）!種坐法。對應(yīng)于每一種坐法，有 n個間隔，將n個女人排成一行插入這 n個間隔中，有n!種方案，所以共有（n1） !n!種不同的 坐法。若只有m （m<rj）個女人，則在 n個間隔中任取 m個排列，將 m個女人插入這n個間隔 中，有P （n, m） = n!/ （n-m） !種方案，所以共有（n-1 ） !n!/ （n-m） !種不同的坐 法。61. a n = 4n-v/3 （2+，3） n+1/6+，3 （ 2-，3） n+1/6設(shè)長度為n的由A B、C、D組成的允許重復(fù)的排列中AB至少出現(xiàn)一次的排列所組成的集合為S,又設(shè)a n= | Sn | o而AB 一次也不出現(xiàn)的排列所組成的集合為R,又設(shè)b=I Bn I。可將Sn中的所有排列按 AB出現(xiàn)的位置分為兩類：一類是在前 n-1位中均 未出現(xiàn)AB,它僅出現(xiàn)在最末兩位， 則這種排列共有bn-2個。另一類是在前n-1位中已出 現(xiàn)AB,而最后一位可以是 A、B、C D中的任一個，所以這類排列共有 4an-1個，于是知a n = 4an-1 +b n-2 ,而由此知于是得n = 4an-1 +4a n+bn=4n,即 an-2 + bn-2=4n-2 ,也就是 bn-2=4n-2 -a-a n-2,即 a n-4a n-1 +a n -2=4 , 推知 4( a n -1 -4a n-2 +a n-3)=4a i = 4,n-8a n-1 +17a n-2-4an-3=0,其特征方程為 x3-8x2+17x-4=0,解此方程得a 2=2+，3, a 3 = 2-，3,所以可設(shè) a n = Ai a J+A2 a 2“+A3 a 3”，已知 a 1=0,a2 =1 ,由此推知ac=0,所以有ac=0= A1+A2+A3a1=0= 4Ai+ (2+，3) A2+ (2-，3) Aa2=1= 16A1+ (7+4,3) A2+ (7-4,3) A化簡得A i+A2+A