《機(jī)械控制工程基礎(chǔ)》.ppt

控制工程基礎(chǔ) 4 頻率特性分析4 1頻率特性的基本概念4 2典型環(huán)節(jié)頻率特性4 3系統(tǒng)的頻率特性 Nyquist圖 Bode圖繪制 4 4頻域性能指標(biāo)及其與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系4 5頻率特性實(shí)驗(yàn)法估計(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 頻率特性分析法是經(jīng)典控制理論中常用的分析與研究系統(tǒng)特性的方法 頻率特性包括幅頻特性和相頻特性 它在頻率域里全面地描述了系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系即系統(tǒng)的特性 頻率特性在有些書中又稱為頻率響應(yīng) 本書中頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)輸出 通過本章的學(xué)習(xí)將會(huì)看到 頻率特性和頻率響應(yīng)是兩個(gè)聯(lián)系密切但又有區(qū)別的概念 4 頻率特性分析 控制工程基礎(chǔ) 頻率特性分析方法具有如下特點(diǎn) 這種方法可以通過分析系統(tǒng)對(duì)不同頻率的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來(lái)獲得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 頻率特性有明確的物理意義 可以用實(shí)驗(yàn)的方法獲得 這對(duì)那些不能或難于用分析方法建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)或環(huán)節(jié) 具有非常重要的意義 不需要解閉環(huán)特征方程 由開環(huán)頻率特性即可研究閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性 4 頻率特性分析 控制工程基礎(chǔ) 4 1頻率特性的基本概念 4 1 1頻率特性及物理意義系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng) 線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G s 輸入正弦信號(hào) x t Xsin t 則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出即為頻率與輸入的正弦信號(hào)相同 只是幅值和相位與輸入不同 控制工程基礎(chǔ) 線性系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)記為 y t Y sin t 4 1 研究頻率響應(yīng)的意義 當(dāng)信號(hào)頻率 變化時(shí) 幅值Y 與相位差 也隨之變化 系統(tǒng)的幅頻特性定義 輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的幅值之比 記為 4 2 它描述了在穩(wěn)態(tài)情況下 系統(tǒng)輸出與輸入之間的幅值比隨頻率的變化情況 即幅值的衰減或放大特性 4 1 1頻率特性及物理意義 控制工程基礎(chǔ) 幅頻特性A 和相頻特性 統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性 記作G j 頻率特性G j 是一個(gè)以頻率 為自變量的復(fù)變函數(shù) 它是一個(gè)矢量 如圖4 2所示 矢量G j 的模 G j 即為系統(tǒng)的幅頻特性A 矢量 j 與正實(shí)軸的夾角 G j 即為系統(tǒng)的相頻特性 因此 頻率特性按復(fù)變函數(shù)的指數(shù)表達(dá)形式 記為 4 3 系統(tǒng)的相頻特性定義 輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的相位之差隨頻率 的變化 記為 4 1 1頻率特性及物理意義 控制工程基礎(chǔ) 4 4 式中Re 是G j 的實(shí)部 稱為實(shí)頻特性 Im 是G j 的虛部 稱為虛頻特性 在機(jī)械測(cè)試技術(shù)中 實(shí)頻特性和虛頻特性又分別稱為同相分量和異相分量 如圖4 2 顯然有 4 5 由于頻率特性G j 是一個(gè)復(fù)變量 因此它還可以寫成實(shí)部和虛部之和 即 控制工程基礎(chǔ) 4 1 1頻率特性及物理意義 例4 1機(jī)械系統(tǒng)如圖4 3所示 彈簧剛度系數(shù)k 10N m 阻尼系數(shù)C 10N s m 輸入幅值為1N的正弦力 求兩種頻率下即 f t sint和f t sin100t時(shí) 系統(tǒng)的位移y t 的穩(wěn)態(tài)輸出 解 系統(tǒng)的微分方程為 控制工程基礎(chǔ) 4 1 1頻率特性及物理意義 系統(tǒng)的輸出為 式中T c k 1 s K 1 k 1 10 0 1 m N 系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 式中a b d為待定系數(shù) 求出其值 并取拉氏反變換得 控制工程基礎(chǔ) 控制工程基礎(chǔ) 系統(tǒng)的幅頻特性為 系統(tǒng)的相幅頻特性為 當(dāng) 100rad s時(shí) arctan100 89 4 所以f t sin100t時(shí)的穩(wěn)態(tài)位移輸出為 系統(tǒng)的位移幅值隨著輸入力的頻率增大而減小 同時(shí)位移的相位滯后量也隨頻率的增高而加大 所以當(dāng)f t sint 即 1 時(shí)穩(wěn)態(tài)位移輸出為 控制工程基礎(chǔ) 系統(tǒng)頻率特性 頻率特性G j 的物理意義 1 頻率特性表示了系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦信號(hào)的 復(fù)現(xiàn)能力 或 跟蹤能力 在頻率較低時(shí) T 1時(shí) 輸入信號(hào)基本上可以按原比例在輸出端復(fù)現(xiàn)出來(lái) 而在頻率較高時(shí) 輸入信號(hào)就被抑制而不能傳遞出去 對(duì)于實(shí)際中的系統(tǒng) 雖然形式不同 但一般都有這樣的 低通 濾波及相位滯后作用 控制工程基礎(chǔ) 2 頻率特性隨頻率而變化 是因?yàn)橄到y(tǒng)含有儲(chǔ)能元件 實(shí)際系統(tǒng)中往往存在彈簧 慣量或電容 電感這些儲(chǔ)能元件 它們?cè)谀芰拷粨Q時(shí) 對(duì)不同頻率的信號(hào)使系統(tǒng)顯示出不同的特性 3 頻率特性反映系統(tǒng)本身的特點(diǎn) 系統(tǒng)元件的參數(shù) 如機(jī)械系統(tǒng)的k c m 給定以后 頻率特性就完全確定 系統(tǒng)隨 變化的規(guī)律也就完全確定 就是說(shuō) 系統(tǒng)具有什么樣的頻率特性 取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身 與外界因素?zé)o關(guān) 頻率特性G j 的物理意義 控制工程基礎(chǔ) 4 1 2頻率特性的求法 頻率特性的求法有三種 根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程 把輸入以正弦函數(shù)代入 求其穩(wěn)態(tài)解 取其輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦的復(fù)數(shù)比即得系統(tǒng)的頻率特性 根據(jù)傳遞函數(shù)求取 將傳遞函數(shù)G s 中的s用j 替代 即為頻率特性G j 通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得 