中考數學一輪復習 第40課 探索型問題課件 浙教版

第40課 探索型問題1條件探索型問題：給出問題的結論，讓解題者分析探索使結論成立應具備的條件，而滿足結論的條件往往不唯一，需要采用證明、推斷去探索發(fā)現并補充完善，使結論成立它要求解題者善于從問題的結論出發(fā)，逆向追索，多途尋因2結論探索型問題：給定明確條件但未明確結論或結論不唯一，要求解題者充分利用條件進行大膽而合理的猜想，然后對猜想的結論進行證明這類題主要考查解題者的發(fā)散思維和所學基本知識的應用能力要點梳理要點梳理3存在探索型問題：指在一定條件下需探索發(fā)現某種數學關系是否存在的問題解題時一般是先對結論作肯定存在的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，結合已知條件進行推理論證若導出矛盾，則否定先前假設；若推出合理的結論，則說明假設正確，由此得出問題的結論1按探索對象分類 按探索對象的不同，探索題可分為條件探索題和結論探索題，即執(zhí)果索因和執(zhí)因導果2按探索方法分類 (1)直觀探索法，對所學的新知識的思維遷移，進行發(fā)現，這種方法多用于圖形性質的發(fā)現； (2)歸納探索法，讓讀者對某些單個的、特殊的事物進行分析比較，從中總結出規(guī)律性的東西，從而進行發(fā)現； (3)類比探索法，把所要解決的新問題和與之有關的問題進行分類比較，發(fā)現它們之間的共同特點和規(guī)律 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 1(2010湛江)觀察下列算式：313, 329, 3327, 3481, 35243, 36729, 372187, 386561，通過觀察，用你所發(fā)現的規(guī)律確定32010的個位數字是() A3 B9 C7 D1 解析：通過觀察可知規(guī)律：冪的個位數字是3,9,7,1,3,9,7,1， ，所以2010除以4，得余數是2，冪的個位數字是9.基礎自測基礎自測B2(2011綦江綦江)如下表，從左到右在每個小格子中都填入一個整如下表，從左到右在每個小格子中都填入一個整數，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等，則數，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等，則第第2011個格子中的數為個格子中的數為() A. 3 B2 C0 D1 解析：由題意得解析：由題意得3ababcbc1， 得得a1，c3； 201167031， 第第2011個格子中的數為個格子中的數為3.31b31b3abc12A3(2011嘉興)一個紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍紫的順序重復排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個數可能是() A2011 B2011 C2012 D2013 解析：設這個紙環(huán)鏈共有5x個紙環(huán)，只有當5x122013, 5x2025，x405，是整數，故選D.D4(2011安順)一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動，在第一秒鐘，它從原點跳動到(0,1)，然后接著按圖中箭頭所示方向跳動即(0,0)(0,1) (1,1) (1,0)，且每秒跳動一個單位，那么第35秒時跳蚤所在位置的坐標是() A(4,0) B(5,0) C(0,5) D(5,5)B 解析：當跳蚤所在位置在第一象限的角平分線上， 點(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)， 所對應的時間分別為第2秒、第6秒、第12秒、第20秒， 24681030， 在第30秒，跳蚤所住位置是(5,5)， 則第35秒的位置是(5,0)5(2011鎮(zhèn)江)在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點坐標分 別為A(1,1)，B(1,1)，C(1,1)，D(1,1)，y軸上有一點P(0,2)作點P關于點A的對稱點P1，作點P1關于點B的對稱點P2，作點P2關于點C的對稱點P3，作點P3關于點D的對稱點P4，作點P4關于點A的對稱點P5，作點P5關于點B的對稱點P6，按此操作下去，則點P2011的坐標為() A(0,2) B(2,0) C(0,2) D(2,0) 