數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分 專題六立體幾何解答題的解法

專題六專題六 立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分?jǐn)?shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分考題剖析考題剖析 試題特點試題特點 0314立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法應(yīng)試策略應(yīng)試策略 06 1.1.近三年高考各試卷立體幾何考查情況統(tǒng)計 立體幾何在每一年高考中都有一個解答題，這是不變的，主要考查空間位置關(guān)系（線線、線面及面面的平行與垂直）及空間量（線線角、線面角、面面角、點線距離、點面距離、線線距離、線面距離、面面距離），一般以三棱柱、四棱柱或三棱錐、四棱錐為載體進(jìn)行考查，如在2007年高考各地的19套試卷中,有9道錐體或涉及錐體,7道柱體,2道折疊題.當(dāng)然，也有不規(guī)則幾何體，如2006湖南卷的八面體，2007江西卷的不規(guī)則體.2007年19套試卷中,有11道題涉及到二面角的求法,6道涉及線面角求法,15道涉及垂直關(guān)系的證明.由此可知,線面位置關(guān)系證明依然是命題方向,角的計算依然是不老的話題.試題特點試題特點立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 2.2.主要特點 (1)解答題的考查穩(wěn)中求新，穩(wěn)中求活. 解答題在考查中經(jīng)常涉及的知識及題型有：證明“平行”和“垂直”；求多面體的體積；三種角的計算；有關(guān)距離的計算；多面體表面積或體積的計算.這類問題的解法主要是化歸思想，如兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角，面面距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點面距離等.但近幾年來，也推出了一些新題型，一是開放性試題，也是探索性的問題，如2006年的湖北卷第18題;二是立體幾何中的函數(shù)問題,如2007年廣東卷第19題.試題特點試題特點立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 (2)依托知識，考查能力. 由于近幾年加強(qiáng)了對能力的考查，因此應(yīng)重視空間想象能力、邏輯思維能力、化歸轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)，因高考數(shù)學(xué)是通過知識考能力，本章尤其突出的是空間想象能力，而空間想象能力并不是漫無邊際的胡想，而應(yīng)以題設(shè)為根據(jù)，以某一幾何體為依托，這樣會更好的幫助你解決實際問題，提高解題能力. (3)一題兩法，支持新課程改革. 立體幾何解答題的設(shè)計，注意了求解方法既可用向量方法處理，又可用傳統(tǒng)的幾何方法解決，并且向量方法比用傳統(tǒng)方法解決較為簡單，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用，符合數(shù)學(xué)教材改革的要求，有力地支持了新課程的改革.試題特點試題特點立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法應(yīng)應(yīng) 試試 策策 略略 1.平行、垂直位置關(guān)系的論證 證明空間線面平行或垂直需要注意以下幾點： (1)理清平行、垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.應(yīng)試策略應(yīng)試策略立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 (2)由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合 尋找證題思路. (3)立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔 助線(或面)是解題的常用方法之一. (4)三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應(yīng)優(yōu)先考慮，應(yīng)用時需要先認(rèn)清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內(nèi)直線的位置，再根據(jù)定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直.另外通過計算證明線線垂直也是常用方法之一.應(yīng)試策略應(yīng)試策略立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 2.2.空間角的計算 主要步驟：一作、二證、三算；若用向量，那就是一證、二算. (1)兩條異面直線所成的角 平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條 直線的平行線，常常利用中位線或成比例線段引平行線. 補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平 行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系. 向量法：直接利用向量的數(shù)量積公式cos= （注意向量的方向）.應(yīng)試策略應(yīng)試策略|baba立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 (2)直線和平面所成的角 作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線、找射影轉(zhuǎn)化到同一三 角形中計算，或用向量計算. 用公式計算sin= (PM 直線l，M面,是l與所成的角，n是 面的法向量）. (3)二面角 平面角的作法： ()定義法； ()三垂線定理及其逆定理法； ()垂面法.應(yīng)試策略應(yīng)試策略|nnPMPM立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 平面角計算法： ()找到平面角，然后在三角形中計算（解三角形）或用向量計算. ()射影面積法：cos= . ()向量夾角公式：|cos|= ，n1,n2是兩面的法向量.(是銳角還是鈍角，注意圖形和題意取舍）. *求平面的法向量：找；求：設(shè)a,b為平面內(nèi)的任意兩個向量，n=(x,y,1)為的法向量, 則由方程組 ，可求得法向量n.應(yīng)試策略應(yīng)試策略SS射影|2121nnnn00nbna立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 3.3.空間距離的計算 (1)兩點間距離公式（線段的長度） (A(xA,yA,zA),B(xB,yB,zB) (2)求點到直線的距離，經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點到直線的垂線，然后在相關(guān)的三角形中求解，也可以借助于面積相等求出點到直線的距離.