高考數(shù)學(xué)名校全攻略專題復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 第2講 空間角與距離課件

求空間角與空間距離的題目對空間想象能力和等價轉(zhuǎn)化能求空間角與空間距離的題目對空間想象能力和等價轉(zhuǎn)化能力要求較高力要求較高.因為空間向平面的轉(zhuǎn)化、運算技巧及解三角形的方法因為空間向平面的轉(zhuǎn)化、運算技巧及解三角形的方法在這類題目中都會有所體現(xiàn)，所以這類題目一直都是高考的熱點，在這類題目中都會有所體現(xiàn)，所以這類題目一直都是高考的熱點，并呈現(xiàn)穩(wěn)中有增的發(fā)展趨勢并呈現(xiàn)穩(wěn)中有增的發(fā)展趨勢.這類問題在命題形式上也較為靈活，這類問題在命題形式上也較為靈活，從考查立體幾何基礎(chǔ)的選擇題、填空題到具有一定綜合程度的解從考查立體幾何基礎(chǔ)的選擇題、填空題到具有一定綜合程度的解答題都可能出現(xiàn)，因此，這一部分的復(fù)習(xí)更要注重知識與能力的答題都可能出現(xiàn)，因此，這一部分的復(fù)習(xí)更要注重知識與能力的全面結(jié)合全面結(jié)合.同時，利用空間向量求空間角和空間距離會降低解題難同時，利用空間向量求空間角和空間距離會降低解題難度，在復(fù)習(xí)中要注意這種方法的練習(xí)度，在復(fù)習(xí)中要注意這種方法的練習(xí).1(2010湖南高考湖南高考)如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，中，E是棱是棱DD1的中點的中點 (1)求直線求直線BE和平面和平面ABB1A1所成的角的所成的角的 正弦值；正弦值； (2)在棱在棱C1D1上是否存在一點上是否存在一點F，使，使B1F平面平面A1BE？證明你？證明你 的結(jié)論的結(jié)論圖圖a圖圖b (2)在棱在棱C1D1上存在點上存在點F，使，使B1F平面平面A1BE.事實上，如圖事實上，如圖(b)所示，取所示，取C1D1和和CD的中點分別為的中點分別為F，G，連結(jié)，連結(jié)EG、BG，CD1，F(xiàn)G.因因A1D1B1C1BC，且，且A1D1BC，所以四邊形所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，因此是平行四邊形，因此D1CA1B.又又E，G分別為分別為D1D，CD的中點，的中點，所以所以EGD1C，從而，從而EGA1B.這說明這說明A1，B，G，E共面共面所以所以BG平面平面A1BE.因四邊形因四邊形C1CDD1與與B1BCC1皆為正方形，皆為正方形，F(xiàn)，G分別分別為為C1D1和和CD的中點，的中點，所以所以FGC1CB1B，且，且FGC1CB1B，因此四邊形因此四邊形B1BGF是平行四邊形，所以是平行四邊形，所以B1FBG.而而B1F 平面平面A1BE，BG平面平面A1BE，故故B1F平面平面A1BE.2. (2010湖北高考湖北高考)如圖，在四面體如圖，在四面體 ABOC中，中，OCOA，OCOB，AOB120，且，且OAOBOC1.(1)設(shè)設(shè)P為為AC的中點證明：在的中點證明：在AB上存在一點上存在一點Q，使，使PQOA，并計算，并計算 的值；的值；(2)求二面角求二面角OACB的平面角的余弦值的平面角的余弦值(2)連結(jié)連結(jié)PN，PO.由由OCOA，OCOB知：知：OC平面平面OAB.又又ON平面平面OAB，OCON.又由又由ONOA；OCOAO得得ON平面平面AOC.OP是是NP在平面在平面AOC內(nèi)的射影內(nèi)的射影在等腰在等腰RtCOA中，中，P為為AC的中點，的中點，ACOP.