高考數(shù)學 第三章 第五節(jié) 兩角和與差的三角函數(shù)課件 理 蘇教版

第五節(jié) 兩角和與差的三角函數(shù)1.1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式coscossinsinsincoscossinsincoscossintantan1tantan2.2.輔助角公式輔助角公式Asin +BcosAsin +Bcos =_sin(+)(A =_sin(+)(A2 2+B+B2 20,0,coscos = ) = )22AB2222AB,sin ABAB 判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確.(.(請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角兩角和與差的正弦、余弦公式中的角,是任意的是任意的.( ).( )(2)(2)存在實數(shù)存在實數(shù), ,使等式使等式sin(+)=sin +sinsin(+)=sin +sin 成成立立.( ).( )(3)(3)在銳角在銳角ABCABC中，中，sin Asinsin Asin B B和和cos Acoscos Acos B B大小不確大小不確定定.( ).( )(4)(4)公式公式tan(+tan(+)= )= 可以變形為可以變形為tan +tan +tan =tan(+)(1-tan tantan =tan(+)(1-tan tan ), ),且對任意角且對任意角,都成立都成立.( ).( )tan tan 1tan tan 【解析【解析】(1)(1)正確正確. .對于任意的實數(shù)對于任意的實數(shù), , ,兩角和與差的正弦、兩角和與差的正弦、余弦公式都成立余弦公式都成立. .(2)(2)正確正確. .如取如取=0=0，sin 0=0,sin 0=0,sin(+0)=sin =sin +sinsin(+0)=sin =sin +sin 0. 0.(3)(3)錯誤錯誤. . A+BA+B,cos(A+Bcos(A+B) )0,0,即即cos Acos B-sin Asincos Acos B-sin Asin B B0.0.sin Asin Bsin Asin Bcos Acos B.cos Acos B.(4)(4)錯誤錯誤. .變形可以，但不是對任意角變形可以，但不是對任意角,都成立都成立. .答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3) (4) (4)21.1.已知已知tan =3,tan =3,則則【解析【解析】原式原式答案：答案：sinsin_.coscos sin cos cos sin sin cos cos sin cos cossin sin cos cos sin sin 2cos sin 11.2sin sin tan 3 132.2.已知已知,均為銳角，且均為銳角，且 則則sin(+)sin(+)=_.=_.【解析解析】由由,均為銳角均為銳角 得得cos =cos =sin(+)=sin cos +cos sin sin(+)=sin cos +cos sin 答案：答案：31sin ,cos ,53 31sin ,cos ,53 ，42 2sin 53 ，3142 238 2.53531538 2153.3.化簡：化簡：【解析解析】答案：答案：cos3sin_.121213cos3sin2( cossin)12122122122(coscossinsin)3123122cos()2cos2.312424.tan 204.tan 20+tan 40+tan 40+ tan 20+ tan 20tan 40tan 40=_.=_.【解析解析】由由 得得tan 20tan 20+tan 40+tan 40= tan 20= tan 20tan 40tan 40, ,代入所代入所求求, ,得得答案：答案：3tan 20tan 40tan 603,1tan 20 tan 40 3333tan 20 tan 403tan 20 tan 403. 35.5.若若 則則tan(-)=_.tan(-)=_.【解析解析】因為因為sin = ( sin = ( )，所以所以 所以所以tan =-tan =-答案：答案：-2-231sin (),tan ,5 22 352234cos 1 ( ),55 3.431tan tan 42tan2.311tan tan 142 考向考向 1 1 三角函數(shù)的求值三角函數(shù)的求值 【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013南通模擬南通模擬) )求值：求值：coscos 45 45cos 15cos 15- -sin 45sin 45sin 15sin 15+tan 495+tan 495=_.=_.(2)(2)已知已知為銳角，為銳角，coscos = , = ,則則tan( +)=_.tan( +)=_.(3)(2013(3)(2013揚州模擬揚州模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=2sin( ),xRf(x)=2sin( ),xR. .求求f( )f( )的值；的值；設(shè)設(shè)求求cos(+cos(+) )的值的值. .5541x3654106,0,f(3),f 32,22135 ，【思路點撥【思路點撥】(1)(1)根據(jù)兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)根據(jù)兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解合特殊角的三角函數(shù)值求解. .