2022年高考數(shù)學一輪復習專題 專題47 數(shù)列綜合提升檢測題

專題47：數(shù)列綜合提升檢測題（解析版）一、單選題1 .已知等差數(shù)列q的前"項和為S“，且滿足+%=3%，§3=24,則下列結(jié)論正確的是（）A. 5.有最大值32B. 5.有最小值10121C. S”有最大值上D. 5.有最大值304'【答案】D【分析】由已知條件求出等差數(shù)列4的首項和公差，從而得到等差數(shù)列a,的前n項和S“的 解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】,、（2a, +4d-3（a. +3d）解：設等差數(shù)列4的首項為，公差為d.由題意得：。解4=1° 一n（n ,、,得 與,所以S” = x 10hx（2）= -+11.因為eN* ,d = -2"2 v 7所以當 =5或6時，S“取最大值，最大值為30.故選：D.【點睛】本題考杳等差數(shù)列前"項和的最值，考查學生的計算能力，屬于基礎題.2 .已知數(shù)列，1,百，加,V7 J2-1，.»貝！I36是它的（）.A.第22項B.第23項C.第24項D.第28項【答案】B【分析】將3石改寫成J汨1的形式，即可確定它的項數(shù)【詳解】因為題中數(shù)列的第項為Ja斤，而 3>/5 = >/45 = 5/2 x 23 1 >所以3石是題中數(shù)列的第23項.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列項數(shù)的確定，屬于基礎題.3 .在等差數(shù)列僅“中，q=2,公差d = l,則/ =A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得答案.【詳解】% = q + 2d = 2 + 2xl = 4.故選：C.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式的應用，屬于基礎題.4 .在等差數(shù)列僅“中，若陽+ 4+4+4 + % = 25,則/+4=（）A. 5B. 8C. 9D. 10【答案】D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得% +。7 = 2a5，4 +。6 = 2%，代入條件可求出a5，再通過a2 +% =2%可得答案.【詳解】解：'.'Oy + a-j = 2a5,a4 +a6 = 2a5,：.。3 +。5 +。6 + % = 5a5 = 25 ,= 5 ,/.生 + % = 2a5 =1。故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應用，是基礎題.5 .已知為遞增等比數(shù)列，4，;為構(gòu)成等差數(shù)列，則苦言=()127D- iA. 一或上 88【答案】A 【分析】2設等比數(shù)列凡的公比為4,結(jié)合題設條件求得公比4= 2或q =分類討論，即可 求解.【詳解】 設等比數(shù)列,的公比為必3,33)因為4，構(gòu)成等差數(shù)列，可得%+14=2%,即aq+廣聞3=24，2整理得 3d84 + 4 = 0,(4 2)(34 - 2) = 0,解得= 2 或4=§,當4= 2時,可得言4觀1 + /) =1=1494(1 + /)一盛；。聞(1 + /) _ 1 _ 27q/Q + qZ) /8故選：A.6 .已知數(shù)列4滿足。“,尸4=以,4為常數(shù))，且4 =4,則%的最大值為( )A. 18B. 12C. 1()D. 8【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義、通項公式計算即可.【詳解】 由aj滿足。“+1 -4, = d得數(shù)列4,為等差數(shù)列,由4 =4得4% =(4-2d)(4 + d)= 2(2-d)(4+ d) =-2(rf +1)2 +18 ,當d = -l時，的最大值為18.In + 3故選：A7 .若兩個等差數(shù)列4和"的前項和分別是s“，T“,已知( )21114A. -B. C. 7D.3 23【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)即可得出.【詳解】由已知得11(4+41)4 _ 2a6 _ 4 + 4 _2_ S, ( _ 7 x 11 _ 77 _ 11b、+b、= "(4+%)2故選：B.