【名校資料】高考數(shù)學理一輪資源庫 第9章學案47

+二一九高考數(shù)學學習資料+學案47圓的方程導學目標： 1.掌握確定圓的幾何要素.2.掌握圓的標準方程與一般方程.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想自主梳理1圓的定義在平面內，到_的距離等于_的點的_叫做圓2確定一個圓最基本的要素是_和_3圓的標準方程(xa)2(yb)2r2 (r>0)，其中_為圓心，_為半徑4圓的一般方程x2y2DxEyF0表示圓的充要條件是_，其中圓心為_，半徑r_.5確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：(1)根據題意，選擇標準方程或一般方程；(2)根據條件列出關于a，b，r或D、E、F的方程組；(3)解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程6點與圓的位置關系點和圓的位置關系有三種圓的標準方程(xa)2(yb)2r2，點M(x0，y0)，(1)點在圓上：(x0a)2(y0b)2_r2；(2)點在圓外：(x0a)2(y0b)2_r2；(3)點在圓內：(x0a)2(y0b)2_r2.自我檢測1方程x2y24mx2y5m0表示圓時，m的取值范圍為_2圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程是_3點P(2，1)為圓(x1)2y225的弦AB的中點，則直線AB的方程是_4已知點(0,0)在圓：x2y2axay2a2a10外，則a的取值范圍是_5過圓x2y24外一點P(4,2)作圓的切線，切點為A、B，則APB的外接圓方程為_探究點一求圓的方程例1求經過點A(2，4)，且與直線l：x3y260相切于點B(8,6)的圓的方程變式遷移1根據下列條件，求圓的方程(1)與圓O：x2y24相外切于點P(1，)，且半徑為4的圓的方程；(2)圓心在原點且圓周被直線3x4y150分成12兩部分的圓的方程探究點二圓的幾何性質的應用例2已知圓x2y2x6ym0和直線x2y30交于P，Q兩點，且OPOQ (O為坐標原點)，求該圓的圓心坐標及半徑變式遷移2如圖，已知圓心坐標為(，1)的圓M與x軸及直線yx分別相切于A、B兩點，另一圓N與圓M外切且與x軸及直線yx分別相切于C、D兩點(1)求圓M和圓N的方程；(2)過點B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長度探究點三與圓有關的最值問題例3已知實數(shù)x、y滿足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值變式遷移3如果實數(shù)x，y滿足方程(x3)2(y3)26，求的最大值與最小值1求圓的標準方程就是求出圓心的坐標與圓的半徑，借助弦心距、弦、半徑之間的關系計算可大大簡化計算的過程與難度2點與圓的位置關系有三種情形：點在圓內、點在圓上、點在圓外，其判斷方法是看點到圓心的距離d與圓半徑r的關系d<r時，點在圓內；dr時，點在圓上；d>r時，點在圓外3本節(jié)主要的數(shù)學思想方法有：數(shù)形結合思想、方程思想(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2011·重慶改編)在圓x2y22x6y0內，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為_2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是_3圓x2y22x4y10關于直線2axby20 (a、bR)對稱，則ab的取值范圍是_4(2011·蘇州模擬)已知點P(2,1)在圓C：x2y2ax2yb0上，點P關于直線xy10的對稱點也在圓C上，則實數(shù)a，b的值分別為_和_5已知兩點A(2,0)，B(0,2)，點C是圓x2y22x0上任意一點，則ABC面積的最小值為_6(2010·天津)已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程為_7圓心在直線2x3y10上的圓與x軸交于A(1,0)、B(3，0)兩點，則圓的方程為_8設直線axy30與圓(x1)2(y2)24相交于A、B兩點，且弦AB的長為2，則a_.二、解答題(共42分)9(14分)根據下列條件，求圓的方程：(1)經過A(6,5)、B(0,1)兩點，并且圓心C在直線3x10y90上；(2)經過P(2,4)、Q(3，1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6.10(14分)(2011·南京模擬)已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上(1)求xy的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值11(14分)如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB20米，拱高OP4米，每隔4米需用一支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01米)(28.72)學案47圓的方程答案自主梳理1定點定長集合2.圓心半徑3.(a，b)r4D2E24F>06(1)(2)>(3)<自我檢測1m<或m>12.x2(y2)213.xy304(，1)(，)5(x2)2(y1)25課堂活動區(qū)例1解題導引(1)一可以利用圓的一般式方程，通過轉化三個獨立條件，得到有關三個待定字母的關系式求解；二可以利用圓的方程的標準形式，由條件確定圓心和半徑(2)一般地，求圓的方程時，當條件中給出的是圓上若干點的坐標，較適合用一般式，通過解三元方程組求待定系數(shù)；當條件中給出的是圓心坐標或圓心在某直線上、圓的切線方程、圓的弦長等條件，適合用標準式解方法一設圓心為C，所求圓的方程為x2y2DxEyF0，則圓心C.kCB.由kCB·kl1，·1.又有(2)2(4)22D4EF0，又82628D6EF0.解，可得D11，E3，F(xiàn)30.所求圓的方程為x2y211x3y300.方法二設圓的圓心為C，則CBl，從而可得CB所在直線的方程為y63(x8)，即3xy180.由A(2，4)，B(8,6)，得AB的中點坐標為(3,1)又kAB1，AB的垂直平分線的方程為y1(x3)，即xy40.由聯(lián)立后，解得即圓心坐標為.所求圓的半徑r.所求圓的方程為22.變式遷移1解(1)設所求圓的圓心Q的坐標為(a，b)，圓Q的方程為(xa)2(yb)242，又OQ6，聯(lián)立方程，解得a3，b3，所以所求圓的方程為(x3)2(y3)216.