【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第9章學(xué)案48

+二一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料+學(xué)案48直線、圓的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.3.在學(xué)習(xí)過程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想自主梳理1直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系有三種：_、_、_.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：代數(shù)法：利用判別式，即直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組消去x或y整理成一元二次方程后，計(jì)算判別式b24ac幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d<r_，dr_，d>r_.2圓的切線方程若圓的方程為x2y2r2，點(diǎn)P(x0，y0)在圓上，則過P點(diǎn)且與圓x2y2r2相切的切線方程為_注：點(diǎn)P必須在圓x2y2r2上經(jīng)過圓(xa)2(yb)2r2上點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為_3計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法(1)幾何方法運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算(2)代數(shù)方法運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式AB|xAxB|.說(shuō)明：圓的弦長(zhǎng)、弦心距的計(jì)算常用幾何方法4圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓的位置關(guān)系可分為五種：_、_、_、_、_.判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法：(幾何法)設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑為r1、r2 (r1r2)，則O1O2>r1r2_；O1O2r1r2_；|r1r2|<O1O2<r1r2_；O1O2|r1r2|_；0|O1O2|<|r1r2|_(2)已知兩圓x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20相交，則與兩圓共交點(diǎn)的圓系方程為_，其中為1的任意常數(shù)，因此圓系不包括第二個(gè)圓當(dāng)1時(shí)，為兩圓公共弦所在的直線，方程為(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.自我檢測(cè)1(2010·江西)直線ykx3與圓(x3)2(y2)24相交于M，N兩點(diǎn)，若MN2，則k的取值范圍是_2圓x2y24x0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為_3圓C1：x2y22x2y20與圓C2：x2y24x2y10的公切線有_條4過點(diǎn)(0,1)的直線與x2y24相交于A、B兩點(diǎn)，則AB的最小值為_5若P(2，1)為圓C：(x1)2y225的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是_. 探究點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系例1已知圓C：x2y22x4y30.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有PMPO，求使得PM取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)變式遷移1從圓C：(x1)2(y1)21外一點(diǎn)P(2,3)向該圓引切線，求切線的方程及過兩切點(diǎn)的直線方程探究點(diǎn)二圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題例2已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2y24x12y240.(1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4，求l的方程；(2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程變式遷移2已知圓C：x2y26x8y210和直線kxy4k30.(1)證明：不論k取何值，直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；(2)求當(dāng)k取什么值時(shí)，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長(zhǎng)探究點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系例3已知圓C1：x2y22mx4ym250，圓C2：x2y22x2mym230，m為何值時(shí)，(1)圓C1與圓C2相外切；(2)圓C1與圓C2內(nèi)含變式遷移3已知A：x2y22x2y20，B：x2y22ax2bya210.當(dāng)a，b變化時(shí)，若B始終平分A的周長(zhǎng)，求：(1)B的圓心B的軌跡方程；(2)B的半徑最小時(shí)圓的方程探究點(diǎn)四綜合應(yīng)用例4已知圓C：x2y22x4y40.