高考總復(fù)習(xí) 函數(shù)的定義域與值域課件

第五講第五講 函數(shù)的定義域與值域函數(shù)的定義域與值域回歸課本回歸課本1.函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量自變量的取值范圍的取值范圍.注意注意:(1)確定函數(shù)定義域的原則確定函數(shù)定義域的原則:當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=f(x)用表格給出時(shí)用表格給出時(shí),函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)數(shù)x的集合的集合;當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象給出時(shí)用圖象給出時(shí),函數(shù)的定義域是指圖象在函數(shù)的定義域是指圖象在x軸軸上投影所覆蓋的實(shí)數(shù)的集合上投影所覆蓋的實(shí)數(shù)的集合;當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時(shí)用解析式給出時(shí),函數(shù)的定義域是指使解析函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)的集合式有意義的實(shí)數(shù)的集合;當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=f(x)由實(shí)際問題給出時(shí)由實(shí)際問題給出時(shí),函數(shù)的定義域由實(shí)際問函數(shù)的定義域由實(shí)際問題的意義確定題的意義確定.(2)定義域可分為自然定義域與限定定義域兩類定義域可分為自然定義域與限定定義域兩類:如果只給函數(shù)解析式如果只給函數(shù)解析式(不注明定義域不注明定義域),其定義域應(yīng)為使解其定義域應(yīng)為使解析式有意義的自變量的取值范圍析式有意義的自變量的取值范圍,稱為自然定義域稱為自然定義域;如果函數(shù)受應(yīng)用條件或附加條件制約如果函數(shù)受應(yīng)用條件或附加條件制約,其定義域稱為限定其定義域稱為限定定義域定義域.(3)復(fù)合函數(shù)定義域的求法復(fù)合函數(shù)定義域的求法:若已知函數(shù)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閍,b,其復(fù)合函數(shù)其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義的定義域應(yīng)由不等式域應(yīng)由不等式ag(x)b解出解出.2.函數(shù)的值域函數(shù)的值域在函數(shù)在函數(shù)y=f(x)中中,與自變量與自變量x的值相對(duì)應(yīng)的的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫函數(shù)值的值叫函數(shù)值,函函數(shù)值數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域的集合叫做函數(shù)的值域.注意注意:確定函數(shù)的值域的原則確定函數(shù)的值域的原則當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=f(x)用表格給出時(shí)用表格給出時(shí),函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)y的集合的集合;當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象給出時(shí)用圖象給出時(shí),函數(shù)的值域是指圖象在函數(shù)的值域是指圖象在y軸上軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合的集合;當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時(shí)用解析式給出時(shí),函數(shù)的值域由函數(shù)的定義函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定域及其對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定;當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問題給出時(shí)當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問題給出時(shí),函數(shù)的值域由問題的實(shí)際意義函數(shù)的值域由問題的實(shí)際意義確定確定.考點(diǎn)陪練考點(diǎn)陪練0.51(43)33.,1.,443.(1,).,1(1,41.(2010)logxABCD湖北 函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?.5:log4x304x3004x31.A.,331,1 ,44x解析 由且得即函數(shù)的定義域是選答案答案:A2.(2010)yA. 0,B. 0,4C. 0,4D. 0,1464x重慶 函數(shù)的值域是（ ）x1641:0 16416,04,y0,4 ,.61C64xx解析 由已知得 即函數(shù)的值域是選答案答案:C3.函數(shù)函數(shù)y=x2-2x的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,1,2,3,那么其值域?yàn)槟敲雌渲涤驗(yàn)? )A.-1,0,3 B.0,1,2,3C.y|-1y3 D.y|0y3答案答案:A 23111.,.,1331 11.,.,4.f xlg 3x13 33xxABCD函數(shù)的定義域是（）答案答案:B5.函數(shù)函數(shù)y=f(x)的值域是的值域是-2,2,定義域是定義域是R,則函數(shù)則函數(shù)y=f(x-2)的的值域是值域是( )A.