高考沖刺 集合與邏輯

高考沖刺 集合與邏輯【高考展望】集合與常用邏輯用語是高考的必考內(nèi)容，多為選擇題或填空題，難度不大.集合命題以集合的基本運算，尤其是交集與補集的運算為主；常用邏輯用語多與函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式等知識綜合進行命題，難度不大，命題比較分散，命題的四種形式、充要條件的判斷、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的判斷以及含量詞的命題等考點均有涉及.【知識升華】一、集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數(shù)學(xué)問題，運用集合觀點去研究和解決數(shù)學(xué)問題。1學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準確描述集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如、=、，等等； 2強化對集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，加強兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問題的關(guān)鍵是準確理解集合所描述的具體內(nèi)容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應(yīng)考慮先化簡（或求解）；3確定集合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問題時應(yīng)根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來尋求方法。 區(qū)別與、與、a與a、與、(1,2)與1,2； AB時，A有兩種情況：A與A。若集合A中有個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是1, 所有非空真子集的個數(shù)是區(qū)分集合中元素的形式：如；?？占侵覆缓魏卧氐募?。、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。 符號“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點與直線（面）的關(guān)系 ；符號“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。二、常用邏輯用語1命題命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，表示命題，故復(fù)合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。2復(fù)合命題的真值“非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p非p真假假真“p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假“p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時為假，其他情況為真；3°真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。3四種命題如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題；如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題；如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題。兩個互為逆否命題的真假是相同的，即兩個互為逆否命題是等價命題.若判斷一個命題的真假較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。4充要條件一般地，如果已知pÞq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件。一般地，如果既有pÞq，又有qÞp，就記作：pq.“”叫做等價符號。pq表示pÞq且qÞp。這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。5全稱命題與特稱命題這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題?！镜湫屠}】類型一、集合概念例1.若P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x21,xR，則PQ等于（ ）AP BQ C D不知道【思路點撥】類似上題知P集合是y=x2（xR）的值域集合，同樣Q集合是y= x21（xR）的值域集合，這樣PQ意義就明確了【答案】B【解析】事實上，P、Q中的代表元素都是y，它們分別表示函數(shù)y=x2,y= x21的值域，由P=y|y0,Q=y|y1，知QP，即PQ=Q應(yīng)選B例2. 