解析：易求點P1(2,0)，P2(0,2)，P3(2,0)，P4(0,2)，P5(2,0)，P6(0,2)，而201145023， 故點P2011的坐標同點P3(2,0)，所以選D.D 題型一規(guī)律探索型問題 【例 1】 如圖，在直角坐標系中，已知點P0的坐標為(1,0)，將線段OP0按逆時針方向旋轉45，再將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1；又將線段OP1按 逆時針方向旋轉45，長度伸長 為OP1的2倍，得到線段OP2；如 此下去，得到線段OP3，OP4， ，OPn. (n為正整數) (1)求點P6的坐標； (2)求P5OP6的面積；題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 (3)我們規(guī)定：把點Pn(xn，yn)(n0，1,2,3，)的橫坐標xn、縱坐標yn都取絕對值后得到的新坐標(|xn|，|yn|)稱之為點Pn的“絕對坐標”根據圖中點Pn的分布規(guī)律，請你猜想點Pn的“絕對坐標”，并寫出來 解：(1)P6(0,64) (2)SP5OP6 6416 512 . (3)點Pn的坐標可分三類情況： 當n8k或n8k4時(其中k為自然數)，點Pn落在x軸上， 此時，點Pn的絕對坐標為(2n,0)；當n8k1或8k3或8k5或8k7時(其中k為自然數)，點Pn落在各象限的平分線上，此時，點Pn的絕對坐標為( 2n， 2n)，即(2n1 ，2n1 )當n8k2或8k6時(其中k為自然數)，點Pn落在y軸上，此時，點Pn的絕對坐標為(0,2n)探究提高 本題屬于規(guī)律探索型問題，數學對象所具備的狀態(tài)或關系不明確時，需對其本質屬性進行探索，從而尋求、發(fā)現其所服從的某一特定規(guī)律或具有的不變性解題方法一般是利用特殊值(特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等)進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律 知能遷移1已知下列n(n為正整數)個關于x的一元二次方程：x210；x2x20；x22x30； x2(n1)xn0. (1)請解上述一元二次方程、 ； (2)請你指出這n個方程的根具有什么共同特點，寫出一條即可 解：(1)方程x210的解是x11，x21； 方程x2x20的解是x11，x22； 方程x22x30的解是x11，x23； 方程 x2(n1)xn0的解是x11，x2n. (2)這n個方程都有一個根是x1. 題型二存在探索型問題 【例 2】 已知：如圖，ABC是邊長為3 cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1 cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動設點P的運動時間為t(s)，解答下列問題： (1)當t為何值時，PBQ是直角三角形？ (2)設四邊形APQC的面積為y(cm2)，求y 與t的關系式；是否存在某一時刻t，使 四邊形APQC的面積是ABC面積的 ？ 如果存在，求出相應的t值；若不存在， 說明理由 解：(1)當BPQ90時， 在RtBPQ中，B60，BP3t，BQt. cosB ，BPBQcosB，即3tt . 解之，得t2. 當BQP90時， 在RtBPQ中，B60，BP3t，BQt， cosB ， BQBPcosB，即t(3t) . 解之，得t1. 綜上，t1或t2時，PBQ是直角三角形 (2)S四邊形APQCSABCSPBQ， y 33sin60 (3t)tsin60 t2 t . 又S四邊形APQC SABC， t2 ( 33sin60)， 整理得，t23t30，(3)24131)，BP1，OP是OA、OB的比例中項，當點C在圓O上運動時，求AC BC的值；(結果用含m的式子表示) (3)在(2)的條件下，討論以BC為半徑的 圓B和以CA為半徑的圓C的位置關系， 并寫出相應m的取值范圍 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：(1)證明：AP2PBPBBOPO， AO2PO. 2. POCO， . COABOC， CAOBCO. 4分 (2)解：設OPx，則OBx1，OAxm， OP是OA、OB的比例中項， x2(x1)(xm)， 得x ，即OP . OB . OP是OA、OB的比例中項，即 ， 又OPOC， . 