控制工程基礎(chǔ) 例4 1機(jī)械系統(tǒng)如圖4 3所示 彈簧剛度系數(shù)k 10N m 阻尼系數(shù)C 10N s m 輸入幅值為1N的正弦力 求兩種頻率下即 f t sint和f t sin100t時(shí) 系統(tǒng)的位移y t 的穩(wěn)態(tài)輸出 解 系統(tǒng)的微分方程為 控制工程基礎(chǔ) 這里僅介紹根據(jù)傳遞函數(shù)求取頻率特性 令s j 得系統(tǒng)的頻率特性 式中T c k 1 s 系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的實(shí)頻特性為 系統(tǒng)的虛頻特性為 控制工程基礎(chǔ) 系統(tǒng)的幅頻特性為 系統(tǒng)的相幅頻特性為 當(dāng) 1時(shí) G j 的模和幅角為 控制工程基礎(chǔ) 當(dāng) 100rad s時(shí) arctan100 89 4 所以f t sin100t時(shí)的穩(wěn)態(tài)位移輸出為 所以當(dāng)f t sint時(shí)穩(wěn)態(tài)位移輸出為 控制工程基礎(chǔ) 以上分析可歸納如下 1 線性定常系統(tǒng)的頻率特性可以通過系統(tǒng)的傳遞函數(shù)獲得 即 G j G s s j 4 21 系統(tǒng)的頻率特性就是其傳遞函數(shù)G s 中復(fù)變量s j 在 0時(shí)的特殊情況 2 若系統(tǒng)的輸入信號(hào)為正弦函數(shù) 則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也是相同頻率的正弦函數(shù) 但幅值和相位與輸入信號(hào)的幅值和相位不同 顯然 若改變輸入信號(hào)的頻率 系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化 而頻率特性正表明了幅值比和相位差隨頻率變化的情況 控制工程基礎(chǔ) 3 系統(tǒng)頻率特性與傳遞函數(shù) 微分方程 脈沖響應(yīng)函數(shù)之間都存在內(nèi)在的聯(lián)系 它們之間可以相互轉(zhuǎn)換 如圖4 5所示 因此 頻率特性也和微分方程 傳遞函數(shù) 脈沖響應(yīng)函數(shù)一樣 可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表達(dá)形式 這就是利用頻率特性來(lái)研究系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的理論依據(jù) 控制工程基礎(chǔ) 以上分析可歸納如下 4 2 1頻率特性表示法 1 極坐標(biāo)圖 奈奎斯特圖Nyquist 頻率特性的極坐標(biāo)圖也稱為幅相頻特性圖或稱為奈奎斯特圖 由于頻率特性G j 是 的復(fù)變函數(shù) 故可在復(fù)平面 G j 上表示 頻率特性可由復(fù)平面上相應(yīng)的矢量G j 描述 如圖4 6所示 4 2典型環(huán)節(jié)頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 當(dāng) 從0 變化時(shí) G j 矢量端點(diǎn)的軌跡即為頻率特性的極坐標(biāo)曲線 該曲線連同坐標(biāo)一起則稱為極坐標(biāo)圖 這里規(guī)定極坐標(biāo)圖的實(shí)軸正方向?yàn)橄辔坏牧愣染€ 由零度線起 矢量逆時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為正 順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù) 圖中用箭頭標(biāo)明 從小到大的方向 主要缺點(diǎn) 不能明顯地表示出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中各個(gè)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的作用 繪制較麻煩 極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn) 在一幅圖上同時(shí)給出了系統(tǒng)在整個(gè)頻率域的實(shí)頻特性 虛頻特性 幅頻特性和相頻特性 它比較簡(jiǎn)潔直觀地表明了系統(tǒng)的頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 1 極坐標(biāo)圖 奈奎斯特圖Nyquist 繪制頻率特性Nyqusit圖的步驟1 在系統(tǒng)傳遞函數(shù)中令s j 寫出系統(tǒng)頻率特性G j 2 寫出系統(tǒng)的幅頻特性 G j 相頻特性 G j 實(shí)頻特性Re 和虛頻特性Im 3 令 0 求出 0時(shí)的 G j G j Re Im 4 若頻率特性矢端軌跡與實(shí)軸 虛軸存在交點(diǎn) 求出這些交點(diǎn) 令Re 0 求出 然后代入Im 的表達(dá)式即求得矢端軌跡與虛軸的交點(diǎn) 令I(lǐng)m 0 求出 然后代入Re 的表達(dá)式即求得矢端軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn) 1 極坐標(biāo)圖 奈奎斯特圖Nyquist 控制工程基礎(chǔ) 5 對(duì)于二階振蕩環(huán)節(jié) 或二階系統(tǒng) 還要求 n時(shí)的 G j G j Re Im 若此環(huán)節(jié) 或系統(tǒng) 的阻尼比0 0 707 則還要計(jì)算諧振頻率 r 諧振峰值Mr及 r時(shí)的Re Im 6 在0 的范圍內(nèi)再取若干點(diǎn)分別求 G j G j Re Im 8 在復(fù)平面 G j 中 標(biāo)明實(shí)軸 原點(diǎn) 虛軸和復(fù)平面名稱 G j 在此坐標(biāo)系中 分別描出以上所求各點(diǎn) 并按 增大的方向?qū)⑸鲜龈鼽c(diǎn)聯(lián)成一條曲線 在該曲線旁標(biāo)出 增大的方向 7 令 求出 G j G j Re Im 1 極坐標(biāo)圖 奈奎斯特圖Nyquist 控制工程基礎(chǔ) 繪制頻率特性Nyqusit圖的步驟 2 波德圖 Bode圖 波德圖也稱為對(duì)數(shù)頻率特性圖 用兩個(gè)坐標(biāo)圖分別表示幅頻特性和相頻特性 幅頻特性圖的縱坐標(biāo) 線性分度 表示了幅頻特性幅值的分貝值 為L(zhǎng) 20lg G j 單位是分貝 dB 橫坐標(biāo) 對(duì)數(shù)分度 表示 值 單位是弧度 秒或秒 1 rad s或s 1 相頻特性圖的縱坐標(biāo) 線性分度 表示G j 的相位 單位是度 橫坐標(biāo) 同上 這兩個(gè)圖分別叫做對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖 統(tǒng)稱為頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 又稱為波德圖 Bode 控制工程基礎(chǔ) 1 坐標(biāo)軸分度 2 波德圖 Bode圖 控制工程基礎(chǔ) 對(duì)數(shù)幅頻特性 2 漸近線的斜率繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖時(shí) 一般常只畫出它的漸近線 當(dāng)要求精確時(shí) 再加以修正 所以在畫漸近線之前 先要確定漸近線的斜率 漸近線的斜率是用頻率增高到一倍或十倍時(shí) L 變化的分貝數(shù)來(lái)表示的 在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上 若 2 2 1 則 1和 2兩點(diǎn)間的距離就稱為 倍頻程 octave 或簡(jiǎn)寫成oct 若 2 10 1 則 1和 2兩點(diǎn)間的距離就稱為 十倍頻程 decade 或簡(jiǎn)寫成dec 