(2)(2)利用已知求利用已知求tan tan ，從而可求，從而可求. .(3)(3)直接代入求值；直接代入求值；將已知條件轉(zhuǎn)化，利用兩角和的余弦將已知條件轉(zhuǎn)化，利用兩角和的余弦公式求解公式求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由兩角差的余弦公式及誘導(dǎo)公式，得由兩角差的余弦公式及誘導(dǎo)公式，得cos 45cos 45cos 15cos 15-sin 45-sin 45sin 15sin 15+tan 495+tan 495=cos(45=cos(45+15+15)+tan(495)+tan(495-540-540) )=cos 60=cos 60+tan(-45+tan(-45)=)=答案：答案：(2)(2)由由coscos = , = ,為銳角，可得為銳角，可得sin = sin = ，則，則tan =2,tan =2,所以所以答案：答案：-3-3111.22 12552 551tan tan()3.41tan (3)(3)又又cos(+)=cos cos(+)=cos cos -sin cos -sin sin sin 55f()2sin()2sin2.412641f(3)2sin(3)23261052sin ,sin .1313 120,cos .213 1f 322sin3236 62sin()2cos ,25 34cos .0,sin .525 1235416.13513565【互動探究【互動探究】若將本例若將本例(2)(2)中中“coscos = ” = ”改為改為“sin(sin(- )= ”- )= ”，其他條件不變，如何求解，其他條件不變，如何求解coscos ？【解析【解析】為銳角，即為銳角，即0 0 又又5513,2.66312 2sin()cos(),6363，cos coscos()cossin()sin666666 ()2 23112 61.323266【拓展提升【拓展提升】三角函數(shù)求值的兩種類型三角函數(shù)求值的兩種類型(1)(1)給角求值：關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三給角求值：關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù). .(2)(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異的差異. .一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用，同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)備應(yīng)用，同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的值代入，從而達到解題的目的. .【提醒【提醒】解答有條件限制的求值問題時，一般方法是拼角與拆解答有條件限制的求值問題時，一般方法是拼角與拆角角. .【變式備選【變式備選】已知已知 則則sin(+)=_.sin(+)=_.【解析解析】又又又又sin(+sin(+)=-sin)=-sin+(+(+) )3,0,cos()4444 335,sin(),5413 3,4424 34cos(),sin().4545 330,444 35312sin(),cos(),413413 答案：答案：3sin()44 ()33sin()cos()cos()sin()4444 4123563().51351365 6365考向考向 2 2 三角函數(shù)的給值求角三角函數(shù)的給值求角 【典例【典例2 2】已知已知 且且0 0(1)(1)求求tan 2tan 2的值的值. .(2)(2)求求.【思路點撥【思路點撥】(1)(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出sin ,sin ,tan tan ，再求出，再求出tan 2.tan 2.(2)(2)把把寫成寫成-(-(-) )，根據(jù)已知條件求出，根據(jù)已知條件求出的正弦，的正弦，-的正弦，求出的正弦，求出coscos ，根據(jù)范圍確定角，根據(jù)范圍確定角.113cos ,cos,714 .2【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由由 得得sin =sin =于是于是(2)(2)由由0 0 , ,得得0 0- . .又又cos(-)=cos(-)=1cos ,0,72 2214 31 cos1 ( ).77 sin 4 37tan 4 3.cos 71 222tan 2 4 38 3tan 2.1tan471 (4 3) 2213,14由由=-(-),=-(-),得得cos =coscos =cos-(-)-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=cos cos(-)+sin sin(-)22133 3sin1 cos1 ().1414 1134 33 31,7147142.3 【拓展提升【拓展提升】1.1.三角函數(shù)的給值求角問題的一般思路三角函數(shù)的給值求角問題的一般思路(1)(1)求出該角的某一三角函數(shù)值求出該角的某一三角函數(shù)值. .(2)(2)確定角的范圍確定角的范圍. .(3)(3)根據(jù)角的范圍寫出角根據(jù)角的范圍寫出角. .2.2.