【點睛】等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活應用是解決此即的關鍵，等差數(shù)列是比較重要的一類數(shù)列，也是 高考中考查的重點內(nèi)容.8 .在等比數(shù)列4中，4+%+/+4=111(4+02+生)若q >1,則()A. 4<。2B. a2 <a3C. a3 < a4D. ax <a4【答案】B【分析】根據(jù)q的取值分類討論，得出q的范圍后判斷各選項.【詳解】當q>0時，4+/+q >q+4+% >ln(4+%+/)，不滿足題意：當q<-l時，等式左邊<0,4+4+4 >4，所以，等式右邊= 111( +«2+o,)>lna, >0,不滿足題意，所以，-1<g<0,則僅中奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負.故選B.9 .在數(shù)列,中，已知4=1, an+l =2an + ,則?！?()A. 2'iB. 2" -IC. nD. 2n-l【答案】B【分析】構(gòu)造數(shù)列q, +1為等比數(shù)列，求得其通項公式，進而可得an.【詳解】由 % = 2a“ +1 ,得,+1 +1 = 2q, + 2 = 2（+1）,故數(shù)列4+1為等比數(shù)列，首項為q+ 1 = 2,公比為2，所以勺+1 = 2", an=T-,故選：B.10 .已知數(shù)列4滿足q =2,+a“ =3a“_若7； = qa2a3，當（10時，的最小值為（）A. 3B. 5C. 6D. 7【答案】C【分析】1 1 1 1 1將已知遞推關系式變形可得7；=；，由此可知數(shù)列為等個數(shù)列，1由等差數(shù)列通項公式可取得7 ,進而得到an .由T = 4。,生%可上下相消求得 an-lTn,結(jié)合eN*解不等式可求得的最小值.【詳解】3?！盻1 1由+ 4, = 3a,1 -1 得：a = ,fln_1 = 3_1 = 2 = 2(5t；1-l) 加 + 1q_|+11 _ % +1 _ * T + 2 _ 11111 一+ -,即=-4T 2(«n-i-1)2(%-1) an_j數(shù)列，-1是以;=1為首項,一1融公差的等差數(shù)列,-1 2' 2-12則472 + 3 + 11 1 1/ + 1=1+ (72-1) =。-122/7 十2 n + 3 _ (« + 2)(h + 3) -X=，以上各式相加得-= 2(1-()，：1 120201010,4 5 6.7；/=6Z1a2-a,l=-x-x-x.x由(>10 得：(" + 2)( + 3) > I。, 乂 wN”,.,.N6 且 eN”， 6二的最小值為6.故選：c.【點睛】關鍵點點造：本題考查數(shù)列中的不等式的求解問題，解題關鍵是能夠根據(jù)已知的遞推關系式，構(gòu)造出全新的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求得通項后，即可確定4.11.已知數(shù)列數(shù)"滿足4 =-；，- +q, =(_：、,；)，eN*，貝 1%020 =()A. 2020B. 2019C. 1010D. 1009【答案】C【分析】,1、211 、化簡式子可得(T)(一十)= 7； = 2(),然后進行歸納可得當n = 2k- an 4Hd ( + 1) n M + lz 1 1、 1 1、時，-( + )= 2(tt-最后使用累加法可得結(jié)果.alk_x a2k 2k -1 2k【詳解】.a + =一 2凡+陷.“ +q=2 2 "" " (-1)"(2+) , +；(-1)(+) = 2(-二),4 A- ( + 1) n + 1，當 =1 時，一(L+ ') = 2x(l-4)，4 42當九=2時，(+ )= 2xd-1),a2 a32 3z 1 1 、 /1、當 =3時，)= 2x(z-t),03 a43 4當” =2左一1 時，+ ) = 2('“2020 = 1 0 1 °故選:C.【點睛】關鍵點點睛：找到當 =2人一1時，-（ + ） = 2（-是解決本題的關鍵. 024 T %a2k I 2k12 .我國天文學和數(shù)學著作周髀算經(jīng)中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的懸 長損益相同（皆是按照日影測定時刻的儀器，號長即所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣 及智長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣遇長減少或增加的量相同，周而復始.