數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分 專題八概率與統(tǒng)計解答題的解法

專題八專題八 概率與統(tǒng)計解答題的解概率與統(tǒng)計解答題的解法法數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分?jǐn)?shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分考題剖析考題剖析 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 0312概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法應(yīng)試策略應(yīng)試策略 06 1.1.近三年高考各試卷概率與統(tǒng)計考查情況統(tǒng)計 2005年高考各地的16套試卷中，出現(xiàn)概率統(tǒng)計解答題的有15套，具體涉及的知識點(diǎn)是等可能事件、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生、獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率、分布列與期望. 2006年高考各地的18套試卷里，有15道此類型的解答題，其中有3道是關(guān)于概率計算的，1道涉及到正態(tài)分布的數(shù)據(jù)表格（湖北卷），其余的均為分布列和數(shù)學(xué)期望. 2007年高考各地的19套試卷中，有16道概率解答題，一般是以實(shí)際背景為載體進(jìn)行考查，也有一道題是以二次方程根的情況為載體，主要是考查三種概率，即：等可能事件的概率、獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率、分布列與期望.但廣東卷涉及到線性回歸方程的應(yīng)用問題，北京、湖北卷涉及到抽樣統(tǒng)計問題.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法 2.2.主要特點(diǎn) (1)概率知識與實(shí)際生活密切相關(guān)，高考對概率內(nèi)容的考查，往往以實(shí)際問題為背景，結(jié)合排列、組合等知識，考查學(xué)生對知識的運(yùn)用能力，這既是這類問題的特點(diǎn)，也符合高考發(fā)展方向. (2)隨機(jī)變量的考查穩(wěn)中求新，穩(wěn)中求活. 隨機(jī)變量在命題中涉及的知識及題型有： 簡單隨機(jī)變量的分布列； 簡單隨機(jī)變量的期望與方差的計算.隨機(jī)變量分布列試題的解法規(guī)律性強(qiáng)，但試題涉及的知識面廣、設(shè)問方式新，特別是與工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、生活、科研、文化、體育等實(shí)際知識相結(jié)合，因此顯得形式活潑、內(nèi)容新穎，解法靈活.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法 (3)統(tǒng)計考查. 此類型題主要考查簡單抽樣的三種方法，但由于統(tǒng)計的內(nèi)容在今后的工作、生活中有很大的應(yīng)用，在突出應(yīng)用數(shù)學(xué)的今天，可能加大考查力度，在正態(tài)分布等內(nèi)容上作文章. （4）考查“或然與必然思想”，面對隨機(jī)現(xiàn)象的不確定性（或然性），我們更要掌握其中的規(guī)律性（必然性）.近年來，高考突出了對概率與統(tǒng)計內(nèi)容的考查，使學(xué)生親歷于“或然”中抓住“必然”的實(shí)踐，是符合實(shí)際需要的.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法應(yīng)應(yīng) 試試 策策 略略 1.1.正確理解有關(guān)概念 (1)隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件；條件每實(shí)現(xiàn)一次，叫做一次試驗(yàn)；如果試驗(yàn)結(jié)果預(yù)先無法確定，這種試驗(yàn)叫做隨機(jī)試驗(yàn). (2)頻率與概率：對于一個事件來說概率是一個常數(shù)；頻率則隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率就越接近于事件的概率. (3)互斥事件與對立事件：對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件. (4)互斥事件與相互獨(dú)立事件：不可能同時發(fā)生的事件叫做互斥事件；而相互獨(dú)立事件則是指兩個事件發(fā)生與否相互之間沒有影響.應(yīng)試策略應(yīng)試策略概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法 2.2.從集合的角度看概率 若把一次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果組成集合I，事件A，B包含的結(jié)果分 別組成集合A，B，則事件A的概率就是P(A)= ;事件A與B互斥， 就是AB= ，A與B對立就是A=CI B，即 =B.應(yīng)試策略應(yīng)試策略概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法 3. 3.公式的使用 (1)常用公式： 等可能事件的概率：P(A)= 互斥事件的概率：P（AB）=P（A）P（B）.基本事件總數(shù)中所含基本事件數(shù)Anm)card()(cardIAA 對立事件的概率：P（A ）=P（A）P（ ）=1. 相互獨(dú)立事件的概率：P（AB）=P（A）P（B）. n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率： Pn(k)=C pk(1p)nk. (2)注意事項(xiàng)： 每個公式都有其成立的條件，若不滿足條件，則這些公式將不再成立. 對于一個概率問題，應(yīng)首先弄清它的類型，不同的類型采用不同的計算方法.一般題中總有關(guān)鍵語句說明其類型，對于復(fù)雜問題要善于進(jìn)行分解，或者運(yùn)用逆向思考的方法.應(yīng)試策略應(yīng)試策略概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法AAknkn 4. 4.掌握離散型隨機(jī)變量的期望與方差的概念及性質(zhì)： （1）期望：若離散型隨機(jī)變量的概率分布為 則的數(shù)學(xué)期望（或平均數(shù)、均值、簡稱期望）為： E=x1p1x2p2xnpn 它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. 數(shù)學(xué)期望有如下性質(zhì)： E(ab)=aEb(a,b為常數(shù)).應(yīng)試策略應(yīng)試策略概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法x1x2xnPp1p2pn (2)方差：如果離散型隨機(jī)變量的所有可能取值是x1,x2,xn，,且取這些值的概率分別是p1,p2,pn,那么D=(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn,叫的方差.D的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作. 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.