第6講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

第六講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用真題試做1(2011·高考江西卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：SnSmSnm，且a11，那么a10()A1B9C10 D552(2013·高考江西卷)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_3(2013·高考湖南卷)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a10，2ana1S1·Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和考情分析數(shù)列求和問(wèn)題是數(shù)列中的重要知識(shí)，在各地的高考試題中頻頻出現(xiàn)，對(duì)于等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和主要是運(yùn)用公式；而非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的求和問(wèn)題，一般用倒序相加法、通項(xiàng)化歸法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等等差數(shù)列與等比數(shù)列、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)交匯點(diǎn)的綜合問(wèn)題是近幾年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，此類問(wèn)題在客觀題和解答題中都有所體現(xiàn)，難度不一，求解此類問(wèn)題的主要方法是利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，根據(jù)所學(xué)數(shù)列知識(shí)及題目特征，構(gòu)造出解題所需的條件考點(diǎn)一數(shù)列求和數(shù)列的求和問(wèn)題多從數(shù)列的通項(xiàng)入手，通過(guò)分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問(wèn)題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題(2013·高考山東卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S44S2，a2n2an1. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列bn滿足1，nN*，求bn的前n項(xiàng)和Tn.【思路點(diǎn)撥】(1)由于已知an是等差數(shù)列，因此可考慮用基本量a1，d表示已知等式，進(jìn)而求出an的通項(xiàng)公式(2)先求出，進(jìn)而求出bn的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求bn的前n項(xiàng)和強(qiáng)化訓(xùn)練1(2013·深圳調(diào)研)設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S37，且3a2是a13和a34的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<.考點(diǎn)二數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列應(yīng)用題是近年來(lái)高考命題改革的一個(gè)亮點(diǎn)，主要考查學(xué)生數(shù)列建模能力，其題型為：一是，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解；二是，通過(guò)歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識(shí)求解(2012·高考湖南卷)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)，該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元(1)用d表示a1，a2，并寫出an1與an的關(guān)系式；(2)若公司希望經(jīng)過(guò)m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)【思路點(diǎn)撥】(1)由第n年和第(n1)年的資金變化情況，得到an和an1的遞推關(guān)系(2)由遞推關(guān)系，利用迭代的方法可求通項(xiàng)公式，問(wèn)題得解解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是要做好三件事情：第一是努力讀懂題意，能用自己的語(yǔ)言把問(wèn)題表述出來(lái)；第二是找出關(guān)鍵字句，其他的文字可以不管；第三是將實(shí)際生活化的語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言在做好這三件事情的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)設(shè)元、列式，就不難實(shí)現(xiàn)這種數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化強(qiáng)化訓(xùn)練2某市投資甲、乙兩個(gè)工廠，2012年兩工廠的年產(chǎn)量均為100萬(wàn)噸，在今后的若干年內(nèi)，甲工廠的年產(chǎn)量每年比上一年增加10萬(wàn)噸，乙工廠第n年比上一年增加2n1萬(wàn)噸記2012年為第一年，甲、乙兩工廠第n年的年產(chǎn)量分別記為an，bn.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)若某工廠年產(chǎn)量超過(guò)另一工廠年產(chǎn)量的2倍，則將另一工廠兼并，問(wèn)到哪一年底其中一個(gè)工廠將被另一工廠兼并？考點(diǎn)三數(shù)列的綜合問(wèn)題數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題在高考中大多屬于中、高檔難度問(wèn)題在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，要注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的梳理，把握通性通法，不必刻意追求難度(2013·高考天津卷)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)TnSn(nN*)，求數(shù)列Tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值【思路點(diǎn)撥】(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出公比q，進(jìn)而可得到通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的值數(shù)列的綜合性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，此類問(wèn)題一般以數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用為主在該類問(wèn)題的求解過(guò)程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于該類問(wèn)題的解決，解題時(shí)要注意溝通數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，而本題利用數(shù)列的單調(diào)性求Tn的最值強(qiáng)化訓(xùn)練3設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，如果為常數(shù)，則稱數(shù)列an為“幸福數(shù)列”(1)等差數(shù)列bn的首項(xiàng)為1，公差不為零，若bn為“幸福數(shù)列”，求bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列cn的各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，若ccccS對(duì)任意nN*都成立，試推斷數(shù)列cn是否為“幸福數(shù)列”？并說(shuō)明理由數(shù)列與三類知識(shí)的交匯數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、平面幾何等知識(shí)的交匯問(wèn)題是高考的難點(diǎn)，與函數(shù)、不等式的交匯問(wèn)題主要考查利用函數(shù)與方程的思想方法解決數(shù)列中的問(wèn)題及用解決不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)；與解析幾何交匯，主要涉及點(diǎn)列問(wèn)題，與平面幾何交匯，主要涉及面積(周長(zhǎng))問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)建立數(shù)列的遞推關(guān)系或通項(xiàng)公式之間的關(guān)系，然后借助數(shù)列的知識(shí)加以解決一、數(shù)列和平面幾何的交匯(2013·高考安徽卷)如圖，互不相同的點(diǎn)A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面積均相等，設(shè)OAnan.