又又AC平面平面AOC，ON平面平面OAC，ACON，又又OPONO，AC平面平面OPN(0，90(0，903二面角的取值范圍是二面角的取值范圍是 ，求二面角的基本方法有，求二面角的基本方法有 以下幾種：以下幾種：(1)求二面角的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，作二面角的求二面角的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，作二面角的 平面角的主要方法為：平面角的主要方法為： 根據(jù)定義直接作出二面角的平面角；根據(jù)定義直接作出二面角的平面角； 利用三垂線定理或其逆定理作出二面角的平面角；利用三垂線定理或其逆定理作出二面角的平面角； 通過作與棱垂直的平面，找出二面角的平面角通過作與棱垂直的平面，找出二面角的平面角 作出二面角的平面角后，再解三角形，求出平面角的作出二面角的平面角后，再解三角形，求出平面角的 大小大小0，4點到平面的距離的求解方法主要有：點到平面的距離的求解方法主要有：(1)直接法：直接由這一點向平面作垂線；直接法：直接由這一點向平面作垂線；(2)垂面法：過點垂面法：過點P作一平面與平面作一平面與平面垂直，再過點垂直，再過點P作作 兩平面的交線的垂線即可；兩平面的交線的垂線即可；(3)等體積法：轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，利用體積進(jìn)行求解；等體積法：轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，利用體積進(jìn)行求解；(4)向量法：設(shè)向量法：設(shè)n是平面是平面的一個法向量，在的一個法向量，在內(nèi)取一點內(nèi)取一點B， 則則A到到的距離的距離d .AB nn 計算空間角，其一般方法是根據(jù)定義通過作輔助線或計算空間角，其一般方法是根據(jù)定義通過作輔助線或輔助面構(gòu)造出要求的角輔助面構(gòu)造出要求的角，并作出含有角，并作出含有角的三角形，從的三角形，從而通過解三角形得角而通過解三角形得角的值，其步驟是：的值，其步驟是：“一作、二證、一作、二證、三計算三計算”思路點撥思路點撥(1)要證平面要證平面AEC平面平面PBD，只需證，只需證AC平面平面PBD；(2)由由(1)AC平面平面PBD，因此，因此AE與平面與平面PDB所成角即可得另外還可以使用向量法求解所成角即可得另外還可以使用向量法求解自主解答自主解答法一：法一：以以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系為原點建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)設(shè)ABa，PDh，則，則A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)法二：法二：(1)證明：證明：四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形，ACBD，PD底面底面ABCD，PDAC.又又PDBDD，AC平面平面PDB，AC面面AEC，平面平面AEC平面平面PDB.例例2(2010天津高考天津高考)如圖，在長方體如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分別是棱分別是棱BC，CC1上的點，上的點，CFAB2CE，AB AD AA11 2 4.(1)求異面直線求異面直線EF與與A1D所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)證明證明AF平面平面A1ED；(3)求二面角求二面角A1EDF的正弦值的正弦值 立體幾何中常涉及的距離立體幾何中常涉及的距離 (1)點面距離；點面距離；(2)線面距離；線面距離；(3)面面距離面面距離 其中，點面距離是線面距離、面面距離的基礎(chǔ)，求其他其中，點面距離是線面距離、面面距離的基礎(chǔ)，求其他兩種距離一般應(yīng)化歸為這一種距離，再通過解三角形而得到兩種距離一般應(yīng)化歸為這一種距離，再通過解三角形而得到解決解決 思路點撥思路點撥對于第對于第(1)問，由于過點問，由于過點C1作平面作平面A1DC的的垂線困難，因此用三棱錐的體積去解決用三垂線定垂線困難，因此用三棱錐的體積去解決用三垂線定理去找二面角的平面角，完成第理去找二面角的平面角，完成第(2)問問(2)過點過點D作作DEAC交交AC于于E，過點，過點D作作DFA1C交交A1C于于F，連結(jié)，連結(jié)EF.平面平面ABC平面平面ACC1A1，DE平面平面ABC，平面，平面ABC平面平面ACC1A1AC，DE平面平面ACC1A1.法二：法二：過點過點A作作AOBC交交BC于于O，過點，過點O作作OEBC交交B1C1于于E.