三角函數(shù)給值求角時應(yīng)注意的問題三角函數(shù)給值求角時應(yīng)注意的問題求角的某一三角函數(shù)值時求角的某一三角函數(shù)值時, ,應(yīng)選擇在該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)應(yīng)選擇在該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)的函數(shù)的函數(shù). .這樣這樣, ,由三角函數(shù)值才可以惟一確定角由三角函數(shù)值才可以惟一確定角. .如若角的范如若角的范圍是圍是(0, ),(0, ),選正、余弦皆可選正、余弦皆可; ;若角的范圍是若角的范圍是(0,),(0,),選余選余弦較好弦較好; ;若角的范圍為若角的范圍為( ),( ),選正弦較好選正弦較好. .2,2 2 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】ABCABC的三內(nèi)角分別為的三內(nèi)角分別為 向量向量m=( sin A,=( sin A,sin B),sin B),n=(cos B, cos=(cos B, cos A) A)，若，若mn=1+cos(A+B),=1+cos(A+B),求求C.C.【解析【解析】mn= sin Acos B+ sin Bcos A= sin Acos B+ sin Bcos A= (sin Acos B+sin Bcos A)= (sin Acos B+sin Bcos A)= sin(A+B)=1+cos(A+B),= sin(A+B)=1+cos(A+B), sin C=1-cos C, sin C=1-cos C, sin C+cos C=1, sin C+cos C=1,即即又又A B C, , ,3333333312sin(C)1,sin(C),662 152C0,C,C.663 考向考向 3 3 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 【典例【典例3 3】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=sin(x+ )+cos(x- ),xR.f(x)=sin(x+ )+cos(x- ),xR.(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期和最小值的最小正周期和最小值. .(2)(2)已知已知0 ,0 ,求證：求證：f(f() )2 2-2=0.-2=0.【思路點撥【思路點撥】(1)(1)把把f(xf(x) )化成化成Asin(x+Asin(x+) )的形式的形式. .(2)(2)利用兩角和與差的余弦公式展開，兩式相加可得利用兩角和與差的余弦公式展開，兩式相加可得2cos cos2cos cos =0 =0，結(jié)合，結(jié)合0 0 ，可得，可得 進而得證進而得證. .743444cos,cos,55 222 ，【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)f(x)=sin(x(1)f(x)=sin(x+ -2)+ -2)+=2sin(x- ).=2sin(x- ).f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期T=2T=2，f(xf(x) )的最小值為的最小值為-2.-2.(2)(2)由已知得由已知得cos cos +sin sin = ,cos coscos cos +sin sin = ,cos cos -sin sin-sin sin =- , =- ,兩式相加得兩式相加得2cos cos2cos cos =0. =0.743sin(x)sin(x)sin(x)424444545 220,22f24sin20.4 【拓展提升【拓展提升】三角函數(shù)公式和三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系三角函數(shù)公式和三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系(1)(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的考查往往滲透在研兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中究三角函數(shù)性質(zhì)中. .需要利用這些公式需要利用這些公式, ,先把函數(shù)解析式化為先把函數(shù)解析式化為y y =Asin(x+=Asin(x+) )的形式的形式, ,再進一步探討定義域、值域、最值、單再進一步探討定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì). .(2)(2)注意特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，主注意特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，主要考查基本運算能力要考查基本運算能力. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=sin 2x- cosf(x)=sin 2x- cos 2x+a. 2x+a.(1)(1)求求f(xf(x) )的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間. .(2)(2)當當 時，函數(shù)時，函數(shù)f(xf(x) )的最大值與最小值的和為的最大值與最小值的和為 求求a.a.