【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第4章學(xué)案16

+二一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料+第4章三角函數(shù)與三角恒等變換學(xué)案16任意角、弧度及任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義自主梳理1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線OA繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置OB所成的圖形旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角的_，射線的端點(diǎn)O叫做角的_，旋轉(zhuǎn)終止位置的射線OB叫做角的_，按_時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按_時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角若一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)_角(1)象限角使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是_角(2)象限界角(即終邊在坐標(biāo)軸上的角)終邊在x軸上的角表示為_(kāi)；終邊在y軸上的角表示為_(kāi)；終邊落在坐標(biāo)軸上的角可表示為_(kāi)(3)終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示(4)弧度制把長(zhǎng)度等于_長(zhǎng)的弧所對(duì)的_叫1弧度的角以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做_，它的單位符號(hào)是_，讀作_，通常略去不寫(xiě)(5)度與弧度的換算關(guān)系360°_ rad；180°_ rad；1°_ rad；1 rad_57.30°.(6)弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式l_，即弧長(zhǎng)等于_S扇_.2三角函數(shù)的定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，|OP|r，我們規(guī)定：比值叫做的正弦，記作sin ，即sin ；比值叫做的余弦，記作cos ，即cos ；比值_(x0)叫做的正切，記作tan ，即tan .(1)三角函數(shù)值的符號(hào)各象限的三角函數(shù)值的符號(hào)如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)三角函數(shù)線下圖中有向線段MP，OM，AT分別表示_，_和_自我檢測(cè)1“”是“cos 2”的_條件2與2010°終邊相同的最小正角為_(kāi)，最大負(fù)角為_(kāi)3(2010·山東青島高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知sin <0且tan >0，則角是第_象限角4若n·360°，m·360°(m，nZ)，則，終邊關(guān)于直線_對(duì)稱5已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角的最小正值為_(kāi)探究點(diǎn)一角的概念例1(1)如果角是第三象限角，那么，角的終邊落在第幾象限；(2)寫(xiě)出終邊落在直線yx上的角的集合；(3)若168°k·360° (kZ)，求在0°，360°)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角變式遷移1若是第二象限的角，試分別確定2，的終邊所在位置探究點(diǎn)二弧長(zhǎng)與扇形面積例2已知一個(gè)扇形的圓心角是，0<<2，其所在圓的半徑是R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C>0)，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？變式遷移2(1)已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？探究點(diǎn)三三角函數(shù)的定義例3已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值變式遷移3已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4a,3a) (a0)，求sin ，cos ，tan 的值1角的度量由原來(lái)的角度制改換為弧度制，要養(yǎng)成用弧度表示角的習(xí)慣，象限角的判斷，終邊相同的角的表示，弧度、弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的運(yùn)用是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)2三角函數(shù)都是以角為自變量(用弧度表示)，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，注意兩種定義法，即坐標(biāo)法和單位圓法(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2y21逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q，則Q的坐標(biāo)為_(kāi)2(2011·汕頭模擬)若角和角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角可以用表示為_(kāi)3已知點(diǎn)P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為_(kāi)4已知為第三象限的角，則在第_象限5(2011·南京模擬)已知點(diǎn)P(sin cos ，tan )在第一象限，且0,2，則的取值范圍是_6若1弧度的圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)等于2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于_7(2011·淮安模擬)已知角的終邊落在直線y3x上，則_.8閱讀下列命題：若點(diǎn)P(a,2a) (a0)為角終邊上一點(diǎn)，則sin ；同時(shí)滿足sin ，cos 的角有且只有一個(gè)；設(shè)tan 且<<，則sin ；設(shè)cos(sin )·tan(cos )>0 (為象限角)，則在第一象限其中正確命題為_(kāi)(將正確命題的序號(hào)填在橫線上)二、解答題(共42分)9(14分)已知扇形OAB的圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為6，(1)求的弧長(zhǎng)；(2)求弓形OAB的面積10(14分)在單位圓中畫(huà)出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角的集合：(1)sin ；(2)cos .11(14分)已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x，) (x0)，且cos x.