6分 設圓O與線段AB的延長線相交于點Q，當點C與點P、 點Q不重合時， AOCCOB，CAOBCO. . m. 8分 (3)由(2)得，ACBC，且ACBC(m1)BC(m1)， ACBC(m1)BC，圓B和圓C的圓心距dBC， 顯然BC(m1)BC， 圓B和圓C的位置關系只可能相交、內切或內含 11分 當圓B與圓C相交時， (m1)BCBC(m1)BC，得0m1，1m2； 12分 當圓B與圓C內切時， (m1)BCBC，得m2； 13分 當圓B與圓C內含時， BC2. 14分探究提高 本題給定條件但無明確結論，或結論不唯一，而需探索發(fā)現與之相應的結論 知能遷移3(2011綿陽)已知ABC是等腰直角三角形，A90，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E，如圖1. (1)若BD是AC的中線，如圖2，求 的值； (2)若BD是ABC的角平分線，如圖3，求 的值； (3)結合(1)、(2)，請你推斷 的值的取值范圍(直接寫出結論，不必證明)，并探究 的值能小于 嗎？若能，求出滿足條件的D點的位置；若不能，請說明理由 解：(1)設ADx，則AB2x， 根據勾股定理，可得BD x， AE，ADBEDC， ABDECD， ， 可得CE x，所以 . (2)設ADx，根據角平分線定理， 可知DC x，AB xx， 由勾股定理可知BD . 由ABDECD，得 ， 由勾股定理知EC2CD2DE2， EC ， 2.(3)由前面兩步的結論可以看出，由前面兩步的結論可以看出， 1，所以這樣的點，所以這樣的點是存在的，是存在的，D在在AC邊的五等分點和點邊的五等分點和點A之間之間 題型四條件探索型問題 【例 4】 已知：如圖，在RtACB中，C90，AC4 cm， BC3 cm，點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1 cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2 cm/s； 連接PQ.若設運動的時間為t(s)(0t2)，解答下列問題： (1)當t為何值時，PQBC? (2)設AQP的面積為y(cm2)，求y與t之間的函數關系式；(3)是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把RtACB的周長和 面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明 理由；(4)如圖，連接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四邊形 PQPC，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQPC為 菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明 理由 解：(1)由題意：BPt cm, AQ2t cm， 則CQ(42t) cm， C90，AC4 cm，BC3 cm， AB5 cm， AP(5t) cm. PQBC， APQABC. AP ABAQ AC， 即(5t) 52t 4， 解得t ，當t為(s)時，PQBC. (2)過點Q作QDAB于點D，則易證AQDABC， AQ QDAB BC，2t DQ5 3， QD t. APQ的面積： APQD (5t ) t， y與t之間的函數關系為：y3t t2. (3)由題意：當面積被平分時有：3t t2 34， 解得：t ， 當周長被平分時有：(5t)2tt(42t)3， 解得t1， 不存在這樣t的值 (4)過點P作PEBC于E，易證PBEABC， 當PEQC時，PQC為等腰三角形，此時四邊形PQPC為菱形 理由如下： PBEABC， PE PBAC AB，PE t4 5，解得：PE t. QC42t， 2 t42t，解得t ， 當t 時，四邊形PQPC為菱形 此時，PE ，BE ，CE . 在RtCPE中，根據勾股定理可知： PC ， 此菱形的邊長為 cm.探究提高探究提高 本題結論明確，而本題結論明確，而需探索發(fā)現使結論成需探索發(fā)現使結論成立的條件立的條件 知能遷移4如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處已知折痕CE5 ，且tanEDA . (1)判斷OCD與ADE是否相似？請說明理由； (2)求直線CE與x軸交點P的坐標； (3)是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成 的三角形相似？如果存在，請直接 寫出其解析式并畫出相應的直線； 如果不存在，請說明理由 解：(1)OCD與ADE相似理由如下： 由折疊知：CDEB90， 1290， 1390， 23. 