問在圓C上是否存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線ykx1對(duì)稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說(shuō)明理由變式遷移4已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21相交于M、N兩點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且·12，求k的值1求切線方程時(shí)，若知道切點(diǎn)，可直接利用公式；若過圓外一點(diǎn)求切線，一般運(yùn)用圓心到直線的距離等于半徑來(lái)求，但注意有兩條2解決與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題時(shí)，注意運(yùn)用由半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，也可以運(yùn)用弦長(zhǎng)公式這就是通常所說(shuō)的“幾何法”和“代數(shù)法”3判斷兩圓的位置關(guān)系，從圓心距和兩圓半徑的關(guān)系入手(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1直線l：y1k(x1)和圓x2y22y0的位置關(guān)系是_2直線xym0與圓x2y22x20相切，則實(shí)數(shù)m_.3過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2y24y0所截得的弦長(zhǎng)為_4若圓(x3)2(y5)2r2上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x3y20的距離為1，則半徑r的取值范圍是_5若圓x2y24與圓x2y22ay60(a>0)的公共弦的長(zhǎng)為2，則a_.6已知點(diǎn)A是圓C：x2y2ax4y50上任意一點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于直線x2y10的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，則實(shí)數(shù)a_.7設(shè)直線3x4y50與圓C1：x2y24交于A，B兩點(diǎn)，若圓C2的圓心在線段AB上，且圓C2與圓C1相切，切點(diǎn)在圓C1的劣弧上，則圓C2的半徑的最大值是_8(2010·全國(guó)改編)已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么·的最小值為_二、解答題(共42分)9(14分)圓x2y28內(nèi)一點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)P的直線l的傾斜角為，直線l交圓于A、B兩點(diǎn)(1)當(dāng)時(shí)，求AB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線l的方程10(14分)自點(diǎn)A(3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2y24x4y70相切，求光線l所在直線的方程11(14分)已知兩圓x2y22x6y10和x2y210x12ym0.求：(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？(3)m45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)學(xué)案48直線、圓的位置關(guān)系答案自主梳理1相切相交相離相交相切相離相交相切相離2.x0xy0yr2(x0a)(xa)(y0b)(yb)r24.(1)外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含(2)(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0自我檢測(cè)1.2.xy203.24.25xy30課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)過點(diǎn)P作圓的切線有三種類型：當(dāng)P在圓外時(shí)，有2條切線；當(dāng)P在圓上時(shí)，有1條切線；當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，不存在(2)利用待定系數(shù)法設(shè)圓的切線方程時(shí)，一定要注意直線方程的存在性，有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)分類(3)切線長(zhǎng)的求法：過圓C外一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為M，半徑為R，則PM.解(1)將圓C配方得(x1)2(y2)22.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為ykx，由，解得k2±，得y(2±)x.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為xya0，由，得|a1|2，即a1，或a3.直線方程為xy10，或xy30.綜上，圓的切線方程為y(2)x，或y(2)x，或xy10，或xy30.(2)由POPM，得xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y130.即點(diǎn)P在直線l：2x4y30上當(dāng)PM取最小值時(shí)，即OP取得最小值，直線OPl，直線OP的方程為2xy0.解方程組得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.變式遷移1解設(shè)圓切線方程為y3k(x2)，即kxy32k0，1，k，另一條斜率不存在，方程為x2.切線方程為x2和3x4y60.圓心C為(1,1)，kPC2，過兩切點(diǎn)的直線斜率為，又x2與圓交于(2,1)，過切點(diǎn)的直線為x2y40.例2解題導(dǎo)引(1)有關(guān)圓的弦長(zhǎng)的求法：已知直線的斜率為k，直線與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，點(diǎn)C到l的距離為d，圓的半徑為r.方法一代數(shù)法：弦長(zhǎng)AB|x2x1|·；方法二幾何法：弦長(zhǎng)AB2.(2)有關(guān)弦的中點(diǎn)問題：圓心與弦的中點(diǎn)連線和已知直線垂直，利用這條性質(zhì)可確定某些等量關(guān)系解(1)如圖所示，AB4，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，則CDAB，連結(jié)AC、BC，則AD2，AC4，在RtACD中，可得CD2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y5kx，即kxy50.由點(diǎn)C到直線AB的距離公式，得2，解得k.當(dāng)k時(shí)，直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x0.所求直線的方程為3x4y200或x0.