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2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準提分練習(xí)第二篇 第27練

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2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準提分練習(xí)第二篇 第27練

第27練導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值壓軸大題突破練明晰考情1.命題角度:討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍是高考的熱點.2.題目難度:偏難題.考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性方法技巧(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法:在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f(x)>0,那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f(x)<0,那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.(2)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍:若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),則可以得出函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0),從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決(注意等號成立的檢驗).(3)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào),則轉(zhuǎn)化為f(x)0在(a,b)上有解.1.已知函數(shù)f(x)ln x,其中常數(shù)k>0,討論f(x)在(0,2)上的單調(diào)性.解因為f(x)1(x>0,k>0).當0<k<2時,>k>0,且>2,所以當x(0,k)時,f(x)<0,當x(k,2)時,f(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(0,k)上是減函數(shù),在(k,2)上是增函數(shù);當k2時,k2,f(x)<0在(0,2)上恒成立,所以f(x)在(0,2)上是減函數(shù);當k>2時,0<<2,k>,所以當x時,f(x)<0;當x時,f(x)>0,所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).綜上可知,當0<k<2時,f(x)在(0,k)上是減函數(shù),在(k,2)上是增函數(shù);當k2時,f(x)在(0,2)上是減函數(shù);當k>2時,f(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).2.已知函數(shù)f(x)aln(x1)axx2,討論f(x)在定義域上的單調(diào)性.解f(x)a2x,令f(x)0,得x0或x,又f(x)的定義域為(1,),當1,即當a0時,若x(1,0),f(x)0,則f(x)單調(diào)遞增;若x(0,),f(x)0,則f(x)單調(diào)遞減.當10,即2a0時,若x,f(x)0,則f(x)單調(diào)遞減;若x,f(x)0,則f(x)單調(diào)遞增;若x(0,),f(x)0,則f(x)單調(diào)遞減.當0,即a2時,f(x)0,f(x)在(1,)上單調(diào)遞減.當0,即a2時,若x(1,0),f(x)0,則f(x)單調(diào)遞減;若x,f(x)0,則f(x)單調(diào)遞增;若x,f(x)0,則f(x)單調(diào)遞減.綜上,當a0時,f(x)在(1,0)上單調(diào)遞增,在(0,)上單調(diào)遞減;當2a0時,f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在(0,)上單調(diào)遞減;當a2時,f(x)在(1,)上單調(diào)遞減;當a2時,f(x)在(1,0)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.3.設(shè)函數(shù)f(x)(aR).(1)若f(x)在x0處取得極值,確定a的值,并求此時曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線方程;(2)若f(x)在3,)上為減函數(shù),求a的取值范圍.解(1)對f(x)求導(dǎo),得f(x),因為f(x)在x0處取得極值,所以f(0)0,即a0.當a0時,f(x),f(x),故f(1),f(1),從而f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為y(x1),化簡得3xey0.(2)由(1)知,f(x).令g(x)3x2(6a)xa,由g(x)0,解得x1,x2.當xx1時,g(x)0,即f(x)0,故f(x)為減函數(shù);當x1xx2時,g(x)0,即f(x)0,故f(x)為增函數(shù);當xx2時,g(x)0,即f(x)0,故f(x)為減函數(shù).由f(x)在3,)上為減函數(shù)知,x23,解得a,故a的取值范圍為.4.已知函數(shù)f(x)x22aln x(a2)x.(1)當a1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)g(x)f(x)ax在(0,)上單調(diào)遞增?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.解(1)當a1時,f(x)x22ln x3x(x>0),則f(x)x3.當0<x<1或x>2時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當1<x<2時,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(2,),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).(2)假設(shè)存在實數(shù)a,使g(x)f(x)ax在(0,)上是增函數(shù),則g(x)f(x)ax20恒成立,即0在(0,)上恒成立,x22x2a0在(0,)上恒成立,a(x22x)(x1)2恒成立.又(x)(x1)2,x(0,)的最小值為.當a時,g(x)0恒成立.又當a時,g(x),當且僅當x1時,g(x)0.故當a時,g(x)f(x)ax在(0,)上單調(diào)遞增.考點二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值要點重組(1)可導(dǎo)函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點,如函數(shù)f(x)x3,f(0)0,但x0不是極值點.