（標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位） 方差的性質(zhì)：設(shè)a,b為常數(shù)，則D(ab)=a2D;D=E2(E)2. (3)若服從二項(xiàng)分布，即B(n,p)，則E=np,D=np(1p).應(yīng)試策略應(yīng)試策略概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法考考 題題 剖剖 析析考題剖析考題剖析1.（2007韶關(guān)摸底考試）如圖所示, 有兩個獨(dú)立的轉(zhuǎn)盤(A)、(B).兩個圖中三個扇形區(qū)域的圓心角分別為60、120、180.用這兩個轉(zhuǎn)盤進(jìn)行玩游戲，規(guī)則是：依次隨機(jī)轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤再隨機(jī)停下（指針固定不會動,當(dāng)指針恰好落在分界線時,則這次結(jié)果無效,重新開始），記轉(zhuǎn)盤(A)指針對的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤(B)指針對的數(shù)為y.設(shè)xy的值為,每轉(zhuǎn)動一次則得到獎勵分分. ()求x1的概率； () 某人玩12次，求他平均可以得到多少獎勵分？概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法考題剖析考題剖析 解析（）由幾何概率模型可知：P（x=1）= ，P（x=2）= ，P（x=3）= ；P（y=1）= ，P（y=2）= ，P（y=3）=則P（x1）= P（y=2） P（y=3）=所以P（x1）= P（x1）=概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法6131213121613261216191 （）由條件可知的取值為：2、3、4、5、6.則的分布列為： 他平均一次得到的獎勵分即為的期望值： E= 所以給他玩12次，平均可以得到12E=50分考題剖析考題剖析概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法1813673613361112123456P6251216361153613436731812 點(diǎn)評本題主要考查互斥事件的概率、隨機(jī)變量分布列和期望.注意指針落在1、2、3區(qū)域不是一個等可能事件而是與落在區(qū)域的面積大小有關(guān)，審題要仔細(xì)，最后是求12次的平均得分.考題剖析考題剖析 2. （2007昆明質(zhì)檢二）如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個頂點(diǎn)上按逆時針方向前進(jìn).現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步（如由A到B）；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步（如由A到C），當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步（如由A到D）.在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止. （）求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率； （）在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法考題剖析考題剖析 解析 （）投擲一次正方體玩具，上底面每個數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，其概率為P1= 因?yàn)橹煌稊S一次不可能返回到A點(diǎn)；若投擲兩次點(diǎn)P就恰好能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，3）、（3，1）、（2，2）三種結(jié)果，其概率為P2= 若投擲三次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三種結(jié)果，其概率為P3= 若投擲四次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，1，1，1），其概率為P4=所以，點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率為P=P2P3P4=概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法3162313)31(2913)31(3811)31(481378119131考題剖析考題剖析 （）在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問題中的7種， 因?yàn)?， 所以 . 概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法71)4(,73)3(,73)2(PPP719714733732E 點(diǎn)評在求較復(fù)雜事件的概率時往往轉(zhuǎn)化為求某幾個事件的“和事件”或“積事件”，如事件“點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)”，就分解為“投擲兩次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)”、“投擲三次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)”、“投擲四次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)”三個互斥事件的和，而這三個事件又可以進(jìn)一步分解，但要區(qū)分是不是互斥事件或獨(dú)立事件,否則容易漏分和重復(fù)導(dǎo)致出錯.3.（2007成都市質(zhì)檢二）一種電腦屏幕保護(hù)畫面，只有符號“”和“”隨機(jī)地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“”和“”之一，其中出現(xiàn)“”的概率為p，出現(xiàn)“”的概率為q，若第k次出現(xiàn)“”，則記ak=1；出現(xiàn)“”，則記ak=1，令Sn=a1a2an. （）當(dāng)p=q= 時，記=|S3|，求的分布列及數(shù)學(xué)期望； （）當(dāng) 時，求S8=2且Si0(i=1,2,3,4)的概率.考題剖析考題剖析概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法2132,31qp 解析（）=|S3|的取值為1，3，又p=q= ,P(=1)= P(=3)=的分布列為的數(shù)學(xué)期望E=考題剖析考題剖析概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法432)21()21(C21341)21()21(33214341 1 3 P23413431考題剖析考題剖析 點(diǎn)評本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和期望，考查限制條件下的概率計算.處理離散型變量時，注意正確判斷隨機(jī)變量的取值，全面剖析各個隨機(jī)變量所包含的各種事件及相互關(guān)系，準(zhǔn)確計算變量的每個取值的概率.有限制條件的概率計算要認(rèn)清限制條件對事件的影響.