已知每年冬 至的唇長為一丈三尺五寸，夏至的唇長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸）， 則下列說法不正確的是（）春分/雨水o號明谷雨/立春端二立夏/大寒300,160小滿、小寒；芒種V冬至27。90夏至A大m.N臥小轉(zhuǎn)、小雪2401里|； 120大暑/立冬2.0 5。立秋/、霜降寒需180白再處暑/秋A.春分的辱長與秋分的辱長相同B.相鄰兩個節(jié)氣署長減少或增加的量為一尺C.立冬的署長為一丈D.立春的懸長與立秋的署長之和為十五尺【答案】C【分析】根據(jù)題意，設夏至到冬至每個節(jié)氣的林長（單位：寸）構(gòu)成的數(shù)列為a,冬至到夏至每個節(jié)氣的注K （單位：寸）構(gòu)成的數(shù)列為，則由題知數(shù)列”,是等不數(shù)列，且卬=15,43=135,數(shù)列"是等差數(shù)列，且4=135,%= 15,再根據(jù)題意依 次討論各選項即可得答案.【詳解】設夏至到冬至每個節(jié)氣的孱長（單位：寸）構(gòu)成的數(shù)列為4，由題可知數(shù)列4是等差數(shù)列，且q = 15,陽= 135,設數(shù)列?！暗墓顬閐，則135 = 15 + 12d,解得d = 10； 設冬至到夏至每個節(jié)氣的號長(單位：寸)構(gòu)成的數(shù)列為2,同理可知，數(shù)列是等差數(shù)列，且4=135,九=15,數(shù)列"的公差才=-10, 故相鄰兩個節(jié)氣辱長減少或增加的量為一尺，故選項B正確.因為春分的辱氏為2 =135 + 6x(-10) = 75,秋分的號長為 =15 + 6x10 = 75,所以A 正確.因為立冬的號長為 =15 + 9x10= 105,所以立冬的卷長為一丈五寸，C不正確.因為立春的身長為=135 + 3x(-10) = 105,立秋的唇長為4 =15 + 3x10 = 45,所以"+4=150,所以立春的暑長與立秋的卷長之和為十五尺，D正確.故選:C.【點睛】本題結(jié)合數(shù)學文化，考查等差數(shù)列的應用，解題關鍵在于看懂題意，進行數(shù)學建模，使 得二十四節(jié)氣的曾長變化形成兩個等差數(shù)列，即結(jié)合等差數(shù)列項的計算突破難點，是中 檔題.二、填空題13 .設是首項為2的等比數(shù)列，s是其前項和.若%4+%=0,則$6 =-21 【答案】16【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.【詳解】 設等比數(shù)列為的公比為q.則4d443 + 4夕4=0 將弓=2代入得2° + 1=0,得4 = 一4（1-力 2（1-石）_21i-q21故答案為：1614 .已知數(shù)列%是公比大于1的等比數(shù)列，其前項和為S“，且q,4是方程/一5+ 4 = 0的兩根，則$3=.【答案】7【分析】 根據(jù)一元二次方程求生和心，再求夕，最后代入等比數(shù)列的前項和求S?.【詳解】山條件可知(xl)(x4) =。，x = l或x = 4,因為數(shù)列q是公比大于I的等比數(shù)列，所以4=1，%=4,則 d=£ = 4,則 4= 2,4(1 -/)1一4_ 1-23= i2故答案為：715 .已知數(shù)列,的前項和為s“，4=1,且對任意的 eN*，都有, n4"=log2_7 + ann + l ,，則 s.出用=-a“+l°g2n【答案】5 【分析】 根據(jù)已知的遞推公式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】, n。2" =l0g2- + 4n + l. + 2a2n+ = -a + log2 na2n +%+l = l°g 2n ,n+2 ,-+ log2 = log272 4-2 + l S()i =q +(& +/)+(% +%)+(4)+%)31；故答案為：5=1 + log216 = 5.16 .已知數(shù)列4的前項和為S“，且S”=-a”-2.若存在正整數(shù)，使得不等式nan - 6a, + 2 -12 >-(2nV - m)成立，貝按數(shù)m的取值范圍是.64【答案】:,1【分析】先求為通項公式，再轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，構(gòu)造新數(shù)列求最值.【詳解】由 S”=-a“-2，HP an + Sn = -2n ，可得。/| + S“+| =-2-2 .由一可得 a“+i an + ag = -2 ,即 an+I + 2 = g(a + 2).