(2)極值點不是一個點,而是一個數(shù)x0,當xx0時,函數(shù)取得極值,在x0處,f(x0)0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件.(3)一般地,在閉區(qū)間a,b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么函數(shù)yf(x)在a,b上必有最大值與最小值.函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間的端點處取得.5.已知函數(shù)f(x)ax2(12a)xln x.(1)當a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當a<0時,求函數(shù)f(x)在上的最小值.解(1)由函數(shù)f(x)ax2(12a)xln x,可得f(x)2ax(12a),a>0,x>0,>0,令f(x)>0,即x1>0,得x>1,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,).(2)由(1)可得f(x),a<0,令f(x)0,得x1,x21,當>1,即<a<0時,f(x)在(0,1)上是減函數(shù),f(x)在上的最小值為f(1)1a;當1,即1a時,當x時,f(x)0;當x時,f(x)0,因此f(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),f(x)的最小值為f1ln(2a);當<,即a<1時,f(x)在上是增函數(shù),f(x)的最小值為faln 2.綜上,函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值為f(x)min6.討論函數(shù)f(x)ln(x1)a(x2x)(aR)的極值點的個數(shù).解由題意知,函數(shù)f(x)的定義域為(1,),f(x)a(2x1).令g(x)2ax2axa1,x(1,).當a0時,g(x)1,此時f(x)0,函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞增,無極值點;當a0時,令2ax2axa10,則a28a(1a)a(9a8).當0a時,0,g(x)0.故f(x)0,函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞增,無極值點;當a時,0.設(shè)方程2ax2axa10的兩根分別為x1,x2(x1x2),因為x1x2,所以x1,x2,由g(1)10,可得1x1.所以當x(1,x1)時,g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當x(x1,x2)時,g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x(x2,)時,g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)f(x)有兩個極值點;當a0時,0,由g(1)10,可得x11.當x(1,x2)時,g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當x(x2,)時,g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)有一個極值點.綜上所述,當a0時,函數(shù)f(x)有一個極值點;當0a時,函數(shù)f(x)無極值點;當a時,函數(shù)f(x)有兩個極值點.7.已知函數(shù)f(x)ln x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若對任意x>0,均有x(2ln aln x)a恒成立,求正數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x),x(0,).當a0時,f(x)>0,f(x)在(0,)上為增函數(shù),無極值;當a>0,x(0,a)時,f(x)<0,f(x)在(0,a)上為減函數(shù);x(a,)時,f(x)>0,f(x)在(a,)上為增函數(shù),所以f(x)在(0,)上有極小值,無極大值,f(x)的極小值為f(a)ln a1.(2)若對任意x>0,均有x(2ln aln x)a恒成立,即對任意x>0,均有2ln aln x恒成立,由(1)可知f(x)的最小值為ln a1,問題轉(zhuǎn)化為2ln aln a1,即ln a1,故0<ae,故正數(shù)a的取值范圍是(0,e.典例(12分)設(shè)函數(shù)f(x)a2x2ln x(aR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)如果函數(shù)f(x)的圖象不在x軸的下方,求實數(shù)a的取值范圍.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答·評分標準解(1)f(x)a2x(x0).1分當a0時,f(x)0,故f(x)在(0,)上單調(diào)遞減.當a0時,f(x),由f(x)0,得x;由f(x)0,得0x.3分所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.當a<0時,f(x),由f(x)0,得x;由f(x)<0,得0x<.5分所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上,當a0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,);當a0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;當a0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.6分(2)f(x)的圖象不在x軸的下方,即當x0時,f(x)0恒成立,所以a2x2ln x0,即a2.7分令h(x)(x0),則h(x),9分由h(x)0,得0x;由h(x)0,得x.故h(x)在(0,上單調(diào)遞增,在,)上單調(diào)遞減.當x時,h(x)取得最大值.所以a2,解得a或a.11分故實數(shù)a的取值范圍是.12分構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo):一般先確定函數(shù)的定義域,再求導(dǎo)數(shù)f(x).第二步轉(zhuǎn)化:“判斷函數(shù)單調(diào)性、求極值(最值)”常轉(zhuǎn)化為“判斷f(x)的符號”,“切線方程、切線的斜率(或傾斜角)、切點坐標”,常轉(zhuǎn)化為“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”,“恒成立問題”常轉(zhuǎn)化為“求最值”等.第三步求解:根據(jù)題意求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等問題.第四步反思:單調(diào)區(qū)間不能用“”連接;范圍問題的端點能否取到.1.