2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 突破點(diǎn)16 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（酌情自選）學(xué)案 文

突破點(diǎn)16導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(酌情自選)核心知識(shí)提煉提煉1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減(2)常數(shù)函數(shù)的判定方法如果在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，恒有f(x)0，那么函數(shù)yf(x)是常數(shù)函數(shù)，在此區(qū)間內(nèi)不具有單調(diào)性(3)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，則可以得出函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0)，從而轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)解決(注意等號(hào)成立的檢驗(yàn)).提煉2 函數(shù)極值的判別注意點(diǎn)(1)可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)f(x)x3，當(dāng)x0時(shí)就不是極值點(diǎn)，但f(0)0.(2)極值點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)數(shù)x0，當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)取得極值在x0處有f(x0)0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件(3)函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)函數(shù)值中的最大值，函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)函數(shù)值中的最小值.提煉3 函數(shù)最值的判別方法(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上最值的關(guān)鍵是求出f(x)0的根的函數(shù)值，再與f(a)，f(b)作比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值(2)求函數(shù)f(x)在非閉區(qū)間上的最值，只需利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，即可得結(jié)論高考真題回訪回訪1導(dǎo)數(shù)的幾何意義1(2017·全國(guó)卷)曲線yx2在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為_(kāi)xy10y2x，y|x11，即曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率k1，切線方程為y2x1，即xy10.2(2016·全國(guó)卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是_2xy0設(shè)x0，則x0，f(x)ex1x.f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)ex1x.當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex11，f(1)e111112.曲線yf(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y22(x1)，即2xy0.回訪2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性3(2016·全國(guó)卷)若函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A1,1BC. D.C取a1，則f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具備在(，)單調(diào)遞增的條件，故排除A，B，D.故選C.4(2015·全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)A設(shè)yg(x)(x0)，則g(x)，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，g(x)<0，g(x)在(0，)上為減函數(shù)，且g(1)f(1)f(1)0.f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，g(x)的圖象的示意圖如圖所示當(dāng)x>0，g(x)>0時(shí)，f(x)>0,0<x<1，當(dāng)x<0，g(x)<0時(shí)，f(x)>0，x<1，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)，故選A.回訪3函數(shù)的極值與最值5(2013·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數(shù)yf(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形C若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(，x0)上單調(diào)遞減D若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)0CA項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的值域?yàn)镽，所以一定存在x0R，使f(x0)0.A正確B項(xiàng)，假設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc的對(duì)稱中心為(m，n)，按向量a(m，n)將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)yf(xm)n是奇函數(shù)所以f(xm)f(xm)2n0，化簡(jiǎn)得(3ma)x2m3am2bmcn0.上式對(duì)xR恒成立，故3ma0，得m，nm3am2bmcf，所以函數(shù)f(x)x3ax2bxc的對(duì)稱中心為，故yf(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形B正確C項(xiàng)，由于f(x)3x22axb是二次函數(shù)，f(x)有極小值點(diǎn)x0，必定有一個(gè)極大值點(diǎn)x1，若x1x0，則f(x)在區(qū)間(，x0)上不單調(diào)遞減C錯(cuò)誤D項(xiàng)，若x0是極值點(diǎn)，則一定有f(x0)0.故選C.熱點(diǎn)題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題型分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題常在解答題的第(1)問(wèn)中呈現(xiàn)，有一定的區(qū)分度，此類題涉及函數(shù)的極值點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、不等式的恒成立等【例1】(2016·遼寧葫蘆島模擬)已知x1是f(x)2xln x的一個(gè)極值點(diǎn)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)，若函數(shù)g(x)在區(qū)間1,2內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024135】解 (1)因?yàn)閒(x)2xln x，所以f(x)2，因?yàn)閤1是f(x)2xln x的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f(1)2b10，解得b3，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以b3.則函數(shù)f(x)2xln x，其定義域?yàn)?0，)4分令f(x)20，解得x1，所以函數(shù)f(x)2xln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,16分(2)因?yàn)間(x)f(x)2xln x，所以g(x)28分因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在1,2上單調(diào)遞增，所以g(x)0在1,2上恒成立，即20在x1,2上恒成立，所以a(2x2x)max，而在1,2上，(2x2x)max3，所以a3.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為3，)12分方法指津根據(jù)函數(shù)yf(x)在(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法：(1)若函數(shù)yf(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為f(x)0在(a，b)上恒成立求解(2)若函數(shù)yf(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為f(x)0在(a，b)上恒成立求解(3)若函數(shù)yf(x)在(a，b)上單調(diào)，轉(zhuǎn)化為f(x)在(a，b)上不變號(hào)即f(x)在(a，b)上恒正或恒負(fù)(4)若函數(shù)yf(x)在(a，b)上不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為f(x)在(a，b)上變號(hào)變式訓(xùn)練1(2017·全國(guó)卷改編)已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x，試討論f(x)的單調(diào)性. 