倍頻程和十倍頻程的含義也可從圖4 7看出 控制工程基礎(chǔ) 對(duì)數(shù)幅頻特性 若頻率增高到一倍 L 衰減6分貝 則斜率為 每倍頻程負(fù)6分貝 記為 6dB oct 相似地 若頻率增高到十倍 L 衰減20分貝 則稱斜率為 每十倍頻程負(fù)20分貝 記為 20dB dec 2 漸近線的斜率 控制工程基礎(chǔ) 對(duì)數(shù)幅頻特性 設(shè)某環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為L(zhǎng) 20lg 則頻率 1和10 1時(shí)的對(duì)數(shù)幅值為 L L 1 20lg 1L L 10 1 20lg 1 20lg10 20lg 1 20即該對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率為 20dB oct 控制工程基礎(chǔ) 對(duì)數(shù)幅頻特性 2 漸近線的斜率 3 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線設(shè)某環(huán)節(jié)的幅頻特性為 這一環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線 4 22 漸近線可求得如下 當(dāng) 1 T時(shí) T2 2與1相比可以略去不計(jì) 故在這一頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性 可近似地取為L(zhǎng) 20lg5 14 4 23 這是一條距橫坐標(biāo)軸距離為14分貝 斜率為0dB dec 控制工程基礎(chǔ) 當(dāng) 1 T時(shí) 1與T2 2相比可以忽略 故在這一頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性 可近似的取為 即 4 24 顯然 這是一條斜率為 20dB dec的直線 因此 4 22 所示的對(duì)數(shù)幅頻特性 可用式 4 23 和 4 24 所示的兩條直線近似 這兩條直線就是所求的漸近線 3 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線 控制工程基礎(chǔ) 4 轉(zhuǎn)角頻率兩條漸近線相交處的頻率稱為轉(zhuǎn)角頻率 T 轉(zhuǎn)角頻率可通過聯(lián)解兩條漸近線方程而求得 求得 其實(shí) 系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線上的各個(gè)轉(zhuǎn)角頻率 就是系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)或無(wú)阻尼自然頻率 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線的斜率 在轉(zhuǎn)角頻率處要發(fā)生突變 所以在繪制波德圖時(shí)要確定各個(gè)轉(zhuǎn)角頻率 控制工程基礎(chǔ) 5 幅值穿越頻率對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫坐標(biāo)軸相交處的頻率稱為幅值穿越頻率或增益交界頻率 用 c表示 穿越頻率可通過求解由高頻段漸近線方程和L 0組成的聯(lián)立方程而得到 如式 4 22 所示的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的幅值穿越頻率 可解聯(lián)立方程L 20lg5 20lgT L 0 得到 c 5 T 對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫坐標(biāo)軸的分度與對(duì)數(shù)幅頻特性圖的相同 是按頻率 的對(duì)數(shù)分度 對(duì)數(shù)相頻特性圖的縱坐標(biāo)軸是按相位的度數(shù)或弧度數(shù)線性分度的 對(duì)數(shù)相頻特性 對(duì)數(shù)相頻特性是指頻率特性函數(shù)的相位隨 而變化的關(guān)系 G j 相位穿越頻率或相位交界頻率 g 對(duì)數(shù)相頻特性曲線與 180 線相交處的頻率 或者說(shuō)頻率特性函數(shù)的相位等于 180 時(shí)的頻率 控制工程基礎(chǔ) 波德圖表示頻率特性有如下優(yōu)點(diǎn) 1 可將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘 除 化為幅值的加 減 因而簡(jiǎn)化了計(jì)算與作圖過程 2 可用近似方法作圖 先分段用直線作出對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線 再用修正曲線對(duì)漸近線進(jìn)行修正 就可得到較準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)幅頻特性圖 3 可分別作出各個(gè)環(huán)節(jié)的波德圖 然后用疊加方法得出系統(tǒng)的波德圖 并由此可以看出各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)總特性的影響 4 由于橫坐標(biāo)為對(duì)數(shù)坐標(biāo) 所以 0的頻率不可能在橫坐標(biāo)上表現(xiàn)出來(lái) 因此 橫坐標(biāo)的起點(diǎn)可根據(jù)實(shí)際所需的最低頻率 來(lái)決定 控制工程基礎(chǔ) 4 2 1典型環(huán)節(jié)的頻率特性 1 比例環(huán)節(jié)的頻率特性 1 極坐標(biāo)圖 由于G s K 即G j K 4 27 幅頻特性 j K 4 28 相頻特性 G j 0 4 29 這表明 當(dāng) 從0 時(shí) j 的幅值總是K 相位總是0 j 在極坐標(biāo)圖上為實(shí)軸上的一定點(diǎn) 其坐標(biāo)為 K j0 如圖4 9所示 控制工程基礎(chǔ) 2 波德圖 對(duì)數(shù)幅頻特性20lg j 20lgK 4 30 對(duì)數(shù)相頻特性 j 0 其曲線是一條水平線 分貝數(shù)為20lgK 圖4 10中 K 10 故對(duì)數(shù)幅頻特性的分貝數(shù)恒為20dB 而相位恒為零 故其對(duì)數(shù)相頻特性曲線是與0 重合的一直線 因?yàn)橛扇舾森h(huán)節(jié)串聯(lián)而成的系統(tǒng)的增益等于各環(huán)節(jié)增益之積 即K K1 K2 Kn 故系統(tǒng)增益的對(duì)數(shù)幅值等于各個(gè)環(huán)節(jié)增益的對(duì)數(shù)幅值之和 控制工程基礎(chǔ) 2 積分環(huán)節(jié)的頻率特性 1 極坐標(biāo)圖 由于 即 4 31 幅頻特性 j 1 4 32 相頻特性 j 90 4 33 由此有 當(dāng) 0時(shí) G j G j 90 當(dāng) 時(shí) G j 0 G j 90 可見 當(dāng) 從0 時(shí) G j 的幅值由 0 相位總是 90 積分環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖是虛軸的下半軸 由無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)指向原點(diǎn) 如圖4 11所示 控制工程基礎(chǔ) 2 波德圖 對(duì)數(shù)幅頻特性為 20lg G j 20lg 20lg 4 34 對(duì)數(shù)相頻特性 G j 90 于是 當(dāng) 0 1rad s時(shí) 20lg G j 20dB 對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過點(diǎn) 0 1 20 當(dāng) 1rad s時(shí) 20lg G j 0dB 