-2,2 B.-4,0C.0,4 D.-1,1答案答案:A類型一類型一函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:(1)已知解析式求定義域的問題已知解析式求定義域的問題,應(yīng)根據(jù)解析式中各應(yīng)根據(jù)解析式中各部分的要求部分的要求,首先列出自變量應(yīng)滿足的不等式或不等式組首先列出自變量應(yīng)滿足的不等式或不等式組,然后解這個(gè)不等式或不等式組然后解這個(gè)不等式或不等式組,解答過程要注意考慮全面解答過程要注意考慮全面,最后定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式最后定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式. (2)確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的定義域當(dāng)當(dāng)f(x)是整式時(shí)是整式時(shí),其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)镽.當(dāng)當(dāng)f(x)是分式時(shí)是分式時(shí),其定義域是使得分母不為其定義域是使得分母不為0的實(shí)數(shù)的集合的實(shí)數(shù)的集合.當(dāng)當(dāng)f(x)是偶次根式時(shí)是偶次根式時(shí),其定義域是使得根號(hào)內(nèi)的式子大于或其定義域是使得根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于等于0的實(shí)數(shù)的集合的實(shí)數(shù)的集合.對(duì)于對(duì)于x0,x不能為不能為0,因?yàn)橐驗(yàn)?0無意義無意義.f(x)=tanx的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閒(x)=logax(a0且且a1)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤|x0.由實(shí)際問題確定的函數(shù)由實(shí)際問題確定的函數(shù),其定義域要受實(shí)際問題的約束其定義域要受實(shí)際問題的約束,要要具體問題具體分析具體問題具體分析.分段函數(shù)的定義域是各段中自變量取值范圍的并集分段函數(shù)的定義域是各段中自變量取值范圍的并集.|,.2x xRZxkk且抽象函數(shù)抽象函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0,1),是指是指x(0,1)而非而非02x+11;已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0,1),求求f(2x+1)的定的定義域時(shí)義域時(shí),應(yīng)由應(yīng)由02x+11得出得出x的范圍即為所求的范圍即為所求. 22(2 )91f x.lg xxx【典例 】求函數(shù)的定義域 分析分析 只需要使解析式有意義只需要使解析式有意義,列不等式組求解列不等式組求解.2220,90,20,:3x02x3.3,02.33,3,.xxxxxx 解 要使函數(shù)有意義 則只需要或即解得或故函數(shù)的定義域是類型二類型二復(fù)合函數(shù)的定義域復(fù)合函數(shù)的定義域解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:已知已知fg(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤(a,b),求求f(x)的定義域的定義域,其方法是其方法是:利用利用axb,求得求得g(x)的范圍的范圍,此即為此即為f(x)的定義的定義域域.已知已知f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤(a,b),求求fg(x)的定義域的定義域,其方法是其方法是:利用利用ag(x)b,求得求得x的范圍的范圍,此即為此即為fg(x)的定義域的定義域.定義域經(jīng)常作為基本條件出現(xiàn)在試題中定義域經(jīng)常作為基本條件出現(xiàn)在試題中,具有一定的隱蔽性具有一定的隱蔽性.所以在解決函數(shù)問題時(shí)所以在解決函數(shù)問題時(shí),必須按照必須按照“定義域優(yōu)先定義域優(yōu)先”的原則的原則,通過分析定義域來幫助解決問題通過分析定義域來幫助解決問題.【典例典例2】 (1)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,1,求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的定義域定義域:f(x2); (2)已知函數(shù)已知函數(shù)flg(x+1)的定義域是的定義域是0,9,則函數(shù)則函數(shù)f(2x)的定義域的定義域?yàn)闉開.(1).fx 分析分析 根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的含義求解根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的含義求解.解析解析 (1)f(x)的定義域是的定義域是0,1,要使要使f(x2)有意義有意義,則必有則必有0 x21,解得解得-1x1.f(x2)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?1,1. xx0112.1x4(x0,)1,42f lg x10,9 ,0 x9,1x1 10,0lg x11f x0,1 . 021,x0.f 2,01.(1)xxxfx由 得 時(shí)才有意義函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?的定義域?yàn)橛?解得 的定義域?yàn)?