若P=y|y=x2,xR，Q=(x，y)|y=x2,xR，則必有（ ）APQ= BP Q CP=Q DP Q【思路點撥】有的同學(xué)一接觸此題馬上得到結(jié)論P=Q，這是由于他們僅僅看到兩集合中的y=x2,xR相同，而沒有注意到構(gòu)成兩個集合的元素是不同的，P集合是函數(shù)值域集合，Q集合是y=x2,xR上的點的集合，代表元素根本不是同一類事物【答案】A【解析】正確解法應(yīng)為： P表示函數(shù)y=x2的值域，Q表示拋物線y=x2上的點組成的點集，因此PQ=應(yīng)選A舉一反三：【變式】若，則=（ ）A3B1CD1【答案】D【解析】類型二、集合元素的互異性 集合元素的互異性，是集合的重要屬性，教學(xué)實踐告訴我們，集合中元素的互異性常常被學(xué)生在解題中忽略，從而導(dǎo)致解題的失敗，下面再結(jié)合例題進一步講解以期強化對集合元素互異性的認識例3.已知集合A=,b, 2b，B=,c, c2若A=B，則c的值是_【思路點撥】要解決c的求值問題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關(guān)系式 【解析】分兩種情況進行討論 （1）若b=c且2b=c2，消去b得：c22c=0，=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故0c22c1=0，即c=1，但c=1時，B中的三元素又相同，此時無解（2）若b=c2且2b=c，消去b得：2c2c=0，0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=【總結(jié)升華】解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進行檢驗和修正舉一反三：【變式】已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2x1=0，且AB=A，則的值為_【思路點撥】由AB=A而推出B有四種可能，進而求出的值【解析】 AB=A， A=1，2， B=或B=1或B=2或B=1，2若B=，則令<0得；若B=1，則令=0得=2，此時1是方程的根；若B=2，則令=0得=2，此時2不是方程的根，；若B=1，2則令>0得R且2，把x=1代入方程得R，把x=2代入方程得=3綜上的值為2或3【總結(jié)升華】本題不能直接寫出B=1，1，因為1可能等于1，與集合元素的互異性矛盾，另外還要考慮到集合B有可能是空集，還有可能是單元素集的情況類型三、集合的關(guān)系與運算例4.設(shè)集合A=|=3n2,nZ，集合B=b|b=3k1,kZ，則集合A、B的關(guān)系是_ 【思路點撥】【解析】任設(shè)A，則=3n2=3(n1)1(nZ)， nZ,n1Z. B,故 又任設(shè) bB，則 b=3k1=3(k1)2(kZ), kZ,k1Z. bA，故 由、知A=B【總結(jié)升華】這里說明B或bA的過程中，關(guān)鍵是先要變（或湊）出形式，然后再推理舉一反三：【變式】記關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集為（I）若，求；（II）若，求正數(shù)的取值范圍【思路點撥】先解不等式求得集合和【解析】（I）由，得（II）由，得，又，所以，即的取值范圍是例5.設(shè)集合,則滿足的集合B的個數(shù)是（ ）A . 1 B .3 C .4 D . 8【解析】，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個.故選C.【總結(jié)升華】本題考查了并集運算以及集合的子集個數(shù)問題，同時考查了等價轉(zhuǎn)化思想.例6.設(shè)全集U=x|0<x<10,xN*，若AB=3，ACUB=1，5，7，CUACUB=9，則集合A、B是_【思路點撥】本題用推理的方法求解不如先畫出文氏圖，用填圖的方法來得簡捷，由圖不難看出【解析】A=1，3，5，7，B=2，3，4，6，8【總結(jié)升華】類似本題多個集合問題，借助于數(shù)軸上的區(qū)間圖形表示進行處理，采用數(shù)形結(jié)合的方法，會得到直觀、明了的解題效果類型四、空集的特殊性空集是一個特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集顯然，空集與任何集合的交集為空集，與任何集合的并集仍等于這個集合當(dāng)題設(shè)中隱含有空集參與的集合關(guān)系時，其特殊性很容易被忽視的，從而引發(fā)解題失誤例7. 已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若A=，則實數(shù)m的取值范圍是_【思路點撥】從方程觀點看，集合A是關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程x2(m2)x1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A=可知該方程只有兩個負根或無實數(shù)根，從而分別由判別式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式，并解出m的范圍【解析】由A=又方程x2(m2)x1=0無零根，所以該方程只有兩個負根或無實數(shù)根， 或=(m2)24<0解得m0或4<m<0，即m>4【總結(jié)升華】此題容易發(fā)生的錯誤是由A=只片面地推出方程只有兩個負根（因為兩根之積為1，因為方程無零根），而把A=漏掉，因此要全面準確理解和識別集合語言例8.已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，則實數(shù)p的取值范圍是_【解析】由x23x100得2x5 欲使BA，只須 p的取值范圍是3p3上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結(jié)論，即B=時，符合題設(shè)應(yīng)有：當(dāng)B時，即p12p1p2由BA得：2p1且2p15由3p3 2p3.