求sin 的值答案 自主梳理1始邊頂點(diǎn)終邊逆順零(1)第幾象限(2)|k，kZ(3)|k·360°，kZ|2k，kZ(4)半徑圓心角弧度制rad弧度(5)2°(6)|·r弧所對(duì)的圓心角(弧度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積lr|r22.(2)的正弦線的余弦線的正切線自我檢測(cè)1充分而不必要2.210°150°3.三4.x軸5.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一般地，角與終邊關(guān)于x軸對(duì)稱；角與終邊關(guān)于y軸對(duì)稱；角與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(2)利用終邊相同的角的集合S|2k，kZ判斷一個(gè)角所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫(xiě)成0,2)范圍內(nèi)的一角與2的整數(shù)倍，然后判斷角的象限(3)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法為先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角解(1)2k<<2k (kZ)，2k<<2k(kZ)，即2k<<2k (kZ)角終邊在第二象限又由各邊都加上，得2k<<22k (kZ)是第四象限角同理可知，是第一象限角(2)在(0，)內(nèi)終邊在直線yx上的角是，終邊在直線yx上的角的集合為.(3)168°k·360° (kZ)，56°k·120° (kZ)0°56°k·120°<360°，k0,1,2時(shí)，0°，360°)故在0°，360°)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角是56°，176°，296°.變式遷移1解是第二象限的角，k·360°90°<<k·360°180° (kZ)(1)2k·360°180°<2<2k·360°360° (kZ)，2的終邊在第三或第四象限，或角的終邊在y軸的非正半軸上(2)k·180°45°<<k·180°90° (kZ)，當(dāng)k2n (nZ)時(shí)，n·360°45°<<n·360°90°；當(dāng)k2n1 (nZ)時(shí)，n·360°225°<<n·360°270°.是第一或第三象限的角的終邊在第一或第三象限例2解題導(dǎo)引本題主要考查弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式，并與最值問(wèn)題聯(lián)系在一起確定一個(gè)扇形需要兩個(gè)基本條件，因此在解題中應(yīng)依據(jù)題目條件確定出圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)基本量中的兩個(gè)，然后再進(jìn)行求解解(1)設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，該弧所在弓形的面積為S，如圖所示，當(dāng)60°，R10 cm時(shí)，可知lR cm.而SS扇SOABlRR2sin ××10×100× cm2.(2)已知2RlC，即2RRC，S扇R2·R·R·R·2R·2·2.當(dāng)且僅當(dāng)R2R，即2時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)為2弧度時(shí)，該扇形有最大面積C2.變式遷移2解設(shè)扇形半徑為R，圓心角為，所對(duì)的弧長(zhǎng)為l.(1)依題意，得221780.8或.8>2，舍去，.(2)扇形的周長(zhǎng)為40，即R2R40，SlRR2R·2R2100.當(dāng)且僅當(dāng)R2R，即R10，2時(shí)扇形面積取得最大值，最大值為100.例3解題導(dǎo)引某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在位置有關(guān)，當(dāng)終邊確定時(shí)三角函數(shù)值就相應(yīng)確定了但若終邊落在某條直線上時(shí)，這時(shí)終邊實(shí)際上有兩個(gè)，因此對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有兩組，要分別求解解角的終邊在直線3x4y0上，在角的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，3t) (t0)，則x4t，y3t，r5|t|，當(dāng)t>0時(shí)，r5t，sin ，cos ，tan ；當(dāng)t<0時(shí)，r5t，sin ，cos ，tan .綜上可知，t>0時(shí)，sin ，cos ，tan ；t<0時(shí)，sin ，cos ，tan .變式遷移3解r5|a|.若a>0，則r5a，角在第二象限，sin ，cos ，tan .若a<0，則r5a，角在第四象限，sin ，cos ，tan .課后練習(xí)區(qū)1(，)解析依題意得Q(cos，sin)，即Q(，)22k(kZ)3.解析由三角函數(shù)的定義，tan 1.又sin >0，cos <0，P在第四象限，.4二或四解析是第三象限角，180°k·360°<<270°k·360°(kZ)90°k·180°<<135°k·180°(kZ)當(dāng)k2m (mZ)時(shí)可得90°m·360°<<135°m·360°，故的終邊在第二象限當(dāng)k2m1 (mZ)時(shí)可得270°m·360°<<315°m·360°，故的終邊在第四象限綜上，可知是第二或第四象限的角5.解析由已知得2k<<2k或2k<<2k，kZ.02，當(dāng)k0時(shí)，<<或<<.6.解析設(shè)圓的半徑為r，r·sin 1.r.弧長(zhǎng)l·r.72或2解析角終邊落在直線y3x上，為第二或第四象限角當(dāng)為第二象限時(shí)，2.若為第四象限時(shí)，2.8解析中，當(dāng)在第三象限時(shí)，sin ，故錯(cuò)中，同時(shí)滿足sin ，cos 的角為2k (kZ)，不只有一個(gè)，故錯(cuò)正確可能在第一象限或第四象限，故錯(cuò)綜上選.9解(1)120°，r6，的弧長(zhǎng)為lr×64.(4分)(2)S扇形OABlr×4×612，(8分)SABOr2·sin ×62×9，(12分)S弓形OABS扇形OABSABO129.(14分)10解(1)作直線y交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角的集合為.(7分)(2)作直線x交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍故滿足條件的角的集合為.(14分)11解P(x，) (x0)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.(2分)又cos x，cos x.x0，x±，r2.(6分)當(dāng)x時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，由三角函數(shù)的定義，有sin ，sin ；(10分)當(dāng)x時(shí)，同樣可求得sin .(14分)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品