對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過點(diǎn) 1 0 當(dāng) 10rad s時(shí) 20lg G j 20dB 對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過點(diǎn) 10 20 2 積分環(huán)節(jié)的頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性如圖4 12下半部所示 它與 無(wú)關(guān) 是一條過點(diǎn) 0 90 且平行于橫軸的直線 故積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖4 12上半部所示 它是一條過點(diǎn) 1 0 的直線 其斜率為 20dB dec dec表示十倍頻程 即橫坐標(biāo)的頻率由 增加到10 2 積分環(huán)節(jié)的頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 解 因 即 例4 2作的波德圖 相頻特性 G j 180 對(duì)數(shù)幅頻特性為 對(duì)數(shù)相頻特性 G j 180 當(dāng) 1 K 10時(shí) 20lg G j 20dB 對(duì)數(shù)幅頻特性過點(diǎn) 1 20 10 K 10時(shí) 20lg G j 20dB 對(duì)數(shù)幅頻特性過點(diǎn) 1 20 故幅頻特性 控制工程基礎(chǔ) 系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性為一過點(diǎn) 1 20 而斜率為 40dB dec的直線 如圖4 13幅頻特性圖中粗實(shí)線所示 顯然 它是一個(gè)比例環(huán)節(jié) K 10 與兩個(gè)積分環(huán)節(jié) 1 s 的對(duì)數(shù)幅頻特性的疊加 而這兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖4 13中虛線所示 例4 2作的波德圖 控制工程基礎(chǔ) 由圖4 12與圖4 13可知 增加一個(gè)串聯(lián)的積分環(huán)節(jié) 就使對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率增加 20dB dec 而使相位增加 90 增加一個(gè)串聯(lián)的比例環(huán)節(jié)后 其對(duì)數(shù)幅頻特性垂直平移20lgK 而其相位不變 對(duì)數(shù)相頻特性是一條過點(diǎn) 0 180 且平行于橫軸的一直線 如圖4 13所示 當(dāng)然也是一個(gè)比例環(huán)節(jié)和兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性的疊加 例4 2作的波德圖 控制工程基礎(chǔ) 3 理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性 1 極坐標(biāo)圖 由于G s s 即G j j 4 35 顯然 實(shí)頻特性恒為0 虛頻特性為 故 幅頻特性 G j 4 36 相頻特性 G j 90 4 37 控制工程基礎(chǔ) 可見 當(dāng) 從0 時(shí) G j 的幅值由0 其相位總是90 微分環(huán)節(jié)的頻率特性的極坐標(biāo)圖是虛軸的上半軸 由原點(diǎn)指向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 如圖4 14所示 由此有 當(dāng) 0時(shí) G j 0 G j 90 當(dāng) 時(shí) G j G j 90 3 理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 2 波德圖 對(duì)數(shù)幅頻特性 20lg G j 20lg 4 38 對(duì)數(shù)相頻特性 G j 90 當(dāng) 0 1時(shí) 20lg G j 20dB 當(dāng) 1時(shí) 20lg G j 0dB 可見 微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是過點(diǎn) 1 0 而斜率為20dB dec的直線 對(duì)數(shù)相頻特性是過點(diǎn) 0 90 且平行于橫軸的直線 這說(shuō)明輸出的相位總是超前于輸入相位90 微分環(huán)節(jié)的波德圖如圖4 15所示 3 理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 4 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 1 極坐標(biāo)圖 顯然 實(shí)頻特性為 虛頻特性為 故幅頻特性 4 37 相頻特性 4 38 控制工程基礎(chǔ) 當(dāng) 0時(shí) G j 1 G j 0 當(dāng) 1 T時(shí) G j 0 707 G j 45 當(dāng) 時(shí) G j 0 G j 90 根據(jù)上述實(shí)頻和虛頻特性兩式 可分別求得不同 值的Re 和Im 從而作出極坐標(biāo)圖 此時(shí) 頻率特性曲線為一半圓 證明如下 設(shè)實(shí)頻特性為 虛頻特性為 控制工程基礎(chǔ) 4 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 所以將其代入實(shí)頻特性表達(dá)式中 則有 將此式整理得 4 39 此式是一個(gè)圓方程 但由于 G j arctanT 所以當(dāng)0 時(shí) 極坐標(biāo)圖是下半圓 因?yàn)榇藭r(shí) G j 與Im 恒為負(fù)值 如圖4 16所示 控制工程基礎(chǔ) 4 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 2 波德圖 如令 此頻率稱為轉(zhuǎn)角頻率 對(duì)數(shù)相頻特性 當(dāng) 1 T時(shí) 對(duì)數(shù)幅頻特性為 4 41 當(dāng) 1 T時(shí) 對(duì)數(shù)幅頻特性為 4 42 控制工程基礎(chǔ) 即在低頻段 漸近線是一條0dB dec水平線 在高頻段是一條斜率為 20dB dec的直線 該兩條漸近線相交處的轉(zhuǎn)角頻率為 慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的穿越頻率和轉(zhuǎn)角頻率相等 即 cr T 漸近線L 20lg T的繪制方法 設(shè) i 則有L i 20lg iT 如果頻率 i變化了十倍頻程 即 10 i 則有 從上式可以看出 當(dāng)頻率每變化十倍頻程時(shí) 幅值L 衰減20dB 即斜率為 20dB dec 控制工程基礎(chǔ) 2 波德圖 慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性取值如下 當(dāng) 0時(shí) 0 從圖4 17可知 對(duì)數(shù)相頻特性斜對(duì)稱于點(diǎn) T 45 而且在 0 1 T時(shí) 0 在 T 10時(shí) 90 準(zhǔn)確的相頻特性曲線應(yīng)把每個(gè) 值代入對(duì)數(shù)相頻特性 G j arctanT 中計(jì)算所得 當(dāng) T時(shí) 45 當(dāng) 時(shí) 90 2 波德圖 控制工程基礎(chǔ) 表4 1慣性環(huán)節(jié)取不同頻率 時(shí)所對(duì)應(yīng)的 由圖4 17可知 慣性環(huán)節(jié)有低通濾波器的特性 當(dāng)輸入頻率 T時(shí) 其輸出很快衰減 即濾掉輸入信號(hào)的高頻部分 在低頻段 輸出能較準(zhǔn)確地反映輸入 漸近線與精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線之間有誤差e 