【解析【解析】f(x)=sin 2x- cos 2x+a=2sin(2x- )+af(x)=sin 2x- cos 2x+a=2sin(2x- )+a，(1)f(x)(1)f(x)的最小正周期的最小正周期由由 得得3x,4 3 23,332T2 ，2k2x2k,kZ,2325kxkkZ,1212 ，故故f(xf(x) )的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為(2)(2)當當 時，時，f(x)f(x)maxmax= +a,f(x)= +a,f(x)minmin=-2+a,=-2+a,5k,k,kZ.1212x,4 3 52x,633 31sin(2x),32 33aa223,a2. 【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】應(yīng)用公式解決三角函數(shù)的綜合問題應(yīng)用公式解決三角函數(shù)的綜合問題 【典例【典例】(14(14分分)(2012)(2012廣東高考廣東高考) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=Acosf(x)=Acos( +( + ),xR ),xR, ,且且(1)(1)求求A A的值的值. .(2)(2)設(shè)設(shè)求求cos(+cos(+) )的值的值. .x46f( )2.343028,0,f(4),f(4),231735 【思路點撥【思路點撥】【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1) 5 5分分(2)(2)由由(1)(1)知知f(xf(x)=2cos( ).)=2cos( ). 7 7分分又又f( )2,Acos()2,31262A2.cos4x46430f(4),317 14302cos(4)2cos(), 436217 15sin ,17 28f(4)35 ， 9 9分分又又 1212分分cos(+)=cos cos -sin sincos(+)=cos cos -sin sin = = 14 14分分12842cos(4)2cos ,cos .43655 83,0,cos ,sin .2175 8415313.17517585 【失分警示【失分警示】( (下文下文見規(guī)范解答過程見規(guī)范解答過程) )1.(20131.(2013南京模擬南京模擬) )化簡化簡【解析【解析】sin 44sin 44cos 14cos 14-cos 44-cos 44cos 76cos 76=sin 44=sin 44cos 14cos 14-cos 44-cos 44sin 14sin 14=sin(44=sin(44-14-14)=sin 30)=sin 30= .= .答案：答案： sin 44 cos 14cos 44 cos 76_. 12122.(20122.(2012湖南高考改編湖南高考改編) )函數(shù)函數(shù)f(x)=sin x-cos(x+ )f(x)=sin x-cos(x+ )的的值域為值域為_._.【解析解析】答案：答案：6 31f xsin xcos xsin x22313(sin xcos x)3sin(x)xR,226， xR,f x3, 3 .6 33 ，3.(20133.(2013蘇州模擬蘇州模擬) )在在ABCABC中，若中，若tan Atan Btan Ctan Atan Btan C=123=123，則，則A=_.A=_.【解析解析】由由tan Atan Btan C=123tan Atan Btan C=123可設(shè)可設(shè)tan A=atan A=a，則，則tan B=2a,tan C=3atan B=2a,tan C=3a，且，且a a0.0.又又A,B,CA,B,C是三角形的內(nèi)角，是三角形的內(nèi)角，故故即即tan A=1,tan A=1,故故A= .A= .答案：答案： tan Btan Ctan Atan BC1tan Btan C ，222a3aa6a15,a1,a1,12a 3a ，444.(20134.(2013鹽城模擬鹽城模擬) )設(shè)設(shè)為銳角，為銳角，則則tan =_.tan =_.【解析【解析】由由為銳角，為銳角， 得得又又答案：答案：31cos ,tan,53 3cos 5 ，44sin ,tan .53 1tan3 ，41tan tan933tan tan.411tan tan13133 9131.1.函數(shù)函數(shù) 是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，則a=_.a=_.【解析【解析】= = 且且又又f(x)f(x)是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，即即答案：答案：-1-1 f xasin(x)3sin(x)63 f xasin(x)3cos(x)662a3sin(x),63tan.a k,kZ62 ，k,3 tantan( k)tan333 ，33,a1.a 2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)= sin x+cos xf(x)= sin x+cos x，xR.xR.若若f(x)1f(x)1，則則x x的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析解析】由由f(x)=2sin(x+ )1f(x)=2sin(x+ )1，得得sin(x+ ) ,sin(x+ ) ,即即答案：答案：3661252kx2k,kZ,66622kx2k,kZ.3 22k ,2k(kZ)3