若a11，a22，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_【解析】設(shè)OAnx(n3)，OB1y，O，記SOA1B1×1×ysin S，那么SOA2B2×2×2ysin 4S，SOA3B34S(4SS)7S，SOAnBnx·xysin (3n2)S，x.即an(n3)經(jīng)驗(yàn)證知an(nN*)【答案】an對(duì)于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問(wèn)題，通常利用幾何知識(shí)，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)an與an1之間的關(guān)系，然后根據(jù)遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論二、數(shù)列和函數(shù)的交匯(2013·高考安徽卷)設(shè)數(shù)列an滿足a12，a2a48，且對(duì)任意nN*，函數(shù) f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x滿足f()0. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn2(an)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.【解】(1)由題設(shè)可得f(x)anan1an2an1sin xan2cos x.對(duì)任意nN*，f()anan1an2an10，即an1anan2an1，故an為等差數(shù)列由a12，a2a48，可得數(shù)列an的公差d1，所以an21·(n1)n1.(2)由bn2(an)2(n1)2n2知，Snb1b2bn2n2·n23n1.(1)本題以函數(shù)為載體考查了數(shù)列的基本問(wèn)題，求解中利用f()0，把函數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)列知識(shí)，這種題型經(jīng)常見到(2)數(shù)列與函數(shù)交匯問(wèn)題的常見類型及解法：已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、分式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形另外，解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解三、數(shù)列與不等式的交匯(2013·高考天津卷)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且2S2，S3，4S4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)證明Sn(nN*). 【解】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.因?yàn)?S2，S3，4S4成等差數(shù)列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又因?yàn)閍1，所以等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an·(1)n1·.(2)證明：Sn1，Sn1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以SnS2.故對(duì)于nN*，有Sn.本題考查了數(shù)列不等式的證明，求解此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目特征，確定出與不等式有關(guān)的數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和，根據(jù)題目特征求解，求解時(shí)注意放縮法的應(yīng)用而本題利用了數(shù)列的單調(diào)性求解.體驗(yàn)真題·把脈考向_1【解析】選A.SnSmSnm，且a11，S11，可令m1，得Sn1Sn1，Sn1Sn1，即當(dāng)n1時(shí)，an11，a101.2【解析】每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664，27128.則n17，即n6.【答案】63【解】(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因?yàn)閍10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.當(dāng)n2時(shí)，由2an1Sn，2an11Sn1兩式相減，得2an2an1an，即an2an1.于是數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列因此，an2n1.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由(1)知，nann·2n1.記數(shù)列n·2n1的前n項(xiàng)和為Bn，于是Bn12×23×22n×2n1，2Bn1×22×223×23n×2n.，得Bn12222n1n·2n2n1n·2n.從而Bn1(n1)·2n._典例展示·解密高考_【例1】【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.由S44S2，a2n2an1，得解得因此an2n1，nN*.(2)由已知1，nN*，當(dāng)n1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)，1(1).所以，nN*.由(1)知an2n1，nN*，所以bn，nN*.所以Tn，Tn.兩式相減，得Tn()，所以Tn3.強(qiáng)化訓(xùn)練1【解】(1)由已知，得解得a22.設(shè)數(shù)列an的公比為q，則a1q2，a1，a3a1q22q.由S37，可知22q7，2q25q20，解得q12，q2.由題意，得q>1，q2.a11.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)證明：bn，Tn()()()()<.【例2】【解】(1)由題意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d，an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1ddan2dda1d.整理得an(3 000d)2d(3 0003d)2d.由題意，知am4 000，即(3 0003d)2d4 000，解得d.故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時(shí)，經(jīng)過(guò)m(m3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬(wàn)元強(qiáng)化訓(xùn)練2【解】(1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列，a1100，d10，所以an10n90.因?yàn)閎nbn12n1，bn1bn22n2，b2b12，所以bn1002222n12n98.(2)當(dāng)n5時(shí)，anbn且an<2bn.當(dāng)n6時(shí)，anbn，所以甲工廠有可能被乙工廠兼并2an<bn，即2(10n90)<2n98，解得n8，故2019年底甲工廠將被乙工廠兼并【例3】【解】(1)設(shè)等比數(shù)列an 的公比為q，因?yàn)镾3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是遞減數(shù)列且a1，所以q.故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an×(1)n1·.(2)由(1)得Sn1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1<SnS1，故0<SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以S2Sn<1，故0>SnS2.所以數(shù)列Tn最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為.強(qiáng)化訓(xùn)練3【解】(1)設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d(d0)，k，因?yàn)閎11，則nn(n1)dk2n·2n(2n1)d，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得，(4k1)dn(2k1)(2d)0，因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n上式恒成立，則，解得.故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是bn2n1.(2)由已知，當(dāng)n1時(shí)，cSc.因?yàn)閏1>0，所以c11.當(dāng)n2時(shí)，ccccS，ccccS.兩式相減，得cSS(SnSn1)(SnSn1)cn·(SnSn1)因?yàn)閏n>0，所以cSnSn12Sncn，顯然c11適合上式，所以當(dāng)n2時(shí)，c2Sn1cn1.于是cc2(SnSn1)cncn12cncncn1cncn1.因?yàn)閏ncn1>0，則cncn11，所以數(shù)列cn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列所以不為常數(shù)，故數(shù)列cn不是“幸福數(shù)列”