由圖4 18可知 最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)角頻率 T處 其誤差為 3dB 在2 T或 T 2的頻率處 e 為 0 91dB 即約為 1dB 而在10 T或 T 10的頻率處 e 就接近于0dB 據(jù)此可0 1 T 10 T范圍內(nèi)對(duì)漸近線進(jìn)行修正 2 波德圖 控制工程基礎(chǔ) 控制工程基礎(chǔ) 5 一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性 1 極坐標(biāo)圖 由于G s 1 TS即G j 1 jT 4 43 顯然實(shí)頻特性恒為1 虛頻特性為T 故幅頻特性 4 44 相頻特性 G j arctanT 4 45 由此有 當(dāng) 0時(shí) G j 1 G j 0 當(dāng) 1 T時(shí) G j G j 45 當(dāng) 時(shí) G j G j 90 控制工程基礎(chǔ) 可見 當(dāng) 從0 時(shí) G j 的幅值由1 其相位由0 90 一階微分環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖始于點(diǎn) 1 j0 平行于虛軸 是在第一象限的一條垂線 如圖4 19所示 控制工程基礎(chǔ) 5 一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性 當(dāng) 1 T時(shí) 20lg G j 0dB 即低頻漸近線是0dB水平線 當(dāng) 1 T時(shí) 20lg G j 20lg T 即高頻漸近線為一直線 其始于點(diǎn) 1 T 0 斜率為20dB dec 顯然 一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率 T 1 T 一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性取值如下 當(dāng) 0時(shí) 0 當(dāng) T時(shí) 45 當(dāng) 時(shí) 90 2 波德圖 對(duì)數(shù)幅頻特性 對(duì)數(shù)相頻特性 G j arctanT 控制工程基礎(chǔ) 由圖4 20可知 對(duì)數(shù)相頻特性斜對(duì)稱于點(diǎn) T 45 且在 0 1 T時(shí) 0 10 T時(shí) 90 比較圖4 20與圖4 17可知 一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別對(duì)稱于0dB線和0 線 對(duì)數(shù)幅頻特性的精確曲線與漸近線的誤差修正曲線如圖4 18所示 只是其分貝數(shù)取正值 2 波德圖 控制工程基礎(chǔ) 6 二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性 1 極坐標(biāo)圖 如令 控制工程基礎(chǔ) 實(shí)頻特性為 虛頻特性為 故幅頻特性為 4 49 相頻特性 4 50 由此有 當(dāng) 0時(shí) G j 1 G j 0 當(dāng) 1 T時(shí) G j 1 2 G j 90 當(dāng) 時(shí) G j 0 G j 180 1 極坐標(biāo)圖 控制工程基礎(chǔ) 當(dāng) 從0 G j 的幅值由1 0 其相位由0 180 振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性的極坐標(biāo)圖始于點(diǎn) 1 j0 而終于點(diǎn) 0 j0 曲線與虛軸的交點(diǎn)的頻率就是無(wú)阻尼固有頻率 n 此時(shí)的幅值為1 2 曲線在第三 四象限 取值不同 G j 的極坐標(biāo)圖形狀也不同 如圖4 21所示 1 極坐標(biāo)圖 控制工程基礎(chǔ) 在阻尼 比較小時(shí) 幅頻特性 G j 在頻率為 r處出現(xiàn)峰值如圖4 21所示 此峰值稱為諧振峰值Mr 對(duì)應(yīng)的頻率 r稱為諧振頻率 可如下求出 由 求得 4 51 即 當(dāng)頻率 r時(shí) G j 出現(xiàn)峰值 當(dāng)1 2 2 0 0 707 時(shí) r才有意義 其諧振峰值為 4 53 4 52 1 極坐標(biāo)圖 控制工程基礎(chǔ) 越小 r就越大 0時(shí) r 1 T n 由于無(wú)阻尼自然頻率 n和有阻尼固有頻率 d的關(guān)系是 對(duì)于欠阻尼系統(tǒng) 0 1 諧振頻率 r總小于有阻尼固有頻率 d 2 波德圖 幅頻特性 相頻特性 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為 4 54 1 極坐標(biāo)圖 控制工程基礎(chǔ) 對(duì)數(shù)相頻特性 a 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線當(dāng) T 1時(shí) 20lg G j 0dB 4 55 即低頻漸近線是0dB水平線 當(dāng) T 1時(shí) 20lg G j 40lg T 4 56 當(dāng) 1 T時(shí) 高頻漸近線20lg G j 0dB 可見 高頻漸近線為一直線 始于點(diǎn) 1 0 斜率為 40dB dec 2 波德圖 控制工程基礎(chǔ) 由此可知 振蕩環(huán)節(jié)的漸近線是由一段0dB線和一條起始于點(diǎn) 1 0 即在 r n T處 斜率為 40dB dec的直線所組成 n又可稱為振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率 如圖4 22所示 注意 圖中橫坐標(biāo)均為以對(duì)數(shù)刻度表示的 n 2 波德圖 b 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性的誤差修正曲線 2 波德圖 控制工程基礎(chǔ) 由式 4 54 可知 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性精確曲線不僅與 n有關(guān) 而且與 也有關(guān) 由圖4 22可知 越小 n處或它附近的峰值越高 精確曲線與漸近線之間的誤差就越大 并根據(jù)不同的 n和 值可作出如圖4 23所示誤差修正曲線 根據(jù)此修正曲線 一般在0 1 n 10 n范圍內(nèi)對(duì)漸近線進(jìn)行修正 即可得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線 表4 2為二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性修正表 c 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性 由圖4 22所示的振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性可知 當(dāng) 0時(shí) 0 當(dāng) n時(shí) 90 當(dāng) 時(shí) 180 2 波德圖 控制工程基礎(chǔ) 表4 2二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性修正表 控制工程基礎(chǔ) 2 波德圖 由圖4 22還可知 點(diǎn) n 1 90 是相頻特性的斜對(duì)稱點(diǎn) 表4 3二階振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性 2 波德圖 控制工程基礎(chǔ) d 振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率 r和諧振峰值Mr 在本章中已求得 而且只有當(dāng)1 0 707時(shí) 可認(rèn)為 r 0 在前面 已求得 r時(shí) G j r 的幅值為 2 波德圖 