因為平面因為平面ABC平面平面CBB1C1，所以，所以AO平面平面CBB1C1.分別以分別以O(shè)B，OE，OA所在的直線為所在的直線為x軸，軸，y軸，軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示 利用空間向量解決探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜繁難的利用空間向量解決探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只須通過坐標(biāo)運算進(jìn)行判斷，在解題過作圖、論證、推理，只須通過坐標(biāo)運算進(jìn)行判斷，在解題過程中，往往把程中，往往把“是否存在是否存在”問題，轉(zhuǎn)化為問題，轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解解，是否有規(guī)定范圍的解”等，可以使問題的解決更簡單、等，可以使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法有效，應(yīng)善于運用這一方法例例4如圖，四邊形如圖，四邊形ABCD是邊長為是邊長為1的正的正方形，方形，MD平面平面ABCD，NB平面平面ABCD，且且MDNB1，E為為BC的中點的中點(1)求異面直線求異面直線NE與與AM所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)在線段在線段AN上是否存在點上是否存在點S，使得，使得ES平面平面AMN？若存在，？若存在，求線段求線段AS的長；若不存在，請說明理由的長；若不存在，請說明理由若將本例中的條件若將本例中的條件“MDNB1”改為改為“MD2，NB1”在線段在線段AN上是否還存在點上是否還存在點S，使得，使得ES平面平面AMN？空間向量法空間向量法 空間向量法有兩種形式，一種是基向量法，一種是坐標(biāo)空間向量法有兩種形式，一種是基向量法，一種是坐標(biāo)運算法，在解題過程中，通常建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運算運算法，在解題過程中，通常建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運算求解，而忽略了基向量法的應(yīng)用，用基向量法時需要選擇三求解，而忽略了基向量法的應(yīng)用，用基向量法時需要選擇三個不共面的向量作為基底，把其他向量表示出來，再用向量個不共面的向量作為基底，把其他向量表示出來，再用向量運算解決問題運算解決問題例例5如圖所示，在直四棱柱如圖所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD為等腰梯形，為等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1，F(xiàn)分別是棱分別是棱AD，AA1，AB的中點的中點(1)證明：直線證明：直線EE1平面平面FCC1；(2)求二面角求二面角BFC1C的余弦值的余弦值(2)如圖所示，取如圖所示，取FC的中點的中點H，連接，連接BH，由于由于FCBCFB，所以所以BHFC.又又BHCC1，所以所以BH平面平面FCC1.過過H作作HGC1F于于G，連結(jié)，連結(jié)BG.由于由于HGC1F，BH平面平面FCC1，所以所以C1F平面平面BHG，因此因此BGC1F，(12分分)解題心得解題心得基向量法與坐標(biāo)運算法各有利弊，在解題時基向量法與坐標(biāo)運算法各有利弊，在解題時應(yīng)靈活選取，根據(jù)不同的問題和條件選擇不同的方法，不應(yīng)靈活選取，根據(jù)不同的問題和條件選擇不同的方法，不論是用基向量法還是用向量的坐標(biāo)運算法較傳統(tǒng)幾何法都論是用基向量法還是用向量的坐標(biāo)運算法較傳統(tǒng)幾何法都能省去大量的邏輯思維過程，特別是空間想象能力較差的能省去大量的邏輯思維過程，特別是空間想象能力較差的同學(xué)選擇向量法無疑是最好的同學(xué)選擇向量法無疑是最好的點擊此圖片進(jìn)入點擊此圖片進(jìn)入“專題訓(xùn)練專題訓(xùn)練”