解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).3分(1)若a0，則f(x)e2x在(，)上單調(diào)遞增4分(2)若a0，則由f(x)0得xln a.當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增8分(3)若a<0，則由f(x)0得xln.當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增12分熱點(diǎn)題型2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值題型分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，主要以解答題的形式考查，難度較大【例2】(2017·山西三區(qū)八校二模)已知函數(shù)f(x)ln xax2bx(其中a，b為常數(shù)且a0)在x1處取得極值(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0，e上的最大值為1，求a的值【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024136】解 (1)因?yàn)閒(x)ln xax2bx，所以f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2axb，1分因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ln xax2bx在x1處取得極值，所以f(1)12ab0，又a1，所以b3，則f(x)，2分f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值3分所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為4分(2)由(1)知f(x)，令f(x)0，得x11，x2，因?yàn)閒(x)在x1處取得極值，所以x2x11，當(dāng)0時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間(0，e上的最大值為f(1)，令f(1)1，解得a2，6分當(dāng)a0時(shí)，x20，當(dāng)1時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，1，e上單調(diào)遞增，所以最大值可能在x或xe處取得，8分而fln a2(2a1)ln10，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，10分當(dāng)1e時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最大值可能在x1或xe處取得，而f(1)ln 1a(2a1)0，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，與1x2e矛盾，當(dāng)x2e時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，所以最大值可能在x1處取得，而f(1)ln 1a(2a1)0，矛盾，綜上所述，a或a212分方法指津利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法1若求極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào)2若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來(lái)求解3求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值變式訓(xùn)練2(2015·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a2分若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a>0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減6分(2)由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上無(wú)最大值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為flnaln aa110分因此f>2a2等價(jià)于ln aa1<0.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調(diào)遞增，g(1)0.于是，當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0；當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0.因此，a的取值范圍是(0,1)12分熱點(diǎn)題型3利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題題型分析：此類問(wèn)題以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式相交匯為命題點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式及求最值的相互轉(zhuǎn)化，達(dá)成了綜合考查考生解題能力的目的【例3】(2017·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a<0時(shí)，證明f(x)2.解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax2a11分若a0，則當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.3分若a<0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.5分(2)證明：由(1)知，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln16分所以f(x)2等價(jià)于ln12，即ln10.7分設(shè)g(x)ln xx1，則g(x)18分當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減10分故當(dāng)x1時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g(1)0.所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)0.從而當(dāng)a<0時(shí)，ln10，即f(x)212分方法指津1利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題2構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法(1)移項(xiàng)法：證明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)>0(f(x)g(x)<0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)f(x)g(x)(2)構(gòu)造“形似”函數(shù)：對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)(3)主元法：對(duì)于(或可化為)f(x1，x2)A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構(gòu)造函數(shù)f(x，x2)(或f(x1，x)(4)放縮法：若所構(gòu)造函數(shù)最值不易求解，可將所證明不等式進(jìn)行放縮，再重新構(gòu)造函數(shù)變式訓(xùn)練3(2016·太原一模)設(shè)函數(shù)f(x)ax2ln xb(x1)(x0)，曲線yf(x)過(guò)點(diǎn)(e，e2e1)，且在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y0.(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x1時(shí)，f(x)(x1)2；(3)若當(dāng)x1時(shí)，f(x)m(x1)2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024137】解 (1)函數(shù)f(x)ax2ln xb(x1)(x0)，可得f(x)2aln xaxb，因?yàn)閒(1)ab0，f(e)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1，所以a1，b12分(2)證明：f(x)x2ln xx1，設(shè)g(x)x2ln xxx2(x1)，g(x)2xln xx1，(g(x)2ln x10，所以g(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以g(x)g(1)0，所以g(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以g(x)g(1)0，所以f(x)(x1)26分(3)設(shè)h(x)x2ln xxm(x1)21，h(x)2xln xx2m(x1)1，由(2)中知x2ln x(x1)2x1x(x1)，所以xln xx1，所以h(x)3(x1)2m(x1)，當(dāng)32m0即m時(shí)，h(x)0，所以h(x)在1，)單調(diào)遞增，所以h(x)h(1)0，成立當(dāng)32m0即m時(shí)，h(x)2xln x(12m)(x1)，(h(x)2ln x32m，令(h(x)0，得x0e1，當(dāng)x1，x0)時(shí)，h(x)h(1)0，所以h(x)在1，x0)上單調(diào)遞減，所以h(x)h(1)0，不成立綜上，m12分10