數(shù)學(xué)：112《分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理》（2）課件（人教A版選修） (2)

1.1.2分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理(二二)1、分類加法計(jì)數(shù)原理、分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有：完成一件事，有n類辦法，在類辦法，在第第1類辦法中有類辦法中有m1種不同的方法種不同的方法,在第在第2類辦法中有類辦法中有m2種不同的方法種不同的方法在第在第n類辦法中類辦法中有有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件事共有那么完成這件事共有 種不同的方種不同的方法法. .12nNmmm2 2、分步乘法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n個(gè)步個(gè)步驟，做第驟，做第1 1步有步有m m1 1種不同的方法種不同的方法, ,做第做第2 2步有步有m m2 2種不同的種不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件那么完成這件事共有事共有 種不同的方法種不同的方法. .12nNmmm分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)。分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)?；卮鸬亩际怯嘘P(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理 分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理完成一件事，共有完成一件事，共有n類辦法，關(guān)鍵詞類辦法，關(guān)鍵詞“分類分類”區(qū)別區(qū)別1完成一件事，共分完成一件事，共分n個(gè)步驟，關(guān)鍵詞個(gè)步驟，關(guān)鍵詞“分步分步”區(qū)別區(qū)別2區(qū)別區(qū)別3每類辦法都能獨(dú)立地每類辦法都能獨(dú)立地完成這件事情，它是完成這件事情，它是獨(dú)立的、一次的、且獨(dú)立的、一次的、且每次得到的是最后結(jié)每次得到的是最后結(jié)果，果，只須一種方法就只須一種方法就可完成這件事?？赏瓿蛇@件事。每一步得到的只是中間結(jié)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，步也不能完成這件事，只只有各個(gè)步驟都完成了，才有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事。能完成這件事。各類辦法是互相獨(dú)立的。各類辦法是互相獨(dú)立的。 各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。即：即：類類獨(dú)立，步步關(guān)聯(lián)類類獨(dú)立，步步關(guān)聯(lián)。例例1. 1. 五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，冠軍獲得者有多少種不奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，冠軍獲得者有多少種不同可能性（沒有并列冠軍）？同可能性（沒有并列冠軍）？ 解：（解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為44444= 種種 .54（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此其中的一項(xiàng)獲軍，因此冠軍獲得者冠軍獲得者有有5種可能性，故有種可能性，故有n=5= 種種 .45例例2.給程序模塊命名，需要用給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首個(gè)字個(gè)字符，其中首個(gè)字符要求用字母符要求用字母AG或或UZ，后兩個(gè)要求用數(shù)字，后兩個(gè)要求用數(shù)字19，問最多可以給多少個(gè)程序命名？，問最多可以給多少個(gè)程序命名？分析：分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。解：解：首字符共有首字符共有7+613種不同的選法，種不同的選法，答：答：最多可以給最多可以給10531053個(gè)程序命名。個(gè)程序命名。中間字符和末位字符各有中間字符和末位字符各有9種不同的選法種不同的選法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，最多可以有根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，最多可以有13991053種不同的選法種不同的選法例例4.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有用了每一位只有0或或1兩種數(shù)字的計(jì)數(shù)法，即二進(jìn)制，為了使計(jì)兩種數(shù)字的計(jì)數(shù)法，即二進(jìn)制，為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成，問量單位，每個(gè)字節(jié)由個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成，問（1）一個(gè)字節(jié)（）一個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（GB碼）包含了碼）包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？少個(gè)字節(jié)表示？第1位第2位第3位第8位2種2種2種2種如如00000000，10000000，11111111.開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A例例5.計(jì)算機(jī)編程人員在編計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后要對(duì)程序進(jìn)寫好程序以后要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試。程序員需要知道行測(cè)試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的線），程序從開始到結(jié)束的線），以便知道需要提供多少個(gè)以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)。