數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分 專題十一探索性問題的解法

專題十一專題十一 探索性問題的解法探索性問題的解法數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分?jǐn)?shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分應(yīng)試策略應(yīng)試策略 考題剖析考題剖析 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 030507探索性問題的解法探索性問題的解法 探索性問題常常需要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論，或由問題的題干去追溯相應(yīng)的條件，要求在解題之前必須透過問題的表象去尋找、去發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西.問題增加了許多可變的因素，思維指向不明顯，解題時(shí)往往難于下手. 近年來(lái)，探索性問題在高考試題中多次出現(xiàn)，主要有以下幾類： (1)探索條件型問題：從給定的問題結(jié)論出發(fā)，追溯結(jié)論成立的充分條件；試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)探索性問題的解法探索性問題的解法 (2)探索結(jié)論型問題：從給定的題設(shè)條件出發(fā)，探求相關(guān)的結(jié)論； (3)探索存在型問題：從假設(shè)相關(guān)結(jié)論存在出發(fā)，從而肯定或否定這種結(jié)論是否存在； (4)探索綜合型問題：從變更題設(shè)條件或問題的結(jié)論的某個(gè)部分出發(fā)，探究問題的相應(yīng)變化. 2007年數(shù)學(xué)試卷中繼續(xù)保持了探索型、開放型、研究型等題型，形式上也有突破，如只猜不證，只算不寫等；填空題中出現(xiàn)了條件、結(jié)論完全開放的設(shè)計(jì)，題型的創(chuàng)新，帶來(lái)了新的理念，也必將促進(jìn)教學(xué)的創(chuàng)新.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)探索性問題的解法探索性問題的解法應(yīng)應(yīng) 試試 策策 略略 問題的條件不完備，結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征，從探索性問題的解題過程來(lái)看，沒有確定的模式，可變性多，對(duì)觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、猜想、抽象、概括，特別是對(duì)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力要求較高.探索性問題的常見解法有： (1)從最簡(jiǎn)單、最特殊的情況出發(fā)，有時(shí)也可借助直覺觀察或判斷，推測(cè)出命題的結(jié)論，必要時(shí)給出嚴(yán)格證明； (2)假設(shè)結(jié)論存在，若推證無(wú)矛盾，則結(jié)論確實(shí)存在，若推出矛盾，則結(jié)論不存在； (3)使用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，找出命題成立的充要條件.應(yīng)試策略應(yīng)試策略探索性問題的解法探索性問題的解法考考 題題 剖剖 析析 . .（2007上海市新中第一考試） （1）證明：當(dāng)a1時(shí)，不等式a3+ a2+ 成立; （2）要使上述不等式a3+ a2+ 成立，能否將條件“a1”適當(dāng)放寬？若能，請(qǐng)放寬條件并簡(jiǎn)述理由；若不能，也請(qǐng)說(shuō)明理由; （3）請(qǐng)你根據(jù)（1）、（2）的證明，試寫出一個(gè)類似的更為一般的結(jié)論，且給予證明.考題剖析考題剖析探索性問題的解法探索性問題的解法 解 析（1）證明：a3+ a2 = (a1)(a51),a1， (a1)(a51)0，原不等式成立 （2）a1與a51同號(hào)對(duì)任何a0且a1恒成立，上述不等式的條件可放寬為a0且a1 31a21a31a31a31a21a31a21a考題剖析考題剖析 （3）根據(jù)（1）（2）的證明，可推知：若a0且a1，mn0，則有am+ an+證：左式右式=aman+ =an(amn1) (amn1) = (amn1)(am+n1) 若a1，則由mn0 amn1, am+n1 不等式成立； 若0a1，則由mn0 0amn1, 0am+n1 不等式成立探索性問題的解法探索性問題的解法ma1na1ma1na1ma1ma1考題剖析考題剖析 點(diǎn)評(píng)這是一道類比研究探索結(jié)論的問題. 閱讀理解原有結(jié)論、觀察規(guī)律，然后將命題增加元素、增添次數(shù)等方式進(jìn)行拓展，這是從特殊到一般的研究問題的方式，也是探索型學(xué)習(xí)的一種常見方式.