一元函數(shù)積分(定積分的幾何應(yīng)用).ppt

中南大學(xué)開(kāi)放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組 3 3定積分的應(yīng)用 高等數(shù)學(xué)A 第3章一元函數(shù)積分學(xué) 3 3 1平面圖形的面積3 3 2體積 1 3 3定積分的應(yīng)用 3 3 1平面圖形的面積 問(wèn)題的提出與微元法 直角坐標(biāo)情形 參數(shù)方程情形 計(jì)算平面圖形面積習(xí)例1 4 極坐標(biāo)情形 計(jì)算平面圖形面積習(xí)例5 7 3 3 2立體體積 旋轉(zhuǎn)體的體積 計(jì)算立體體積習(xí)例8 11 內(nèi)容小結(jié) 定積分的幾何應(yīng)用 回顧 曲邊梯形求面積的問(wèn)題 一 問(wèn)題的提出與微元法 將曲邊梯形面積表示為定積分的步驟如下 提示 1 求總體量 先求部分量 以不變代變 2 對(duì)部分量求和取極限 若所求量U須滿(mǎn)足條件 1 U是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間 a b 有關(guān)的量 2 U對(duì)于區(qū)間 a b 具有可加性 就是說(shuō) 如果把區(qū)間 a b 分成許多部分區(qū)間 則U相應(yīng)地分成許多部分量 而U等于所有部分量之和 則可用定積分來(lái)表達(dá)這個(gè)量U 微元法的一般步驟 根據(jù)問(wèn)題的具體情況 選取一個(gè)變量 如x 為積分變量 并確定它的變化區(qū)間 a b 2 設(shè)想把區(qū)間 a b 分成n個(gè)小區(qū)間 取其中任一小區(qū)間并記為 x x dx 求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 U的近似值 如果 U能近似地表示為 a b 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在x處的值f x 與dx的乘積 就把f x dx稱(chēng)為量U的微元 且記為dU 這個(gè)方法通常叫做微元法 應(yīng)用方向 平面圖形的面積 體積 平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng) 功 水壓力 引力和平均值等 曲邊梯形的面積 圍成圖形的面積 1 直角坐標(biāo)情形 二 平面圖形的面積 說(shuō)明 注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式 則曲邊梯形面積 此時(shí)要注意曲邊是有正方向的 從而確定出起點(diǎn)和終點(diǎn) 當(dāng)你沿曲邊朝著這方向前進(jìn)時(shí)曲邊梯形將在你的右邊 2 參數(shù)方程情形 計(jì)算平面圖形面積習(xí)例 例4 例1 例2 例3 解 兩曲線(xiàn)的交點(diǎn) 選x為積分變量 例1 兩曲線(xiàn)的交點(diǎn) 選為積分變量 例2 解 橢圓的參數(shù)方程 由對(duì)稱(chēng)性知總面積等于4倍第一象限部分面積 例3 解 例4 解 所求面積 面積元素 曲邊扇形的面積 3 極坐標(biāo)情形 計(jì)算平面圖形面積習(xí)例 例5 例6 例7 由對(duì)稱(chēng)性知總面積 4倍第一象限部分面積 例5 解 利用對(duì)稱(chēng)性知 例6 解 例7 解 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體 這直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)軸 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 旋轉(zhuǎn)體的體積 三 立體體積 旋轉(zhuǎn)體的體積為 例8 例10 例11 計(jì)算立體體積習(xí)例 例9 解 例8 解 1 繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí) 選x為積分變量 2 繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí) 例9 解 例10 2 解法2 柱殼法 柱殼體積 柱面面積 補(bǔ)充 體積元素為 例11 解 內(nèi)容小結(jié) 1 平面圖形的面積 邊界方程 參數(shù)方程 極坐標(biāo)方程 直角坐標(biāo)方程 上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定 2 旋轉(zhuǎn)體的立體體積 繞x軸 繞y軸 柱殼法