(可用向量法來計算) (3)求兩條異面直線間距離，一般先找出其公垂線，然后求其公垂線段的長.在不能直接作出公垂線的情況下，可轉(zhuǎn)化為線面距離求解（這種情形高考不作要求）.應(yīng)試策略應(yīng)試策略222)()()(|BABABAzzyyxxABAB立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 (4)求點到平面的距離，一般找出（或作出）過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過該點作出平面的垂線，進(jìn)而計算；也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離；有時直接利用已知點求距離比較困難時，我們可以把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點上去求“點到平面的距離”.求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來求解. （向量法： (N為P在面內(nèi)的射影，M,n是面的法 向量）.應(yīng)試策略應(yīng)試策略|nnPMPN立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法考考 題題 剖剖 析析考題剖析考題剖析1.（2007南通市模擬題）如圖，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，設(shè)AB=a，BC=b，PA=c. （1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出A、B、M、N點的坐標(biāo)，并證明MNAB； （2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角為，當(dāng)為何值時（與a、b、c無關(guān)），MN是直線AB和PC的公垂線段. 解析（1）證明：以A為原點，分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則A（0，0，0），B（a，0，0），M（ ，0，0），N（ ）.2a2,2,2cba)2,2, 0(),0 , 0 ,(cbMNaAB.0MNABMNAB立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法考題剖析考題剖析 （2）P（0，0，c），C（a，b，0）， =（a，b，c），若MN是PC、AB的公垂線段，則 =0，即 PDA是二面角PCDA的平面角.PDA=45，即二面角PCDA是45.PCcbcb02222PDCDDACDABCDAP 面 點評 在高考立體幾何題中，兩種方法都可用，但一般來說，向量方法要好些，正確建立空間直角坐標(biāo)系是解題的前提，同時也要熟悉向量法處理這些問題的方法.立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法MNPC2.（2007東北三校質(zhì)檢題）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E是棱AB上的動點. （1）證明D1EA1D； （2）若二面角D1ECD為45時，求EB的長.考題剖析考題剖析 解析 解法1:（1）對長方體ABCDA1B1C1D1，有AB平面AA1D1D，A1D 平面AA1D1D, ABA1D由側(cè)面AA1D1D是矩形且AD=AA1=1，A1DAD1，AD1AB=A，A1D平面ABD1，又D1E 平面ABD1 D1EA1D立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法考題剖析考題剖析 （2）過D作DGEC，垂足為G，連接D1G對長方體ABCDA1B1C1D1，有D1D平面ABCD根據(jù)三垂線定理有D1GEC，D1GD是二面角D1ECD的平面角二面角D1ECD為45，則D1GD=45，又D1D=A1A=1DG=1在矩形ABCD中AB=2，AD=1由SDEC = ECDG=1得EC=2,EB=322 BCEC21立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法考題剖析考題剖析 解法2：對長方體ABCDA1B1C1D1，以D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.由AD=AA1=1，AB=2，點E是棱AB上的動點，設(shè)BE=m.D（0，0，0），D1（0，0，1）A1（1，0，1），E（1，2m，0），C（0，2，0） （1） =(1,2m,1), =(1,0,1), =11=0 ,即D1EA1DED1DA1DAED11DAED11立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法考題剖析考題剖析 （2）D1D平面ABCD，平面ABCD的法向量 =(0,0,1)設(shè)平面D1EC的法向量為n=(x,y,z),由n 得n =0又 =(0,2,1)2yz=0又 =(1,2m,1),x(2m)yz=0取y=1，則z=2，x=m n=(m,1,2)二面角D1ECD為45 n=| |n|cos45即2= 解得m= ,即EB=CD1DD1CD1CD1ED11DD1DD22412m33 點評本題第一問事實上是考查三垂線定理，當(dāng)然也可用線面垂直來證，在第二問的處理中，如果用非向量的方法，畫分圖是一個常用的方法，這樣可以避免由于空間位置關(guān)系的失真而出錯.畫分圖就是將空間圖形中的某一個平面畫出來，然后用平面幾何的相關(guān)知識來求邊與角的信息.立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法3.（2007岳陽市模擬題）如圖, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB=5,AA14，點D是AB的中點， （1）求證：ACBC1； （2）求證：AC1平面CDB1；考題剖析考題剖析 證明證法1：（1）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，ACBC，且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC，ACBC1； （2）設(shè)CB1與C1B的交點為E，連結(jié)DE，D是AB的中點，E是BC1的中點，DE/AC1，DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，AC1/平面CDB1；立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 （1） （3,0，0）， （0，4,4）， 0，ACBC1. 證法2：直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標(biāo)原點，直線CA、CB、CC1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（ ，2,0） 考題剖析考題剖析23AC1BC1BCAC 立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法考題剖析考題剖析 （2）設(shè)CB1與C1B的交點為E，則E（0,2，2）. ，DEAC1.)4 , 0 , 3(),2 , 0 ,23(1ACDE121ACDE 點評 （1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 4.