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 2.2.（2007上海市十一所實(shí)驗(yàn)示范校聯(lián)考）我們把數(shù)列 akn叫做數(shù)列an的k方數(shù)列（其中an0，k，n是正整數(shù)）， S（k，n）表示k方數(shù)列的前n項(xiàng)的和. （1）比較S（1，2）S（3，2）與S（2，2）2的大?。?（2）若an的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列，a1=a， 求an的k方數(shù)列通項(xiàng)公式； （3）對(duì)于常數(shù)數(shù)列an=1，具有關(guān)于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，請(qǐng)你對(duì)數(shù)列an的k方數(shù)列進(jìn)行研究，寫出一個(gè)不是常數(shù)數(shù)列an的k方數(shù)列關(guān)于S（k，n）的恒等式，并給出證明過程.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 解析（1）S（1，2）=a1+a2, S (3 ，2) = , S (2 ，2) = S（1，2）S（3，2）S（2，2）2 = (a1+a2)( )( )2 = = a1a2(a1a2)2 an0,S(1,2)S(3,2)S(2,2)2探索性問題的解法探索性問題的解法3231aa 2221aa 3231aa 2221aa 22213123212aaaaaa考題剖析考題剖析 （2）設(shè)anan1=d, 則： d(an+an1)=p d(an+1+an)=p 得 2d2=0，d=p=0 an=an1 =0 探索性問題的解法探索性問題的解法paann212knknaa1kknaa 考題剖析考題剖析 （3）當(dāng)an=n時(shí)，恒等式為S（1，n）2=S（3，n）證明：S(1, n)2=S(3, n) S(1, n1)2=S(3, n1)(n2, nN*)相減得：anS(1, n)+S(1, n1)=S(1, n) +S(1, n1)= ，S(1, n1) +S(1, n2)=相減得：an +an1 = , an0， anan1=1, a1=1 an=n探索性問題的解法探索性問題的解法3na2na21na212nnaa 點(diǎn)評(píng)本題主要考查等差數(shù)列、數(shù)列求和等數(shù)列基本知識(shí)，是一道結(jié)論型的探索問題.考題剖析考題剖析 3.3.（2007湖南省師大附中三月模擬）已知數(shù)列an 為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn. （）若a4+a5=0, 試驗(yàn)證:S7=S1, S6=S2, S5=S3成立， 并將其整合為一個(gè)等式； （）一般地，若存在正整數(shù)k，使ak+ak+1=0，我們可將（）中的結(jié)論作相應(yīng)推廣，試寫出推廣后的結(jié)論，并推斷它是否正確.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 解析（）an為等差數(shù)列, 且a4+a5=0.S7=S1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=S1+3(a4+a5)=S1S6=S2+a3+a4+a5+a6=S2+2(a4+a5)=S2S5=S3+a4+a5=S3; 又S4=S4.對(duì)任意nN*, n8, 等式S8n=Sn恒成立.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 （）推廣：設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若存在正整數(shù)k，使ak+ak+1=0,則對(duì)任意nN*, 且n2k, 等式S2kn=Sn恒成立. 設(shè)an的公差為d, ak+ak+1=0, 2a1+(2k1)d=0. S2kn=a1+ (2kn) =( d+ )(2kn) = (2kn)= (2kdnd) = (d2a1nd) =na1+ d=Sn. 故推廣后的結(jié)論正確.探索性問題的解法探索性問題的解法2)12(dnk212 kdnk212dn22n2n2) 1( nn 點(diǎn)評(píng)這是一個(gè)規(guī)律探索性問題.前面相當(dāng)是一個(gè)特例，然后猜想、證明一般結(jié)論.考題剖析考題剖析 4.（2007廣東江門一中）函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+2(xR) （）若f(x)在x(，+)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. （）a=0時(shí)，曲線f(x)=x3+x+2的切線斜率的取值范圍記為集合A，曲線f(x)=x3+x+2上不同兩點(diǎn)P(x1, y1)，Q(x2, y2)連線斜率取值范圍記為集合B，你認(rèn)為集合A、B之間有怎樣的關(guān)系（真子集、相等），并證明你的結(jié)論. （）a=3時(shí)，f(x)=x3+3x2+x+2的導(dǎo)函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱. 