一般的，一個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)。一般的，一個(gè)程序模塊又許多子模塊組程序模塊又許多子模塊組成，它的一個(gè)具有許多執(zhí)成，它的一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問：行路徑的程序模塊。問：這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測(cè)行路徑？另外為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？以減少測(cè)試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：分析：整個(gè)模塊的任整個(gè)模塊的任意一條路徑都分兩步意一條路徑都分兩步完成完成：第第1步步是從開是從開始執(zhí)行到始執(zhí)行到A點(diǎn)；點(diǎn)；第第2步步是從是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束。而第一步可由子模塊而第一步可由子模塊1或子模塊或子模塊2或子模塊或子模塊3來(lái)完成；第二步可來(lái)完成；第二步可由子模塊由子模塊4或子模塊或子模塊5來(lái)完成。因此，分析來(lái)完成。因此，分析一條指令在整個(gè)模塊一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，需要測(cè)息交流是否正常，需要測(cè)試的次數(shù)為：試的次數(shù)為：3*2=6。如果每個(gè)子模塊都正常工如果每個(gè)子模塊都正常工作，并且各個(gè)子模塊之間作，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就正常。整個(gè)程序模塊就正常。這樣，測(cè)試整個(gè)這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)槟K的次數(shù)就變?yōu)?172+6=178（次）（次）2）在實(shí)際測(cè)試中，程序）在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過只考成一個(gè)黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊。塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊。這樣，他可以先分別單獨(dú)這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常。個(gè)子模塊的工作是否正常。總共需要的測(cè)試次數(shù)為：總共需要的測(cè)試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172。例例6.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車牌照號(hào)碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺(tái)了一種汽車牌長(zhǎng)，汽車牌照號(hào)碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有個(gè)不重復(fù)的英文字母照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有個(gè)不重復(fù)的英文字母和個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，和個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照車上牌照?1、乘積、乘積 展開后共有幾項(xiàng)？展開后共有幾項(xiàng)？)()(54321321321cccccbbbaaa2、某商場(chǎng)有、某商場(chǎng)有6個(gè)門，如果某人從其中的任意一個(gè)個(gè)門，如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)入商場(chǎng)，并且要求從其他的門出去，共有多門進(jìn)入商場(chǎng)，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式？少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式？ 3.如圖如圖,該電該電路路,從從A到到B共共有多少條不有多少條不同的線路可同的線路可通電？通電？AB所以所以, 根據(jù)分類原理根據(jù)分類原理, 從從A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 條不同的線路可通電。條不同的線路可通電。在解題有時(shí)既要分類又要分步。在解題有時(shí)既要分類又要分步。解解: 從總體上看由從總體上看由A到到B的通電線路可分三類的通電線路可分三類,第一類第一類, m1 = 3 條條第二類第二類, m2 = 1 條條第三類第三類, m3 = 22 = 4, 條條1.1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？ 分類記數(shù)原理和分步記數(shù)原理。 2.2.分類記數(shù)原理和分步記數(shù)原理的共同點(diǎn)是什么？分類記數(shù)原理和分步記數(shù)原理的共同點(diǎn)是什么？不同點(diǎn)什么？不同點(diǎn)什么？ 答答: : 共同點(diǎn)是, 它們都是研究完成一件事情, 共有多少種不同的方法。 不同點(diǎn)是, 它們研究完成一件事情的方式不同,分類記數(shù)原理是“分類完成”, 即任何一類辦法中的任何一個(gè)方法都能完成這件事。分步記數(shù)原理是“分步完成”, 即這些方法需要分步,各個(gè)步驟順次相依,且每一步都完成了,才能完成這件事情。這也是本節(jié)課的重點(diǎn)。3.3.何時(shí)用分類記數(shù)原理、分步記數(shù)原理呢何時(shí)用分類記數(shù)原理、分步記數(shù)原理呢? ? 完成一件事情有n類方法,若每一類方法中的任何一種方法均能將這件事情從頭至尾完成,則計(jì)算完成這件事情的方法總數(shù)用分類記數(shù)原理。 完成一件事情有n個(gè)步驟,若每一步的任何一種方法只能完成這件事的一部分,并且必須且只需完成互相獨(dú)立的這n步后,才能完成這件事,則計(jì)算完成這件事的方法總數(shù)用分步記數(shù)原理。