(2)如圖，因為圓周被直線3x4y150分成12兩部分，所以AOB120°，而圓心(0,0)到直線3x4y150的距離d3，在AOB中，可求得OA6.所以所求圓的方程為x2y236.例2解題導引(1)在解決與圓有關的問題中，借助于圓的幾何性質，往往會使得思路簡捷明了，簡化思路，簡便運算(2)本題利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值解方法一將x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1、y2滿足條件：y1y24，y1y2.OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.96(y1y2)5y1y20，96×45×0，m3，此時1363×4>0，圓心坐標為，半徑r.方法二如圖所示，設弦PQ中點為M，O1MPQ，kO1M2.又圓心坐標為，O1M的方程為y32，即y2x4.由方程組解得M的坐標為(1,2)則以PQ為直徑的圓可設為(x1)2(y2)2r2.OPOQ，點O在以PQ為直徑的圓上(01)2(02)2r2，即r25，MQ2r2.在RtO1MQ中，O1M2MQ2O1Q2.2(32)25.m3.半徑為，圓心為.變式遷移2解(1)M的坐標為(，1)，M到x軸的距離為1，即圓M的半徑為1，則圓M的方程為(x)2(y1)21.設圓N的半徑為r，連結MA，NC，OM，則MAx軸，NCx軸，由題意知：M，N點都在COD的平分線上，O，M，N三點共線由RtOAMRtOCN可知，OMONMANC，即r3，則OC3，則圓N的方程為(x3)2(y3)29.(2)由對稱性可知，所求的弦長等于過A點與MN平行的直線被圓N截得的弦的長度，此弦的方程是y(x)，即xy0，圓心N到該直線的距離d，則弦長為2.例3解題導引與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：(1)形如形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；(2)形如taxby形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題解(1)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，當直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b2±.所以yx的最大值為2，最小值為2.(2)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值又圓心到原點的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.變式遷移3解(1)設P(x，y)，則P點的軌跡就是已知圓C：(x3)2(y3)26.而的幾何意義就是直線OP的斜率，設k，則直線OP的方程為ykx.當直線OP與圓相切時，斜率取最值因為點C到直線ykx的距離d，所以當，即k3±2時，直線OP與圓相切即的最大值為32，最小值為32.課后練習區(qū)110解析圓的方程化為標準形式為(x1)2(y3)210，由圓的性質可知最長弦|AC|2，最短弦BD恰以E(0,1)為中心，設點F為其圓心，坐標為(1,3)故EF，BD22，S四邊形ABCDAC·BD10.2(2，)3.403解析圓的方程可化為2(y1)21b，由題知圓心在直線xy10上，110，a0，又點(2,1)在圓上，所以b3.53解析lAB：xy20，圓心(1,0)到lAB的距離d，AB邊上的高的最小值為1.又AB2.Smin×2×3.6(x1)2y22解析直線xy10與x軸的交點為(1,0)，即圓C的圓心坐標為(1,0)又圓C與直線xy30相切，圓C的半徑為r.圓C的方程為(x1)2y22.7(x2)2(y1)22解析所求圓與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點，故線段AB的垂直平分線x2過所求圓的圓心，又所求圓的圓心在直線2x3y10上，所以，兩直線的交點即為所求圓的圓心坐標，解之得為(2,1)，進一步可求得半徑為，所以，圓的標準方程為(x2)2(y1)22.80解析由于弦AB的長為2，則圓心(1,2)到直線axy30的距離等于1，即1，解得a0.9解(1)AB的中垂線方程為3x2y150，由解得(3分)圓心為C(7，3)又CB，故所求圓的方程為(x7)2(y3)265.(7分)(2)設圓的方程為x2y2DxEyF0，將P、Q點的坐標分別代入得(8分)又令y0，得x2DxF0，由|x1x2|6有D24F36.由解得D2，E4，F(xiàn)8或D6，E8，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y22x4y80或x2y26x8y0.(14分)10解(1)設txy，則yxt，t可視為直線yxt的縱截距，所以xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時的縱截距由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得t1或t1，所以xy的最大值為1，最小值為1.(5分)(2)可視為點(x，y)與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是過原點的直線與該圓有公共點時斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率設過原點的直線方程為ykx，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得k2或k2，所以的最大值為2，最小值為2.(10分)(3)，即，其最值可視為點(x，y)到定點(1,2)的距離的最值，可轉化為圓心(2，3)到定點(1,2)的距離與半徑的和或差又因為圓心到定點(1,2)的距離為，所以的最大值為1，最小值為1.(14分)11解建立如圖所示的坐標系，設該圓拱所在圓的方程為x2y2DxEyF0，由于圓心在y軸上，所以D0，那么方程即為x2y2EyF0.(3分)下面用待定系數(shù)法來確定E、F的值因為P、B都在圓上，所以它們的坐標(0,4)、(10,0)都是這個圓的方程的解，于是有方程組(7分)解得F100，E21.這個圓的方程是x2y221y1000.(10分)把點P2的橫坐標x2代入這個圓的方程，得(2)2y221y1000，y221y960.P2的縱坐標y>0，故應取正值，y3.86(米)所以支柱A2P2的高度約為3.86米(14分)高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品