由 q+S1=-2,可得力=-1,所以 q+2 = 1,所以數(shù)列6, + 2是首項為1，公比為g的等比數(shù)列，所以?！?2 = 擊，即”“二擊一2，所以 nan (Mn + 2“ - 12 = ( - 6)(an + 2) = 2“_1 .設/(")=愛，則/(" + 1)-/()=展-第=旨，當 7-">0,即 0<<7時./()遞增；當7<0，即>7時，/()遞減，故/()的最大值為7) = /(8)=2.若存在正整數(shù)，使得不等式q,-6a,+2-12N(2病-成立，64則(2ah2 -rn)< nan - 6an + 2 - 12)1mx,64所以 77(2/w2 ni)< , Up 2m2 /h 1 < 0 » 解得一下 W m W1,64642故實數(shù)m的取值范圍為故答案為：,1.2【點睛】方法點睛：數(shù)列中不等式恒成立問題，常通過變量分離，構(gòu)造新數(shù)列，判斷數(shù)列的單調(diào)性，確定其最值.三、解答題17 .已知數(shù)列4是等差數(shù)列，且 =2, 4+生+%=12.(1)求數(shù)列4的通項公式；(2)令 =(加廣,求數(shù)列也的前10項和.【答案】(1)4 =2； (2) 2046【分析】(1)利用等差中項可知3a尸12即a?=4,進而可得公差,計算即得結(jié)論.(2)寫出數(shù)列 b“的通項公式，得到bj是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式，即可求得數(shù)列b“ 前10項和的公式.【詳解】3)數(shù)列%是等差數(shù)列，q + 生 + % = 12,設數(shù)列4的公差為d,則4 一4 =2.=q= 2 + 2(-l) = 2.故數(shù)列,的通項公式為=2.(2)由(I)知，b. = () = 2"，數(shù)列0“是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,= 2x(1024-1) = 2046.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列前n項和的計算，查學生的計算能力，屬于基 礎題.18 .已知數(shù)列”"滿足 =1,=2"T(22,eN+).(1)求數(shù)列4的通項公式；(2)設數(shù)列=log,(a, + l),求數(shù)列一 的前n項和S.【解析】 分析：累加法求數(shù)列4的通項公式；裂項相消法求和(1)由已知 =2"i ,a“ =(a“-a_1)+(a_I-an_2) +(a_2-an_3)+-+(a2-01)+0.an = 2"t + 2n2 + 2"3 + +2? + 2+1 a 4=一(IT)j(l-2")乙 "1 4=1%(,+ 1)="，1 _2_i"也+1+ H + 1 *,c 1111111111 n,. 3” =111-I= 1=.122334 n +1+1 n+點晴：類比等差數(shù)列的定義，累加法求數(shù)列的通項公式，中間再利用等比數(shù)列求和即可.19 .設公差不為()的等差數(shù)列%中，/=5,且, %，%構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列4;若數(shù)列也的前項和S“滿足：S" =-最)，求數(shù)列4也,的前項和Tn.7 6 + 7【答案】勺=3“-1；7；=-篝【分析】(I)由等比數(shù)中項可得d = %，,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可得出答案.(2)由，與5“的遞推關系先求出。的通項公式,然后由錯位相減法求和.【詳解】(1)設數(shù)列,的公差為d，因為q, %，構(gòu)成等比數(shù)列，所以裙 所以(5-d)(5+9d) = (5 + dp =d = 3或d = 0 (舍) 所以a“ =a, +(-2)d = 3n-.,c if, n 1 , ° ° if 11 1 1(2)當 =1,4=& = 5二.,bn = S-Sn =- T7T-=a,也3 一 13”Tn =3一13"3-4 371-122 33相減得=§+3+予+H3"T= +所以20 .已知正項數(shù)列4滿足d+(2-)y,=2，數(shù)列"的前項和為T.，且7； =26-3,neN*.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列。“他,的前項和【答案】(1)證明見解析：(2)吃=3(-1)2" + 3.