控制工程基礎(chǔ) 記 G j r Mr 由式 4 52 作出Mr 關(guān)系曲線 如圖4 24所示 當(dāng) 0 707時(shí) 可認(rèn)為Mr 1 值得指出的是 在一般的幅頻特性坐標(biāo)圖與相頻特性坐標(biāo)圖上 在 0 707或 略小于此值時(shí) 幅頻特性曲線與相頻特性曲線在低頻段近于直線 2 波德圖 控制工程基礎(chǔ) 7 二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性 由于 即 4 57 它的極坐標(biāo)圖如圖4 25所示 1 極坐標(biāo)圖 控制工程基礎(chǔ) 2 波德圖 其幅頻特性與相頻特性如圖4 26所示 4 3控制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性 4 3 1控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制控制系統(tǒng)一般總是由若干典型環(huán)節(jié)組成 直接繪制系統(tǒng)的開環(huán)玻德圖比較繁瑣 但熟悉了典型環(huán)節(jié)的頻率特性后 就不難繪制出系統(tǒng)的開環(huán)玻德圖 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般形式為 4 58 控制工程基礎(chǔ) 故其對(duì)數(shù)幅頻特性為 4 59 對(duì)數(shù)相頻特性為 4 60 控制工程基礎(chǔ) 繪制系統(tǒng)的開環(huán)波德圖的步驟把系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式 即時(shí)間常數(shù)形式 如 4 58 式所表示的形式 選定對(duì)數(shù)幅頻特性圖上各坐標(biāo)軸的比例尺 求出慣性 一階微分 振蕩環(huán)節(jié)及二階微分的轉(zhuǎn)角頻率 并沿頻率軸上由小到大標(biāo)出 根據(jù)比例環(huán)節(jié)K 計(jì)算20lgK dB 在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上 找到頻率 1rad s及幅值為20lgK的一點(diǎn) 通過此點(diǎn)作斜率為 20N dB dec 的直線 N為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù) 如不存在積分環(huán)節(jié) 則作一條幅值為20logK的水平線 控制工程基礎(chǔ) 4 3 1控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制 在每個(gè)轉(zhuǎn)角頻率處改變漸近線的斜率 如果為慣性環(huán)節(jié) 斜率改變?yōu)?20 dB dec 二階振蕩環(huán)節(jié) 斜率改變?yōu)?40 dB dec 一階微分環(huán)節(jié) 斜率改變?yōu)?20 dB dec 如此 作到最后一段 最后一段漸近線的斜率應(yīng)為 20 N p 2q m dB decN為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù) p為慣性環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù) q為二階振蕩環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù) m為微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)可以應(yīng)用上述結(jié)論驗(yàn)證圖形繪制是否正確 如果要求精確對(duì)數(shù)幅頻特性圖 可對(duì)漸進(jìn)線進(jìn)行修正 畫出每一環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性圖 然后把所有組成環(huán)節(jié)的相頻特性在相同的頻率下相疊加 即可得到系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性 控制工程基礎(chǔ) 4 3 1控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制 例4 3已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 要求繪制系統(tǒng)開環(huán)波德圖 解 1 將G s 化成由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的標(biāo)準(zhǔn)形式 可見系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成 其頻率特性為 控制工程基礎(chǔ) 2 比例環(huán)節(jié)K 7 5 20lgK 17 5dB3 轉(zhuǎn)角頻率由小到大分別為1 414 2 3 4 通過點(diǎn) 1rad s 20lgK 17 5 畫一條斜率為 20dB dec的斜線 即為低頻段的漸近線 此漸進(jìn)線與通過 1 1 414的垂線相交點(diǎn) 因 1是二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率 所以要在此點(diǎn)改變漸進(jìn)線的斜率 40dB dec 因此漸進(jìn)線的斜率由 20dB dec改變?yōu)?60dB dec 此漸進(jìn)線又與通過一階慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率 2 2的垂線相交點(diǎn)改變漸進(jìn)線的斜率由 60dB dec改變?yōu)?80dB dec 當(dāng)漸進(jìn)線通過一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率 3 3的垂線相交點(diǎn)時(shí)改變漸進(jìn)線的斜率由 80dB dec改變?yōu)?60dB dec 這幾段漸進(jìn)線的折線即為對(duì)數(shù)幅頻特性 4 3 1控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制 控制工程基礎(chǔ) 例4 3 5 在轉(zhuǎn)角頻率處 利用誤差修正曲線對(duì)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線進(jìn)行必要的修正 6 根據(jù)式 4 60 畫出各典型環(huán)節(jié)的相頻特性曲線 線性疊加后即得系統(tǒng)的相頻特性曲線 系統(tǒng)的開環(huán)玻德圖如圖4 27所示 4 3 1控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制 控制工程基礎(chǔ) 例4 3 4 3 2最小相位系統(tǒng) 最小相位傳遞函數(shù) 若傳遞函數(shù)G s 的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)均在復(fù)平面 s 的左半平面內(nèi) 則稱G s 為最小相位傳遞函數(shù) 最小相位系統(tǒng) 具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng) 控制工程基礎(chǔ) 4 3 2最小相位系統(tǒng) 0 T T1 0 T T1 具有相同幅頻特性的系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍是最小的 例如兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為 非最小相位傳遞函數(shù) 若傳遞函數(shù)G s 在復(fù)平面 s 的右半平面內(nèi)存在零點(diǎn)或極點(diǎn) 則稱G s 為非最小相位傳遞函數(shù) 