(2016·北京)設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx,曲線yf(x)在點(2,f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解(1)f(x)的定義域為R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依題意可知,即解得a2,be.(2)由(1)知,f(x)xe2xex,由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知,f(x)與1xex1同號.令g(x)1xex1,則g(x)1ex1.所以,當x(,1)時,g(x)0,g(x)在區(qū)間(,1)上單調(diào)遞減;當x(1,)時,g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增.故g(1)1是g(x)在區(qū)間(,)上的最小值,從而g(x)0,x(,),綜上可知,f(x)0,x(,).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,).2.已知函數(shù)f(x)ln xa2x2ax(aR).若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.解函數(shù)f(x)ln xa2x2ax的定義域為(0,),f(x)2a2xa.方法一當a0時,f(x)0,所以f(x)在區(qū)間1,)上是增函數(shù),不合題意;當a0時,令f(x)0(x0),即(2ax1)(ax1)0(x0),即x,此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.依題意,得解得a1;當a0時,f(x)0(x0),即(2ax1)(ax1)0(x0),即x.此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.依題意,得解得a.綜上,實數(shù)a的取值范圍是1,).方法二當a0時,f(x)0,所以f(x)在區(qū)間1,)上是增函數(shù),不合題意;當a0時,要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1,)上是減函數(shù),只需f(x)0在區(qū)間1,)上恒成立.因為x0,所以只要2a2x2ax10在區(qū)間1,)上恒成立.所以解得a1或a.綜上,實數(shù)a的取值范圍是1,).3.已知函數(shù)f(x)x3ax2,其中參數(shù)aR.(1)當a2時,求曲線yf(x)在點(3,f(3)處的切線方程;(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)(xa)cos xsin x,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.解(1)由題意得f(x)x2ax,所以當a2時,f(3)0,f(x)x22x,所以f(3)3,因此曲線yf(x)在點(3,f(3)處的切線方程是y3(x3),即3xy90.(2)因為g(x)f(x)(xa)cos xsin x,所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x).令h(x)xsin x,則h(x)1cos x0,所以h(x)在R上單調(diào)遞增.因為h(0)0,所以當x>0時,h(x)>0;當x<0時,h(x)<0.當a<0時,g(x)(xa)(xsin x),當x(,a)時,xa<0,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當x(a,0)時,xa>0,g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x(0,)時,xa>0,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以當xa時,g(x)取到極大值,極大值是g(a)a3sin a;當x0時,g(x)取到極小值,極小值是g(0)a.當a0時,g(x)x(xsin x),當x(,)時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增;所以g(x)在(,)上單調(diào)遞增,g(x)無極大值也無極小值.當a>0時,g(x)(xa)(xsin x),當x(,0)時,xa<0,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當x(0,a)時,xa<0,g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x(a,)時,xa>0,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以當x0時,g(x)取到極大值,極大值是g(0)a;當xa時,g(x)取到極小值,極小值是g(a)a3sin a.綜上所述,當a<0時,函數(shù)g(x)在(,a)和(0,)上單調(diào)遞增,在(a,0)上單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是g(a)a3sin a,極小值是g(0)a;當a0時,函數(shù)g(x)在(,)上單調(diào)遞增,無極值;當a>0時,函數(shù)g(x)在(,0)和(a,)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是g(0)a,極小值是g(a)a3sin a.4.已知函數(shù)f(x)axln xx2.(1)若a1,求函數(shù)f(x)的極值;(2)若a1,x1(1,2),x2(1,2),使得f(x1)xmx2mx(m0),求實數(shù)m的取值范圍.解(1)依題意知,當a1時,f(x)xln xx2,f(x)12x,因為x(0,),故當x(0,1)時,f(x)0,當x(1,)時,f(x)0,故當x1時,f(x)有極小值,極小值為f(1)0,無極大值.(2)當a1時,f(x)xln xx2.因為x1(1,2),x2(1,2),使得f(x1)xmx2mx(m0),故ln x1x1mxmx2.設(shè)h(x)ln xx,g(x)mx3mx,當x(1,2)時,h(x)10,即函數(shù)h(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,故h(x)的值域為A(ln 22,1).又g(x)mx2mm(x1)(x1).當m0時,g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,此時g(x)的值域為B,因為AB,又01,故ln 22,即mln 23;當m0時,g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,此時g(x)的值域為B,因為AB,又01,故ln 22,故m(ln 22)3ln 2.綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為.

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