【分析】(1)化簡式子可得耳，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義進行證明.(2)根據(jù)伉，與7；的關系可得"，最后使用錯位相減法求和可得結(jié)果.【詳解】(1) ,.1 a： + (2 - ") a” = 2，+ 2)(% - n) = 0.數(shù)列4是正項數(shù)列，.%=，:.an-an=n + -n-,.數(shù)列4是等差數(shù)列.(2) .1=2 我-3 ，當 =1 時，1=4=2-3,解得4=3,當N2時,7；-=勸,1-3，-得2=2%,.數(shù)列他,是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，.b“=32"T.由（I）叮知a”=，.a"2=3"-2"T,% =3(1 + 2x2 + 3x22 + +"-2"T),記月=1 + 2x2 + 3x22+ .+ "-2"T，則 22 = 2 + 2x2?+3x2,+ -2"，=1 + 2 + 22 + .+2"-' -n-2" =(-n)2",.匕=5 -1)2"+1 ,= 3（/2-1）2"+ 3.21.已知正項等比數(shù)列qj, t?4 ,= 256.16（1）求數(shù)列卜/“的通項公式；（2）求數(shù)列1log? «|）的前項和.八 s fl8?-2n2,n<5【答案】 勺=16"一5；（2）?；=<'2n2-18/1+ 80,/>6【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比的值，即可求得數(shù)列4的通項；（2）對項數(shù)“進行分類,分別討論45和26兩種情況,分別求和即可.【詳解】解：（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得% =256,又因為數(shù)列4為正項數(shù)列，所以4 = 16.設等比數(shù)列4的公比為4,所以"2 =" = 256, 4 = 16,。4所以 a” =16x16"-6 = 16"一5.(2)由(1)可知log2 16-5=4-20,令bn =|4n-20|,數(shù)列也的前項和為7；.當W5且 wN" 時，9="(16 + 2°-4)=18-22 ； “2當"26且eN”時，7； = 4 +(4 + 4“-j0)(“5)=18x5-2x52+(2n-8)(n-5)=2n2-18/1+80 .綜上所述，Tn18-22," W5 2n2 -18? + 80, /? > 6【點睛】關于含絕對值的等差數(shù)列求和問題，需要注意通項凡的正負，然后以% =0所求解出 的的值作為分類討論的標準，再利用等差數(shù)列的求和公式討論不同情況下的數(shù)列的機 22.已知數(shù)列應的前項和為S,且與 + 2邑+ 3S3 + 0 =£.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設么=票，求數(shù)列也,）的前項和【答案】（I）% = 2- 1； （2） =1-竽.【分析】（I）由 5 +2s2 +3S3 +nS“ = "（?。? ' +2s2 +3/ + （-l）S,i = "（?。﹥?式相減得出S“ =2,再由S”,?！钡年P系得出數(shù)列4的通項公式：2/1-3（2） III （I）得出包再由錯位相減法求出數(shù)列2的前"項和7；.【詳解】（1）當 =1時，得到數(shù)列僅“的首項為1當 2 2時，根據(jù)5, +2S, +3$ +碼,="（二1）一得到5 + 2S? + 3Sj + （ - 1電_1 =丁7）:,上述兩式相減得到S= n則 4“ = S- S“_| ="一（ - 1）2 =2 -1,經(jīng)驗證，當 =1 時也成立所以=2 - 1.?n-3（2）由（1）得b,=/2 +1所以4=1 一竽【點睛】方法點睛：求數(shù)列的前"項和的方法(1)公式法：等差數(shù)列的前項和公式，等比數(shù)列的前項和公式；(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列, 再求解.(3)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩卜首尾若干項.(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導過 程的推廣.(5)錯位相減法：如果個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項之積 構(gòu)成的，則這個數(shù)列的前n項和用錯位相減法求解.