非最小相位系統(tǒng) 具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng) 控制工程基礎(chǔ) 圖4 28 a 表示兩個(gè)系統(tǒng)的零 極點(diǎn)分布圖 顯然G1 s 屬于最小相位系統(tǒng) 這兩個(gè)系統(tǒng)具有同一個(gè)幅頻特征 但它們卻有著不同的相頻特性 如圖4 28 b 所示 4 3 2最小相位系統(tǒng) 控制工程基礎(chǔ) 1 在 時(shí) 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的斜率為 Lk 20 n m dB dec 4 61 2 對(duì)于最小相位系統(tǒng)的相位特性 90 n m 4 62 這里n和m分別為傳遞函數(shù)中分母和分子多項(xiàng)式的階次 在最小相位系統(tǒng)中 對(duì)數(shù)幅頻特性的變化趨勢(shì)和相頻特性的變化趨勢(shì)是一致的 幅頻特性的斜率增加或者減少時(shí) 相頻特性的角度也隨之增加或者減少 因而由對(duì)數(shù)幅頻特性即可唯一地確定其相頻特性 一個(gè)最小相位系統(tǒng)滿足下面的條件 控制工程基礎(chǔ) 4 3 2最小相位系統(tǒng) 4 3 3閉環(huán)頻率特性 4 63 1 由開環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性對(duì)于如圖 4 29 所示的系統(tǒng) 其開環(huán)頻率特性為G j H j 而該系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為 控制工程基礎(chǔ) 因此 已知開環(huán)頻率特性 就可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 也就可以繪出閉環(huán)頻率特性 4 65 4 66 由于上式也是 的復(fù)變函數(shù) 所以上式的幅值M 和相位 分別表示為 控制工程基礎(chǔ) 4 3 3閉環(huán)頻率特性 逐點(diǎn)取 值 計(jì)算出在不同頻率時(shí) j 的幅值和相位 則可分別作出M 圖 閉環(huán)幅頻特性圖 和 圖 閉環(huán)相頻特性圖 如圖4 30所示 這樣逐步計(jì)算工作量很大 但是隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用日益普及 閉環(huán)頻率特性的繪制就變的很容易了 4 67 顯然 此式右邊的后一項(xiàng)可看作是單位反饋系統(tǒng)的頻率特性 其前向通道頻率特性為G j H j 再乘以1 H j 即得到 j 令GK j G j H j 則 研究單位反饋系統(tǒng)的 j 與G j 之間的關(guān)系并不喪失問題的一般性 因?yàn)樵谝话闱闆r下 4 3 3閉環(huán)頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 2 頻率特性的性能指標(biāo) 在頻域分析中 評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)性能優(yōu)劣的特征量稱為頻域性能指標(biāo) 它體現(xiàn)了系統(tǒng)的快速性 穩(wěn)定性等動(dòng)態(tài)品質(zhì) 系統(tǒng)的帶寬指閉環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值不低于 3dB時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率范圍 0 BW b 帶寬表征了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性 對(duì)系統(tǒng)帶寬的要求 取決于兩方面因素的綜合考慮 1 截止頻率 b和帶寬 BW截止頻率指閉環(huán)對(duì)數(shù)幅值20lgM 下降到 3dB 即振幅M 衰減到0 707M 0 時(shí)的角頻率 閉環(huán)系統(tǒng)將高于截止頻率的信號(hào)分量濾掉 而允許低于截止頻率的信號(hào)分量通過 響應(yīng)速度的要求響應(yīng)越快 要求帶寬越寬 高頻濾波的要求為濾掉高頻噪聲 帶寬又不能太寬 4 3 3閉環(huán)頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 4 3 3閉環(huán)頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 2 諧振峰值Mr和諧振頻率 r閉環(huán)頻率特性幅度值的極大值Mr 稱為諧振峰值 以二階系統(tǒng)為例 從知 系統(tǒng)的阻尼越小 Mr值越大 越易振蕩 阻尼比越大 Mr越小 越易穩(wěn)定下來(lái) 故Mr標(biāo)志著系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 當(dāng)1 Mr 1 4 相當(dāng)于對(duì)數(shù)幅值0 Mr 3dB 時(shí) 對(duì)應(yīng)的阻尼比為0 4 0 707 若 0 707 則系統(tǒng)不出現(xiàn)諧振峰值 故一般取Mr 1 4 系統(tǒng)諧振峰值處的頻率 稱為諧振頻率 r r表征了系統(tǒng)的響應(yīng)速度 從圖4 31可見 b r 諧振頻率 r越大 系統(tǒng)帶寬越寬 故響應(yīng)速度越快 4 3 3閉環(huán)頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 3 剪切率指對(duì)數(shù)幅值曲線在截止頻率附近的斜率 該處曲線斜率越大 高頻噪音衰減的越快 因此 剪切率表征了系統(tǒng)從噪音中辨別信號(hào)的能力 開環(huán)頻率特性性能指標(biāo)中 描述系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的增益裕度 相位裕度等將在第五章介紹 4 3 3閉環(huán)頻率特性 控制工程基礎(chǔ) 主要介紹二階系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性的評(píng)價(jià)性能指標(biāo) 的幅頻特性 將M b 0 707代入二階系統(tǒng) 1 截止頻率 b 中 可求得如下關(guān)系 控制工程基礎(chǔ) 4 4頻域性能指標(biāo)及其與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系 2 諧振頻率 r和諧振峰值Mr 由式 4 45 得 峰值時(shí)間tP與 n和 的關(guān)系為 得 調(diào)整時(shí)間ts與 n和 的關(guān)系為 式中 2 或 5 得 控制工程基礎(chǔ) 由于最大超調(diào)量和諧振峰值分別為 所以 由以上公式可以看出 2 諧振頻率 r和諧振峰值Mr 控制工程基礎(chǔ) 4 5頻率特性實(shí)驗(yàn)法估計(jì)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí) 首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 我們已經(jīng)介紹了通過解析法獲取數(shù)學(xué)模型的方法 但是實(shí)際系統(tǒng)是復(fù)雜的 有些系統(tǒng)由于人們對(duì)其結(jié)構(gòu) 參數(shù)及其支配運(yùn)動(dòng)的機(jī)理不很了解 常常難于從理論上導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 因此 這里我們?cè)俳榻B一種用頻率特性實(shí)驗(yàn)分析法來(lái)確定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法 控制工程基礎(chǔ) 1 