當(dāng)B=時，即p1>2p1p2由、得：p3點評：從以上解答應(yīng)看到：解決有關(guān)AB=、AB=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題類型五、集合的新定義問題例9.已知函數(shù)的定義域為實數(shù)集,滿足(是的非空真子集),在上有兩個非空真子集,且,則的值域為（ ）A B C D 【思路點撥】首先根據(jù)定義準確理解“”，根據(jù)集合所滿足的條件分析元素與各個集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)定義分別求出、以及的值，然后代入的表達式中求值.【答案】B【解析】因為，實數(shù)與集合、的關(guān)系共有三種：（1），則必有，又因為，故，根據(jù)定義得；（2），則必有，又因為，故，根據(jù)定義得；（3）且，顯然，根據(jù)定義得.綜上，函數(shù)的值域中只有一個元素1，即函數(shù)的值域為，故選B.【總結(jié)升華】解決此類新定義的問題，其關(guān)鍵在于準確理解定義，然后根據(jù)定義進行逐步推理運算，將其轉(zhuǎn)化為自己熟悉的集合知識，利用元素與集合之間的關(guān)系、集合之間的關(guān)系以及集合的基本運算問題來解決.【變式】設(shè)、為兩個非空實數(shù)集合，定義集合，若， ，則集合中元素的個數(shù)是（）A2B3C4D5【答案】B【解析】當(dāng)時，無論取何值，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.故，該集合中共有三個元素.例10.定義集合運算：設(shè),則集合的所有元素之和為 （ ）A0 B2 C3 D6【思路點撥】本題為新定義問題，可根據(jù)題中所定義的的定義，求出集合，而后再進一步求解【解析】由的定義可得：，故選D【總結(jié)升華】近年來，新定義問題也是高考命題的一大亮點，此類問題一般難度不大，需嚴格根據(jù)題中的新定義求解即可，切忌同腦海中已有的概念或定義相混淆關(guān)于逆命題、否命題、逆否命題，也可以有如下表述：第一：交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題為逆命題；第二：同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題為否命題；第三：交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題為逆否命題；例11.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為k，即k5nk|nZ，k0，1，2，3，4。給出如下四個結(jié)論：20111；33；Z01234；“整數(shù)a，b屬于同一類”的充要條件是“ab0。其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）A1 B2C3D4 【思路點撥】對各個選項進行分析：2011÷5=4021；-3÷5=-12，整數(shù)集中的數(shù)被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，故Z=01234；從正反兩個方面考慮即可得答案【答案】C【解析】2011÷5=4021，20111，故正確；-3=5×（-1）+2，-33，故錯誤；因為整數(shù)集中的數(shù)被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，故Z=01234，故正確；整數(shù)a，b屬于同一“類”，整數(shù)a，b被5除的余數(shù)相同，從而a-b被5除的余數(shù)為0，反之也成立，故“整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“a-b0”故正確故正確的是：，選C【總結(jié)升華】本題為同余的性質(zhì)的考查，具有一定的創(chuàng)新，關(guān)鍵是對題中“類”的題解，屬基礎(chǔ)題類型六、命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞例12.已知a，b，cR，命題“若abc3，則a2b2c23”的否命題是()A若abc3，則a2b2c2<3B若abc3，則a2b2c2<3C若abc3，則a2b2c23D若a2b2c23，則abc3【答案】A【解析】命題的否命題是原命題的條件與結(jié)論分別否定后組成的命題，所以選擇A.【總結(jié)升華】一個命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當(dāng)變更條件和結(jié)論后得到的形式上的命題，解這類試題時要注意對于一些關(guān)鍵詞的否定，如本題中等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于；進行充要條件判斷實際上就是判斷兩個命題的真假，這里要注意斷定一個命題為真需要進行證明，斷定一個命題為假只要舉一個反例即可例13.已知命題函數(shù)的定義域為；命題函數(shù)是減函數(shù).若命題和“或”為真，則實數(shù)的取值范圍是 （ ） A. B. C. D.【思路點撥】先分別求出兩個命題為真時實數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假判斷兩個命題的真假，求出相應(yīng)的實數(shù)的取值范圍.