又CODDAE90， OCDADE.圖圖1 (2)tanEDA ， 設AE3t，則AD4t. 由勾股定理得DE5t. OCABAEEBAEDE 3t5t8t. 由(1)可知，OCDADE， ， ，CD10t. 在DCE中，CD2DE2CE2， (10t)2(5t)2(5 )2，解得t1. OC8，AE3，點C的坐標為(0,8)， 點E的坐標為(10,3) 設直線CE的解析式為ykxb， y x8，則點P的坐標為(16,0) (3)滿足條件的直線l有2條：y2x12，y2x12. 如圖2中的l1、l2. 28規(guī)律探索問題分析不嚴密 試題探索nn的正方形釘子板上(n是釘子板上每邊的釘子數)，連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數：當n2時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與 ，所以不同長度值的線段只有二種，若用S表示不同長度值的線段種數，則S2；當n3時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1、 、2、 、2 五種，比n2時增加了三種，即S235.易錯警示易錯警示(1)觀察下圖，并填寫下表：觀察下圖，并填寫下表：(2)寫出寫出(n1)(n1)和和nn的兩個釘子板上，不同長度值的線的兩個釘子板上，不同長度值的線段種數之間的關系段種數之間的關系(用式子或語言表述均可用式子或語言表述均可)；(3)對對nn的釘子板，寫出用的釘子板，寫出用n表示表示S的代數式的代數式釘子數釘子數(nn)S值值22233234423()55() 學生答案展示 解：(1)4；2345. (2)設(n1)(n1)和nn兩個釘子板上不同長度值的線段種數分別為Sn1和Sn，則 Sn1234(n1)；Sn23n. (3)Sn234n. 剖析(1)填對了； (2)題目要求理解錯了，命題要求寫出兩個釘子板上的兩個S值之間關系，而不是每個釘子板上的S值與每邊上的釘子數n的關系，顯然，Sn比Sn1的值大n； (3)寫對了，但應化成不含省略號的代數式 正解(1)4；2345. (2)設(n1)(n1)和nn兩個釘子板上不同長度值的線段種數分別為Sn1和Sn，則 Sn1234(n1)；Sn23n. SnSn1n， 即在(n1)(n1)和nn的兩個釘子板上，不同長度值的線段種數前者比后者少n種 (3)Sn234n(1234n)1 .批閱筆記 錯在分析不嚴密，審題不清楚，還有變形不熟練，沒有按問題的要求寫好答案在進行規(guī)律總結時，考慮問題要全面并注意等式兩邊的式子隨著“序號”變化而變化的情況，最重要的是總結規(guī)律要加以驗證，若不對，則重新觀察歸納. 方法與技巧 1. 規(guī)律探索型問題：通過觀察、類比特殊情況中數據特點，將數據進行分解重組、猜想、歸納得出規(guī)律，并用數學語言來表達這種規(guī)律，同時要用結論去檢驗特殊情況，以肯定結論的正確 2. 條件探索型問題：該類問題結論明確，需要完備條件，因此需要利用結論進行積極的探索，分析已知條件，要使結論成立還需什么條件，寫出符合題意的條件思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 3. 結論探索型問題：該類問題僅給出某種情境而沒有明確的結論，或結論不唯一，或結論需要類比、引伸推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結得出一般結論探索時要將觀察、猜想和結論有機地結合起來 4. 存在探索型問題：是指在某種條件下判斷具有某種性質的數學結論是否存在的一類問題解題時先假設結論成立，以此為條件進行運算或推理若無矛盾，則假設成立，由此得出符合條件的結論成立；否則結論不存在失誤與防范 1探索型問題的解答，應突出數學思想方法，主要有等價轉化、函數與方程、分類討論、數形結合的思想，以及分析法、反證法、待定系數法、配方法、換元法等運用這些思想解答，可以提高解題的能力，舉一反三，防止就題論題，陷入題海，與此同時，要注意總結思路，把握常見題型，抓住解題規(guī)律 2解探索型問題應注意以下三點： (1)認真審題，確定目標，也就是把握題中涉及的有關概念、公式、定理、法則、方法，盡可能地進行聯想，以獲得最佳解題途徑； (2)善于挖掘隱含條件，提高準確性，做到不漏條件、判斷準確、運算合理； (3)開闊思路，因題定法，此類問題解答無定法，只有在分析命題的基礎上聯想并利用與之有關的概念，把問題轉化為熟悉的情形處理，才能找到切實可行的解法完成考點跟蹤訓練 40