頻率特性實(shí)驗(yàn)分析的步驟 1 在可能涉及到的頻率范圍內(nèi) 測(cè)量出系統(tǒng)或元件在足夠多的頻率點(diǎn)上的幅值比和相位差 2 由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù) 畫出系統(tǒng)或元件的波德圖 3 在波德圖上 畫出實(shí)驗(yàn)曲線的漸近線 將各段漸近線組合起來(lái) 就可以構(gòu)成整個(gè)的漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線 通過對(duì)轉(zhuǎn)角頻率的一些試算 通常是可以得到比較滿意的漸近線 4 最后由漸近線來(lái)確定系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù) 在確定傳遞函數(shù)時(shí)應(yīng)該注意 波德圖上的頻率應(yīng)轉(zhuǎn)化成弧度 秒 控制工程基礎(chǔ) 為了確定傳遞函數(shù) 首先應(yīng)該畫出由實(shí)驗(yàn)得到的對(duì)數(shù)幅頻特性 對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線的斜率必須是20dB dec倍數(shù) 如果實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)幅頻特性在 1時(shí) 是由 20dB dec變化到 40dB dec 那么很明顯 在傳遞函數(shù)中包含有一個(gè) 2 由波德圖確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 的二階振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然頻率就等于 2 1 T 的慣環(huán)節(jié) 若在 2處 斜率變化了 40dB dec 那么在傳遞函數(shù)中必含有 控制工程基礎(chǔ) 圖4 32系統(tǒng)的波德圖 阻尼比 可通過測(cè)量實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)角頻率 2附近的諧振頻率峰值 并與圖4 32所示曲線比較后確定 控制工程基礎(chǔ) 4 68 4 69 在實(shí)際系統(tǒng)中 積分因子的數(shù)目N等于0 1或2 下面介紹系統(tǒng)類型和開環(huán)增益的確定 系統(tǒng)的類型和開環(huán)增益K主要由系統(tǒng)低頻特性的形狀和數(shù)值來(lái)確定 頻率特性的一般形式為 式中N 串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目 當(dāng) 0時(shí) 各一階環(huán)節(jié)因子趨近于1 故有 控制工程基礎(chǔ) 2 由波德圖確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 1 對(duì)于N 0時(shí) 即為零型系統(tǒng) 式 4 68 變?yōu)镚 j K 故其對(duì)數(shù)頻率特性的低頻漸近線是一條20lgKdB的水平線 K值由該水平線求得 如圖 4 33a 所示 2 由波德圖確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 控制工程基礎(chǔ) 2 對(duì)于N 1時(shí) 即為 型系統(tǒng) 即 上式表明 低頻漸近線的斜率為 20dB dec 漸近線 或延長(zhǎng)線 與0dB軸交點(diǎn)處的頻率在數(shù)值上等于K 見圖4 33b 控制工程基礎(chǔ) 上式表明 低頻漸近線的斜率為 40dB dec 漸近線 或延長(zhǎng)線 與0dB軸交點(diǎn)處的頻率在數(shù)值上等于見圖4 33c 3 對(duì)于N 2時(shí) 即為 型系統(tǒng) 即 由于當(dāng) 1時(shí) 系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線一定過20lgK 所以K值可將 1由代入以上各式求得 控制工程基礎(chǔ) 圖4 33各種類型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值曲線 控制工程基礎(chǔ) 例4 4試確定具有圖4 32所示實(shí)驗(yàn)頻率特性曲線的系統(tǒng)傳遞函數(shù) 控制工程基礎(chǔ) 圖4 32系統(tǒng)的波德圖 解 首先以20dB dec及其倍數(shù)的線段來(lái)畫出對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如圖4 32中虛線所示 顯然 系統(tǒng)包含有一個(gè)積分環(huán)節(jié) 一個(gè)慣性環(huán)節(jié) 一個(gè)微積分環(huán)節(jié)和一個(gè)振蕩環(huán)節(jié) 然后找出轉(zhuǎn)角頻率 1 1 2 2 3 8并假定傳遞函數(shù)具有如下形式 例4 4試確定具有圖4 32所示實(shí)驗(yàn)頻率特性曲線的系統(tǒng)傳遞函數(shù) 控制工程基礎(chǔ) 或 4 70 阻尼比 由圖4 32測(cè)得諧振峰值Mr接近于 6rad s處 其對(duì)數(shù)幅值為1 25dB 根據(jù)1 25 20lgMr求得Mr 1 15 增益K在數(shù)值上等于低頻漸近線的延長(zhǎng)線與0分貝線交點(diǎn)處的頻率值 于是可得K 10 因此G j 可初步確定為 由 求得 0 5 控制工程基礎(chǔ) 一旦知道了對(duì)數(shù)幅頻特性上的每一個(gè)轉(zhuǎn)角頻率 則對(duì)應(yīng)于傳遞函數(shù)中的每一個(gè)環(huán)節(jié)的相頻曲線也就很容易畫出了 這些相頻曲線之和就是假設(shè)的傳遞函數(shù)相頻曲線 圖4 32中虛線是表示G j 的相頻曲線 由此可以看出由剛才初步確定的傳遞函數(shù)畫出的理論對(duì)數(shù)相頻特性和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的相頻特性是相一致的 且在高頻范圍內(nèi) 當(dāng) 時(shí)幅頻特性的斜率為 20 n m 20 4 1 60dB dec 相角為 90 n m 270 說(shuō)明該系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng) 故式 4 70 即為我們所要求的傳遞函數(shù) 由于我們還沒有檢查相頻曲線 所以這個(gè)傳遞函數(shù)是初步試探性的 控制工程基礎(chǔ) 一基本要求 1 掌握頻率特性的定義和代數(shù)表示法 掌握頻率特性和頻率響應(yīng)的求法 小結(jié) 2 掌握頻率特性的Nyquist圖和Bode圖的組成原理 熟悉典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖和Bode圖的特點(diǎn)及其繪制 掌握開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的特點(diǎn)和繪制 3 了解閉環(huán)頻率特性與開環(huán)頻率特性之間的關(guān)系 4 了解頻率特性的性能指標(biāo) 5 了解最小相位系統(tǒng)的概念 控制工程基礎(chǔ) 二本章重點(diǎn) 1 頻率特性的定義和代數(shù)表示法 頻率特性和頻率響應(yīng)的求法 2 典型環(huán)節(jié)的Bode圖 開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪制 小結(jié) 控制工程基礎(chǔ) 三本章難點(diǎn) 1 開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的畫法及圖形的分析 2 頻域性能指標(biāo)計(jì)算 小結(jié) 控制工程基礎(chǔ)