你認(rèn)為三次函數(shù)f(x)=x3+3x2+x+2的圖象是否具有某種對(duì)稱性，并證明你的結(jié)論.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 解析（）f(x)=x3+ax2+x+2得 f(x)=3x2+2ax+1若=4a2120 ,即 a 時(shí),對(duì)于xR, 有f(x)0,f(x)在R上單調(diào)遞增若=4a212=0, 即a= 時(shí), 對(duì)于xR,有f(x)0, 當(dāng)且僅當(dāng)f( )=0故f(x)在R上單調(diào)遞增若0，顯然不合綜合所述，f(x)在R上是增函數(shù), a取值范圍為a , 探索性問題的解法探索性問題的解法3333a33考題剖析考題剖析 （）B A 證明：f(x)=x3+x+2有f(x)=3x2+11故A=1,+). 設(shè)PQ斜率k，則 k = = = =x1x2故若x2=0有x1+ =x10若x1+ =0有x1= 0得x20(x1+ )2+ 0 , 得k1, B=(1,+)故B A探索性問題的解法探索性問題的解法2121)()(xxxfxf21213231)()(xxxxxx2122212121) 1)(xxxxxxxx143)2(122221222121xxxxxxx22x22x22x4322x22x考題剖析考題剖析 （）f(x)=x3+3x2+x+2的圖象具備中心對(duì)稱證法1：由f(x)=3x2+6x+1對(duì)稱軸x=1現(xiàn)證f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)C(1, 3)中心對(duì)稱設(shè)M(x, y)是y=f(x)圖象上任意一點(diǎn), 且M(x, y)關(guān)于C(1, 3)對(duì)稱的點(diǎn)為N(x0, y0) , 則 得 f(x0)= =(2x)3+3(2x)2+(2x)+2 =(8+12x+6x2+x3)+3(4+4x+x2)x =(x3+3x2+x+2)+6=y+6=y0 , 即y0=f(x0) 故M關(guān)于點(diǎn)C(1, 3)對(duì)稱的點(diǎn)N(x0, y0)也在函數(shù)y=f(x)圖象 函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)C(1, 3)對(duì)稱探索性問題的解法探索性問題的解法321200yyxxyyxx62002302030 xxx考題剖析考題剖析 證法2：設(shè)y=f(x)圖象的對(duì)稱中心(m, n)則把y=f(x)圖象按向量b=(m,n)平移,得到y(tǒng)=g(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 即y=g(x)是奇函數(shù)g(x)=f(x+m)n=(x+m)3+3(x+m)2+(x+m)+2n=(x3+3x2m+3xm2+m3)+3(x2+2mx+m2)+x+m+2n=x3+(3m+3)x2+(3m2+6m+1)x+m3+3m2+m+2ng(x)是奇函數(shù)的充要條件是 得y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1, 3)中心對(duì)稱探索性問題的解法探索性問題的解法02303323nmmmm31nm考題剖析考題剖析 點(diǎn)評(píng)本題主要是考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用、集合的關(guān)系、函數(shù)的對(duì)稱性等問題，第一問實(shí)則是探索問題成立的充分條件，第二問是結(jié)論探索、第三問是是否存在性問題.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 5.5.（2007山東省泰安市第一次考試）如圖， 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形， PA平面ABCD，PA=AD，AB= AD， E是線段PD上的點(diǎn)，F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn)， 且 （）判斷EF與平面PBC的關(guān)系，并證明； （）當(dāng)=1時(shí)，證明DF平面PAC； （）是否存在實(shí)數(shù)，使異面直線EF與CD所成角為60？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.探索性問題的解法探索性問題的解法2).0(FABFEDPE考題剖析考題剖析 解析（）EF平面PBC. 證明如下：作FGBC交CD于G，連結(jié)EG，則 PCEG又FGBC，BCPC=C，F(xiàn)GGE=G.