（2007上海黃浦區(qū)模擬題）已知正方形ABCD.E、F分別是AB、CD的中點,將ADE沿DE折起,如圖所示,記二面角ADEC的大小為(0). （1）證明BF平面ADE; （2）若ACD為正三角形,試判斷點A在平面 BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結(jié)論,并 求角的余弦值.考題剖析考題剖析 解析() EF分別為正方形ABCD的邊AB、CD的中點,EB/FD,且EB=FD, 四邊形EBFD為平行四邊形.BF/EDDE 平面AED,而BF 平面AED BF/平面ADE.立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 （2）解法1:如右圖,點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GD.ACD為正三角形, AC=AD CG=GDG在CD的垂直平分線上,點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則AHDE,所以AHG為二面角ADEC的平面角.即AHG=設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF在折后圖的AEF中,AF= a,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形, AGEF=AEAF AG= a在RtADE中, AHDE=AEAD AH= aGH= cos= .考題剖析考題剖析3235252a41AHGH立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 解法2:點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點A作AGEF,垂足為G.ACD為正三角形,F為CD的中點, AFCD又因EFCD, 所以CD平面AEF . AG 平面AEF AGCD又AGEF且CDEF=F, CD 平面BCDE,EF 平面BCDEAG平面BCDE G為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.即點A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則AHDE,所以AHD為二面角ADEC的平面角.即AHG=.設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF考題剖析考題剖析立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法考題剖析考題剖析在折后圖的AEF中, AF= a,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形, AGEF=AEAF AG= a . 在RtADE中, AHDE=AEAD AH= a GH= cos= .3235252a41AHGH 解法3: 點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點作AGEF,垂足為G.ACD為正三角形, F為CD的中點,AFCD又因EFCD, 所以CD平面AEF CD 平面BCDE,平面AEF平面BCDE又平面AEF平面BCDE=EF, AGEF AG平面BCDEG為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法即點A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則AHDE,所以AHD為二面角ADEC的平面角.即AHG=設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF在折后圖的AEF中,AF= a,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形, AGEF=AEAF AG = a在RtADE中, AHDE=AEAD AH= aGH= , cos=5252a41AHGH 點評 折疊問題一直以來是立體幾何解答題中的熱門問題，這類問題一方面考查學(xué)生的空間想像能力，二方面考查空間點線面關(guān)系的推理能力，解決這類問題時，要注意到折疊前與折疊后空間關(guān)系與空間量的變化情況，一般來說，在折線的同一側(cè)，空間關(guān)系與空間量是沒有變化的，在折線的異側(cè)，空間關(guān)系與空間量是可能變化的.考題剖析考題剖析立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法323 5. (2007四川成都市模擬題)如圖，在各棱長均為2的三棱柱 ABCA1B1C1中，點A1在底面ABC內(nèi)的射影O恰好線段AC的中點. ()求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值； ()已知點D為點B關(guān)于點O的對稱點，在直 線AA1上是否存在點P，使DP平面AB1C？若存 在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由.考題剖析考題剖析立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法 解析 ()連結(jié)A1O，則A1O平面ABC.三棱柱各棱長都相等，AO=1，OA1 =OB= ，BOAC.故以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A(0，1，0)，B( ，0，0)，A1(0，0， )，C(0，1，0)， =(0,1, ). 設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x,y,1) 則 解得n=(1,0,1).由 .而側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角，即是向量 與平面AB1C的法向量所成銳角的余角，側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值為 .331AA)0 , 2 , 0(),3, 2 ,3(1ACAB0203231yACyxABnn46223|,cos111nnnAAAAAA1AA46考題剖析考題剖析立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法33 () BOAC，點D為點B關(guān)于點O的對稱點，點D的坐標(biāo)為D( ，0 , 0 )假設(shè)存在點P符合題意，則點P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0，y，z).DP平面AB1C，n=(1，0，1)為平面AB1C的法向量， n = z=0, z =由 ，得 ,y=0.又DP 平面AB1C，故存在點P，使DP平面AB1C，其坐標(biāo)為(0，0， )，即恰好為A1點.3),3(zyDP DP331AAAP331y3考題剖析考題剖析立體幾何解答題的解法立體幾何解答題的解法