高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.4 正態(tài)分布課件 新人教A版選修2-3.ppt

2 4正態(tài)分布 自主學(xué)習(xí)新知突破 1 了解正態(tài)曲線和正態(tài)分布的概念 2 認(rèn)識正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義 3 會根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求隨機變量在某一區(qū)間范圍內(nèi)的概率 200個產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖 若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小 那么頻率分布直方圖的頂邊縮小乃至形成一條光滑的曲線 我們稱此曲線為總體密度曲線 問題 你知道正態(tài)曲線的函數(shù)解析式嗎 正態(tài)曲線 隨機變量X落在區(qū)間 a b 的概率為P a X b 即由正態(tài)曲線 過點 a 0 和點 b 0 的兩條x軸的垂線 及x軸所圍成的平面圖形的面積 就是X落在區(qū)間 a b 的概率的近似值 如圖 如果對于任何實數(shù)a b a b 隨機變量X滿足P a X b 則稱隨機變量X服從正態(tài)分布 正態(tài)分布完全由參數(shù) 和 確定 因此正態(tài)分布常記作 如果隨機變量X服從正態(tài)分布 則記為 正態(tài)分布 N 2 X N 2 正態(tài)曲線的特點 上方 不相交 x x 4 曲線與x軸之間的面積為 5 當(dāng) 一定時 曲線的位置由 確定 曲線隨著 的變化而沿x軸平移 6 當(dāng) 一定時 曲線的形狀由 確定 曲線越 瘦高 表示總體的分布越集中 曲線越 矮胖 表示總體的分布越分散 1 越小 越大 對參數(shù) 的理解 1 正態(tài)分布由參數(shù) 唯一確定 因此正態(tài)分布常記作N 2 2 參數(shù) 是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù) 可以用樣本的均值去估計 是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù) 可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計 3 原則 正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率P X P 2 X 2 P 3 X 3 0 6826 0 9544 0 9974 解析 由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知 總體的均值 10 方差 2 4 即 2 答案 B 4 設(shè)隨機變量X N 0 1 求P X 0 P 2 X 2 解析 對稱軸X 0 故P X 0 0 5 P 2 X 2 P 0 2 1 X 0 2 1 0 9544 合作探究課堂互動 正態(tài)曲線的方程及特征 如圖所示 是一個正態(tài)曲線 試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式 求出總體隨機變量的期望和方差 利用正態(tài)分布的對稱性求概率 設(shè)X N 1 22 試求 1 P 1 X 3 2 P 3 X 5 3 P X 5 思路點撥 首先確定 1 2 然后根據(jù)三個特殊區(qū)間上的概率值及正態(tài)曲線的特點求解 規(guī)律方法 求在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率的方法 1 利用X落在區(qū)間 2 2 3 3 內(nèi)的概率分別是0 6826 0 9544 0 9974求解 2 充分利用正態(tài)曲線的對稱性及面積為1的性質(zhì)求解 熟記正態(tài)曲線關(guān)于直線x 對稱 從而在關(guān)于x 對稱的區(qū)間上概率相等 P X a 1 P X a P X a P X a 特別提醒 在本節(jié)中 由于涉及到離散型隨機變量的密度曲線 我們在解題時與曲線的圖象巧妙結(jié)合 抓住曲線的對稱特征 會給解題帶來很大的方便 2 1 已知隨機變量X服從正態(tài)分布N 3 1 且P 2 X 4 0 6826 則P X 4 等于 A 0 1588B 0 1587C 0 1586D 0 1585 2 設(shè)隨機變量 服從正態(tài)分布N 2 9 若P c 1 P c 1 則c等于 A 1B 2C 3D 4 2 N 2 9 P c 1 P c 1 P c 1 3 c c 1 c 2 答案 1 B 2 B 正態(tài)分布的實際應(yīng)用 某工廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X服從正態(tài)分布N 4 0 52 質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000個零件中隨機抽查一件 測得它的外直徑為5 7 試判斷該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格 思路點撥 解此題一定要靈活把握3 原則 將所求問題向P X P 2 X 2 P 3 X 3 進行轉(zhuǎn)化 然后利用特定值求出相應(yīng)概率 同時要充分利用曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質(zhì) 解析 由于X服從正態(tài)分布N 4 0 52 由正態(tài)分布性質(zhì)可知 正態(tài)分布N 4 0 52 在 4 3 0 5 4 3 0 5 之外的概率只有0 0026 而5 7 2 5 5 5 這說明在一次試驗中 出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件 所以可以認(rèn)為該批零件是不合格的 規(guī)律方法 求正態(tài)變量X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法 1 根據(jù)題目中給出的條件確定 的值 2 將待求問題向 2 2 3 3 這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化 3 利用上述區(qū)間求出相應(yīng)的概率 3 某年級的一次信息技術(shù)測驗成績近似服從正態(tài)分布N 70 102 該年級有2000名學(xué)生 如果規(guī)定低于60分為不及格 求成績不及格的學(xué)生約有多少人 解析 設(shè)學(xué)生的得分為隨機變量X X N 70 102 則 70 10 成績在60 80間的學(xué)生的概率約為 P 70 10 X 70 10 0 6826 隨機變量 服從正態(tài)分布N 0 1 如果P 1 0 8413 求P 1 0 錯解 P 1 0 8413 P 1 0 0 1587 提示 1 求解時 不注意結(jié)合圖形對稱性 錯解為P 1 0 1 P 1 0 1587 2 針對 0的正態(tài)分布 求某區(qū)間上的取值概率時常利用如下兩個公式 1 P X x0 1 P X x0 2 P a X b P X b P X a 正解 如圖所示 因為P 1 0 8413 所以P 1 1 0 8413 0 1587 所以P 1 0 1587 所以P 1 0 0 5 0 1587 0 3413