(2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，則CDPD，即·0，(x2，y6)·(x，y5)0，化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2y22x11y300.變式遷移2(1)證明由kxy4k30，得(x4)ky30.直線kxy4k30過定點(diǎn)P(4,3)由x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)22<4.直線和圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(2)解kPC1.可以證明與PC垂直的直線被圓所截得的弦AB最短，因此過P點(diǎn)斜率為1的直線即為所求，其方程為y3x4，即xy10.PC，AB22.例3解題導(dǎo)引圓和圓的位置關(guān)系，從交點(diǎn)個(gè)數(shù)也就是方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷，有時(shí)得不到確切的結(jié)論，通常還是從圓心距d與兩圓半徑和、差的關(guān)系入手解對(duì)于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后C1：(xm)2(y2)29；C2：(x1)2(ym)24.(1)如果C1與C2外切，則有32.(m1)2(m2)225.m23m100，解得m5或m2.(2)如果C1與C2內(nèi)含，則有<32.(m1)2(m2)2<1，m23m2<0，得2<m<1，當(dāng)m5或m2時(shí)，圓C1與圓C2外切；當(dāng)2<m<1時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)含變式遷移3解(1)兩圓方程相減得公共弦方程2(a1)x2(b1)ya210.依題意，公共弦應(yīng)為A的直徑，將(1，1)代入得a22a2b50.設(shè)圓B的圓心為(x，y)，其軌跡方程為x22x2y50.(2)B方程可化為(xa)2(yb)21b2.由得b(a1)242，b24，b215.當(dāng)a1，b2時(shí)，B半徑最小，B方程為(x1)2(y2)25.例4解題導(dǎo)引這是一道探索存在性問題，應(yīng)先假設(shè)存在圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由垂徑定理可知圓心應(yīng)在直線上，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，應(yīng)聯(lián)想直徑所對(duì)的圓周角為直角利用斜率或向量來(lái)解決因此能否將問題合理地轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵解圓C的方程可化為(x1)2(y2)29，圓心為C(1，2)假設(shè)在圓C上存在兩點(diǎn)A、B，則圓心C(1，2)在直線ykx1上，即k1.于是可知，kAB1.設(shè)lAB：yxb，代入圓C的方程，整理得2x22(b1)xb24b40，4(b1)28(b24b4)>0，b26b9<0，解得33<b<33.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2b1，x1x2b22b2.由OAOB，知x1x2y1y20，也就是x1x2(x1b)(x2b)0，2x1x2b(x1x2)b20，b24b4b2bb20，化簡(jiǎn)得b23b40，解得b4或b1，均滿足>0.即直線AB的方程為xy40，或xy10.變式遷移4解(1)直線l過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k，直線l的方程為ykx1.將其代入圓C：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70.由題意：4(1k)24×(1k2)×7>0，得<k<.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由得，·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812k1(經(jīng)檢驗(yàn)符合題意)，k1.課后練習(xí)區(qū)1相交2.3或32解析如圖所示，x2y24y0x2(y2)24，A(0,2)，OA2，A到直線l：yx的距離是AN1，ON，弦長(zhǎng)OJ2.4(4,6)5.16.1071解析圓C1的圓心C1(0,0)到直線3x4y50的距離為1，圓C1的半徑為2，弧上的點(diǎn)到直線3x4y50距離最大為211，因此圓C2的半徑最大為1.832解析設(shè)APB2，則APOBPO，·()2·cos 2cos 2·(12sin2)2sin2323，當(dāng)且僅當(dāng)2sin2，即sin2時(shí)取等號(hào)9解(1)當(dāng)時(shí)，kAB1，直線AB的方程為y2(x1)，即xy10.(3分)故圓心(0,0)到AB的距離d，從而弦長(zhǎng)AB2 .(7分)(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，y1y24.由兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即2(x1x2)4(y1y2)0，kAB.(12分)直線l的方程為y2(x1)，即x2y50.(14分)10.解已知圓C：x2y24x4y70關(guān)于x軸對(duì)稱的圓為C1：(x2)2(y2)21，其圓心C1的坐標(biāo)為(2，2)，半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C1相切(4分)設(shè)l的方程為y3k(x3)，則1，(10分)即12k225k120.k1，k2.則l的方程為4x3y30或3x4y30.(14分)11解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和.(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，.解得m2510.(4分)(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離，故只有5.解得m2510.(8分)(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230.(12分)由圓的半徑、弦長(zhǎng)、弦心距間的關(guān)系，不難求得公共弦的長(zhǎng)為2× 2.(14分)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品