平面PBC平面EFG.又EF 平面EFGEF平面PBC探索性問題的解法探索性問題的解法GDCGFABFFABFEDPEGDCGEDPE （）=1，則F為AB的中點(diǎn). 又AB= AD, AF= AB 在RtFAD與RtACD中 tanAFD= = = tanCAD= = AFD=CAD ACDF 又PA平面ABCD，DF 平面ABCD PADF. DF平面PAC考題剖析考題剖析探索性問題的解法探索性問題的解法221AFADADAD222ADADADCD22考題剖析考題剖析 （）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=AD=1， 則A（0，0，0），B（ ，0，0），D（0，1，0）， C（ ，1，0），P（0，0，1）. 又 (0) F( ) 設(shè)E(0, y0, z0) 則 =(0, y0, z01), =(0, 1y0, z0)又 (0)即 = (0, y0, z01)=(0, 1y0, z0) 即E(0, , ) =( ), =( , 0, 0)探索性問題的解法探索性問題的解法FABFEDPE220 , 0 ,12PEEDEDPEPEED11100zy11111,1,12EFCD2 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使異面直線EF與CD所成的角為60，則cos60=2=5 = 存在實(shí)數(shù)= 使異面直線EF與CD所成的角為60.2132213|12|22CDEFCDEF5 點(diǎn)評(píng)本題主要考查立體幾何的空間想象能力、推理論證能力和探索問題解決問題的能力.第一問即改變常見提前方式即只要證明結(jié)論成立，而改為一種探索結(jié)論的提問方式要求先判斷再證明，增大了難度.第三問是是否存在型探索問題，一般是假設(shè)存在當(dāng)成條件進(jìn)行論證，存在要求說(shuō)明理由，不存在或者推出矛盾或者只要能舉出個(gè)反例即可.考題剖析考題剖析探索性問題的解法探索性問題的解法5 6.6.（2007湖北地區(qū)適應(yīng)考試2）三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，有下列兩個(gè)條件：（1）a、b、c成等差數(shù)列；（2）a、b、c成等比數(shù)列.現(xiàn)給出三個(gè)結(jié)論： （1）0B ; （2）acos2 +ccos2 = ; （3）1 . 請(qǐng)你選取給定的兩個(gè)條件中的一個(gè)條件為條件，三個(gè)結(jié) 論中的兩個(gè)為結(jié)論，組建一個(gè)你認(rèn)為正確的命題，并證明之.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析32C2A23b2sincos2sin1BBB 解析可以組建命題一：ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證：（1）0B （2）acos2 +ccos2 = ； 命題二：ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證：（1）0B （2）1 命題三：ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證：（1）acos2 +ccos2 = （2）1 命題四：ABC中，若a、b、c成等比數(shù)列，求證：（1）0B （2）1探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析32C2A23b32sincos2sin1BBB2C2A23b2sincos2sin1BBB2sincos2sin1BBB3 下面給出命題一、二、三的證明：（1）a、b、c成等差數(shù)列2b=a+c，b= cosB= = 且B（0，），0B（2）acos2 +ccos2 = a =探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析2caaccacaacbca2)2(22222222182682)( 322acacacacacca32C2A2cos12cos1AcC23222coscos2bbcaAcCaca （3） = cosB+sinB= cos(B )0B B cos(B )1 1 cos(B )下面給出命題四的證明： （4）a、b、c成等比數(shù)列b2=a+c，cosB= 且B（0，），0B探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析BBBBBBBsincos)sin(cossincos2sin12243124422442221222222222acacacacaccaacbca3 點(diǎn)評(píng)本題是根據(jù)國(guó)家新教材的變化特點(diǎn)而設(shè)計(jì)的一道開放式的動(dòng)態(tài)三角題，結(jié)論未知，首先應(yīng)構(gòu)建一個(gè)正確的命題，然后再證明，是一道從猜想到探究、發(fā)現(xiàn)、論證的探索性的題，也是一道屬較難的題.