概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法 （）當(dāng)S8=2時，即前八秒出現(xiàn)“”5次和“”3次，又已知Si0(i=1,2,3,4), 若第一、三秒出現(xiàn)“”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“”3次； 若第一、二秒出現(xiàn)“”，第三秒出現(xiàn)“”，則后五秒可任出現(xiàn)“”3次.故此時的概率為)218780(3803830)32()31()(78353536或CCP 4. （2007西安中學(xué)三模）甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概 率分別是 .假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響； 每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響. （）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率； （）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則停止射擊.問:乙恰好射 擊5次后，被中止射擊的概率是多少？ （）若甲連續(xù)射擊5次,用表示甲擊中目標(biāo)的次數(shù)，求的數(shù) 學(xué)期望E.考題剖析考題剖析概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法4332和 解析（1）記“甲連續(xù)射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，射擊4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故P（A1）=答：甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率為 ；8165)32(1)(141AP8165考題剖析考題剖析 (2) 記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊未擊中” 為事件Di，（i=1，2，3，4，5），則 ，由于各事件相互獨(dú)立，故答：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是 .概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法41)()(123453iDP，DDDDDA且)()()()()(123453DDPDPDPDPAP,102445)41411 (434141102445 （3）根據(jù)題意服從二項(xiàng)分布；E=5考題剖析考題剖析 點(diǎn)評概率題常常有如下幾種類型：等可能性事件的概率；互斥事件的概率；獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率；獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件的概率.弄清每種類型事件的特點(diǎn)，區(qū)分使用概率求法，如本題的第一問是一個獨(dú)立事件同時發(fā)生的問題，滿足幾何顯著條件：每次射中目標(biāo)都是相互獨(dú)立的、可以重復(fù)射擊即事件重復(fù)發(fā)生、每次都只有發(fā)生或不發(fā)生兩種情形且發(fā)生的概率是相同的.第二問解答時要認(rèn)清限制條件的意義.概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法31032考題剖析考題剖析 .（2007湖北武漢四月調(diào)研）一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3、4 數(shù)字的4個球, 從這只袋中每次取出1個球, 取出后放回, 連續(xù)取三次, 設(shè)三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為. (1) 求=3時的概率; (2) 求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法 解析 (1) =3表示取出的三個球中數(shù)字最大者為3三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率 P1=( )3三取取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率41646)42()41(C2232P6412)42(412133 CP6419)3(321PPPP (2) 在=k時, 利用(1)的原理可知: (k=1,2,3,4). 的概率分布列為: 考題剖析考題剖析概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法64133)41(41C)41()41(C)41()(221312233kkkkkP1655643746419364726411E64164764196437 1 2 3 4 P 點(diǎn)評本小題主要考查等可能事件概率的計算、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的概念及其計算，考查分析問題及解決實(shí)際問題的能力.這也可以用排列組合中的分堆知識來理解. 6. (2007湖北黃岡駱駝坳中學(xué)5月模擬)有一種密碼，明文是由三個字符組成，密碼是由明文對應(yīng)的五個數(shù)字組成，編碼規(guī)則如下表：明文由表中每一排取一個字符組成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對應(yīng)的密碼由明文對應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組成. 設(shè)隨機(jī)變量表示密碼中不同數(shù)字的個數(shù). （）求P（=2）； （）求隨機(jī)變量的分布列和它的數(shù)學(xué)期望.考題剖析考題剖析概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法第一排明文字符ABCD密碼字符11121314第二排明文字符EFGH密碼字符21222324第三排明文字符MNPQ密碼字符1234 解析（）密碼中不同數(shù)字的個數(shù)為2的事件為密碼中只有兩個數(shù)字，注意到密碼的第1，2列分別總是1，2，即只能取表格第1，2列中的數(shù)字作為密碼. P(=2)=考題剖析考題剖析概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法814233 （）由題意可知，的取值為2，3，4三種情形.若=3，注意表格的第一排總含有數(shù)字1，第二排總含有數(shù)字2則密碼中只可能取數(shù)字1，2，3或1，2，4.P(=3)= . 若=4,則P(=4)= （或用1P(=2)P(=3)求得）.32194) 1C2A2(23231323294AAAA322232213 的分布列為： E=考題剖析考題剖析 點(diǎn)評本小題主要考查概率的計算、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的概念及其計算，考查分析問題及解決實(shí)際問題的能力，讀題、想題、審題的能力，求隨機(jī)變量的概率在某種程度上就是正確求出相應(yīng)事件的概率，因此必須弄清每個取值的含義，本概率題跟排列組合知識聯(lián)系緊密，其實(shí)高中概率題往往以排列組合知識為前提.概率與統(tǒng)計解答題的解法概率與統(tǒng)計解答題的解法813219329234P32101329432193812