答案答案 1,4 (-,0類型三類型三求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:求函數(shù)值域的總原則求函數(shù)值域的總原則:由定義域由定義域 對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f在等價(jià)在等價(jià)條件下條件下,巧妙地轉(zhuǎn)化為與巧妙地轉(zhuǎn)化為與y有關(guān)的不等式有關(guān)的不等式.求值域問題技巧性求值域問題技巧性強(qiáng)強(qiáng),要根據(jù)題目特點(diǎn)確定合理的方法要根據(jù)題目特點(diǎn)確定合理的方法,因與函數(shù)的最值密切因與函數(shù)的最值密切相關(guān)相關(guān),?？赊D(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題常可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.2(1)1 2 ;4(2);(3);2(4):1.3yxxyxxsinxycosxyxx【典例 】求下列函數(shù)的值域 分析分析 本題主要考查函數(shù)值域問題本題主要考查函數(shù)值域問題,考查運(yùn)算能力考查運(yùn)算能力 數(shù)形轉(zhuǎn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想化的思想,對(duì)于對(duì)于(1),利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題;對(duì)于對(duì)于(2),利用基本不等式或利用函數(shù)的單調(diào)性求解利用基本不等式或利用函數(shù)的單調(diào)性求解;對(duì)于對(duì)于(3),由函數(shù)的有界性或由幾何法求解由函數(shù)的有界性或由幾何法求解;對(duì)于對(duì)于(4),用求導(dǎo)數(shù)法用求導(dǎo)數(shù)法求解求解. 2211 2,2111(1)2 1(0),2 1:t(t0),x2212yy.txtttt 解解法一 設(shè)得1,211,.1 2,221: 1 2x0,xyx,y,y1111 2,.2222yx 解法二定義域?yàn)楹瘮?shù)在上均單調(diào)遞增 4424,44(2:x0,yxx2,;x0,y4)2 (,x2,.,4,.)4xxxxxxx 解法一 當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 取等號(hào) 當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 取等號(hào)綜上 所求函數(shù)的值域?yàn)?1212121121212112122:x ,x ,xx ,f xf xxxx22xx,f x,2x00 x2,f x.x2,f xf24,x2,f xf 24, 4()(4)44,42.xxx xxxxx x 極大極小解法二 先證此函數(shù)的單調(diào)性任取且當(dāng)或時(shí)遞增當(dāng)或時(shí)遞減故時(shí)時(shí)所求函數(shù)的值域?yàn)?222222223:sinxycosx2y,(sinxcossinsin(x)1,3111)2 ,111,122,|113333,.333y1,y3yycosxyyyyyyyyyy解法一 利用函數(shù)的有界性將原函數(shù)化為令且平方得 原函數(shù)的值域?yàn)?222:.2,0cosx, sinx,cosx, sinxxy1,xy12,0 .,2,0,y0(k x2 ,kxy2k0)22,sinxsinxycosxcosx 解法二 數(shù)形結(jié)合法或圖象法原函數(shù)式可化為此式可以看作點(diǎn)和連線的斜率而點(diǎn)的軌跡方程為如圖所示在坐標(biāo)系中作出圓和點(diǎn)由圖可看出當(dāng)過的直線與圓相切時(shí) 斜率分別取得最大值和最小值 由直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)可設(shè)直線方程為即2| 2 |31,ky3133,3333,.233kksinxcosx 解得斜率的范圍是即函數(shù)的值域?yàn)?22max22 41,1 .x1,1,fx1fx0,f11,f 11,f1.11210,222,222,( )( 1)1.2,2x 1.minxxxxxxxxfff xf 函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)令得得又值域?yàn)?反思感悟反思感悟 第第(1)小題利用換元法易忽視小題利用換元法易忽視t0的條件的條件,第第(2)小小題利用基本不等式時(shí)易漏掉對(duì)題利用基本不等式時(shí)易漏掉對(duì)x0恒成立恒成立,所以函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)镽.由原式得由原式得(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0,當(dāng)當(dāng)y-2=0,即即y=2時(shí)時(shí),方程為方程為3x=0,所以所以x=0R;當(dāng)當(dāng)y-20,即即y2時(shí)時(shí),因?yàn)橐驗(yàn)閤R,所以方程所以方程(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0恒有實(shí)根恒有實(shí)根,=(y+1)2-4(y-2)(y-2)0,即即3y2-18y+150,解得解得1y5.所以函數(shù)的值域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)?,5.22y,x,y.dxexfaxbxc方法與技巧 形如的分子分母之一或二者均是二次式時(shí) 一般常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于 的方程 先討論二次項(xiàng)系數(shù) 再考慮用判別式法求出 的范圍