【答案】C【解析】為真，則，即；為真，則，即.因為命題和“或”為真，所以命題假，命題為真.故的取值范圍是.【總結(jié)升華】命題真假的判定方法：（1）簡單命題的判斷根據(jù)所涉及到的只是直接進行判斷；（2）四種命題的真假判斷，互為逆否命題的兩個命題的真假相同；（3）含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假根據(jù)真值表，記住相應(yīng)的規(guī)律；（4）含有量詞的命題的真假根據(jù)相關(guān)知識進行判斷.舉一反三：【變式】原命題：“設(shè)，若，則.”以及它的逆命題，否命題、逆否命題中，真命題共有（）個.A0 B1 C2 D4【解析】因為當(dāng)時，故原命題是假命題，其逆否命題也是假命題.逆命題為：若，則.顯然由可知（若，則，與已知矛盾），根據(jù)不等式乘法的單調(diào)性，兩邊同時乘以，可得.即逆命題是正確的，由因為逆命題和否命題互為逆否命題，所以否命題也是正確的.故原命題的逆命題和否命題是真命題，應(yīng)選C.【答案】C例14.已知命題所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是（ D ）ABCD【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 為真命題.【總結(jié)升華】真假判斷（真值表）可概括為: p或q：同假為假，一真為真； p且q：同真為真，一假為假；非p： 真假相反，真假假真舉一反三：【變式1】下列命題是真命題的為 A若,則 B若,則 C若,則 D若,則 【答案】A【解析】由得,而由得,由,不一定有意義,而得不到 故選A. 【變式2】設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集若對任意x，yS，都有xy，xy，xyS，則稱S為封閉集下列命題：集合Sabi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位為封閉集；若S為封閉集，則一定有0S；封閉集一定是無限集；若S為封閉集，則滿足STC的任意集合T也是封閉集其中真命題是_(寫出所有真命題的序號)【答案】 【解析】 設(shè)xa1b1i，ya2b2i，a1，b1，a2，b2為整數(shù)，則xy(a1a2)(b1b2)i，xy(a1a2)(b1b2)i，xy(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i，由于a1，b1，a2，b2為整數(shù)，故a1±a2，b1±b2，a1a2b1b2，a1b2a2b1都是整數(shù)，所以xy，xy，xyS，故集合Sabi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位為封閉集，是真命題；若S是封閉集，取xyS，則根據(jù)封閉集的定義，xyxx0S，故命題正確；集合S0顯然是封閉集，故封閉集不一定是無限集，命題不正確；集合S00,1TC，容易驗證集合T不是封閉集，故命題不是真命題類型七、充要條件例15.已知，表示兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【解析】由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面內(nèi)的一條直線,則,反過來則不一定.所以“”是“”的必要不充分條件.【總結(jié)升華】判斷充要條件: 首先要分清誰是條件，誰是結(jié)論；然后再條件推結(jié)論，結(jié)論推條件，最后判定。例16. “”是“”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【思路點撥】簡易邏輯考查重點是命題的真假情況，全稱量詞與存在量詞，充要條件。全稱量詞與存在量詞是新增內(nèi)容，沒有出現(xiàn)單獨命題的情況，只是在大題中有體現(xiàn)。充要條件是近幾年的高考的重點內(nèi)容，它可與三角、立體幾何、解析幾何，不等式等知識聯(lián)系起來綜合考查【解析】當(dāng)時， 反之，當(dāng)時，有， 或，故應(yīng)選A.【總結(jié)升華】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 例17. “”是“”的( )A充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A 【解析】由得，所以易知選A. 【總結(jié)升華】不等式解集問題可類比集合間的包含關(guān)系判斷,大范圍推出小范圍.類型八、含有量詞的命題例18.命題“對任意的，”的否定是（ ）A不存在， B存在，C存在， D對任意的，【答案】C【解析】一個命題的否定其實就是推翻這個命題，要推翻“對任意的，”，我們只要有一個，使就足夠了即存在，選【總結(jié)升華】全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是特稱命題.但同一個特稱或全稱命題由于語言環(huán)境的不同,可有不同的表述方法,在實際應(yīng)用中要靈活選擇.舉一反三：【變式1】命題“存在R，0”的否定是 A. 不存在R, >0 B. 存在R, 0 C. 對任意的R, 0 D. 對任意的R, >0【解析】由題否定即“不存在，使”，故選擇D?！咀兪?】已知命題：，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C.