2015屆高考數(shù)學 考前三個月 必考題型過關練 第44練 矩陣與變換 理

2015屆高考數(shù)學 考前三個月 必考題型過關練 第44練 矩陣與變換 理 第44練 矩陣與變換 題型一 常見矩陣變換的應用 例1 已知曲線C：xy1. (1)將曲線C繞坐標原點逆時針旋轉45°后，求得到的曲線C的方程； (2)求曲線C的焦點坐標和漸近線方程 破題切入點 把握常見矩陣變換類型，比用一般矩陣運算處理要方便得多，同時，從前后曲線性質分析上，可以加深對曲線性質的理解 解 (1)設P(x0，y0)是曲線C：xy1上的任一點， 點P(x0，y0)在旋轉變換后對應的點為 P(x0，y0)，則 ?x0?cos 45° sin 45°?x0? ?y0?sin 45° cos 45°?y0? ?22 22?x?2222?. ?2 2?y?2x2y?22?22?0000 00 22?x，?22?22yx，?22000000 0002?x?xy?，?2?2yyx?.?2000 又x0y01， 2222(y0x0)3y0x0)1. 2222y0 x0 2，即曲線C：xy1旋轉后所得到的曲線C的方程為yx2. (2)曲線C的焦點坐標為F1(0，2)，F(xiàn)2(0,2)，漸近線方程為y±x. 再順時針旋轉45°后，即可得到曲線C的焦點坐標為(2，2)和(2，2)；漸近線方程為x0，y0. 題型二 二階矩陣的逆矩陣 - 1 - ?a 例2 設矩陣M?0 0?b?(其中a>0，b>0) 1(1)若a2，b3，求矩陣M的逆矩陣M； (2)若曲線C：xy1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線Cy1，求a，b4 的值 破題切入點 對于二階矩陣，若有ABBAE，則稱B為A的逆矩陣因而求一個二階矩陣的逆矩陣，可用待定系數(shù)法求解 22x22 ?x1 y1?解 (1)設矩陣M的逆矩陣M?， ?x2 y2? ?1 0?1則MM?. ?0 1? ?2 0?又M?， ?0 3? ?2 0?x1 y1?1 0?所以?. ?0 3?x2 y2?0 1?1 所以2x11,2y10,3x20,3y21， 11即x1，y10，x20，y2， 23 1 021故所求的逆矩陣M. 10 3?(2)設曲線C上任意一點P(x，y)，它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P(x，y)， ?axx，?a 0?x?x?則? ?，即?byy.?0 b?y?y? 又點P(x，y)在曲線C上，所以 則x24y1. 2a2x24by1為曲線C的方程 2222又已知曲線C的方程為xy1， 2?a4，?a2，故?2又a>0，b>0，所以?b1.?b1. 題型三 求矩陣的特征值與特征向量 ?1 1?例3 已知矩陣A?3) ?，其中aR，若點P(1,1)在矩陣A的變換下得到點P(0，?a 1? (1)求實數(shù)a的值； (2)求矩陣A的特征值及特征向量 破題切入點 (1)注意特征值與特征向量的求法及特征向量的幾何意義：從幾何上看，特征向 - 2 - 量的方向經(jīng)過變換矩陣M的作用后，保持在同一條直線上，這時特征向量或者方向不變(>0)，或者方向相反(<0)特別地，當0時，特征向量就被變成了零向量 ?a b?(2)計算矩陣M?的特征向量的步驟如下： ?c d? ?a b?2由矩陣M得到特征多項式f()?求特征多項式的根，即求(ad)?；?c d? ?a?xby0(adbc)0的根；將特征多項式的根(特征值)代入特征方程?，求?cx?d?y0 解得非零解對應的向量，即是矩陣M對應的特征向量 ?1 1?1? 0?解 (1)由題意得?， ?a 1?1?3? 所以a13，所以a4. ? 1 1?(2)由(1)知A?， ?4 1? ?1 1?2令f()?(1)40. ? 4 1? 解得A的特征值為1或3. ?2xy0?1?當1時，由?得矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量為?； ?4x2y0?2? ?2xy0當3時，由?4x2y0 ? 1?得矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為?. ?2? 總結提高 (1)在解決通過矩陣進行平面曲線的變換問題時，變換矩陣可以通過待定系數(shù)法解決，在變換時一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆 (2)對于二階矩陣，要能夠熟練地根據(jù)常見的幾種變換的坐標形式和矩陣形式相互轉化的規(guī)則，直接指明對應的變換 (3)對于常見的變換，要能夠根據(jù)前后的圖形中的點的坐標變換規(guī)律準確寫出變換矩陣 (4)對于二階矩陣A而言，至多有兩個特征值，將特征值代入A，即可求得對應的特征向量. (5)關于特征值與特征向量的討論與矩陣變換性質、矩陣的乘積、行列式以及線性方程組的解等有密切的聯(lián)系，或說是所學知識的一個綜合運用 1求將曲線yx繞原點逆時針旋轉90°后所得的曲線方程 解 由題意得旋轉變換矩陣 ?cos 90° sin 90°?0 1?M?， ?sin 90° cos 90°?1 0? - 3 - 2 設P(x0，y0)為曲線yx上任意一點，變換后變?yōu)榱硪稽c(x，y)， ?x?0 1?x0?則?， ?y?1 0?y0? ?xy0，?y0x，即?所以? ?yx，xy.00?2 又因為點P在曲線yx上，所以y0x0， 故(x)y，即yx為所求的曲線方程 2在直角坐標系中，已知ABC的頂點坐標為A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求ABC在矩陣MN ?0 1?0 1?作用下變換所得到的圖形的面積，其中M?，N?. ?1 0?1 0? ?0 1?解 由在矩陣線性變換下的幾何意義可知，在矩陣N?作用下，一個圖形變換為其繞?1 0? ?0 1?原點逆時針旋轉90°得到的圖形；在矩陣M?作用下，一個圖形變換為與之關于直線y?1 0? x對稱的圖形，因此，ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與ABC全等，從而其面積等于ABC的面積，即為1. 2222 ?1 3(20132福建)已知直線l：axy1在矩陣A?0 by1. (1)求實數(shù)a，b的值； 2?對應的變換作用下變?yōu)橹本€l：x1? (2)若點P(x0，y0)在直線l上，且A?，求點P的坐標 解 (1)設直線l：axy1上任意點M(x，y)在矩陣A對應的變換作用下的像是M(x，y) ?xx2y，?x?1 2?x?x2y?由? ?，得?yy.?y?0 1?y? y?x0?x0?y0?y0? 又點M(x，y)在l上， 所以xby1，即x(b2)y1， ?a1，?a1，依題意得?解得? ?b21，b1.? ?x0x02y0，?x0?x0?(2)由A?，得?y0y0，?y0?y0? 解得y00. 又點P(x0，y0)在直線l上，所以x01. 故點P的坐標為(1,0) 4已知在二階矩陣M對應變換的作用下，四邊形ABCD變成四邊形ABCD，其中A(1,1)，B(1,1)，C(1，1)，A(3，3)，B(1,1)，D(1，1) - 4 - (1)求出矩陣M； (2)確定點D及點C的坐標 ?a b?解 (1)設M?， ?c d? ?a b?1? 3?a b?1?1?則有?，?， ?c d?1?3?c d? 1?1? ab3，?cd3，故?ab1，?cd1， a1，?b2， 解得?c2，?d1， ? 1 ?2 ? 1 (2)由?2 M? 2?. 1? 2?1?3?， 1?1? 3? 知C(3,3)， 12 33?1? 1?由?， 21?1?1? 33?知D(1，1) ?2 1?5設A?，問A是否可逆？如果可逆，求其逆矩陣 ?4 2? ?2 1?x y?解 設A?是可逆的，其逆矩陣B?，那么應該有BAABE， ?4 2?u v? ?x y?2 1?1 0?即? ?， ?u v?4 2?0 1? ?2 1?x y?1 0? ?. ?4 2?u v?0 1? 2x4y1， ?x2y0， 由得?2u4v0， ?u2v1. 3331得(232431)y1， 即0y1，這說明上面的方程組無解從而，不存在矩陣B使得BAABE，所以，矩陣A?2 1?不可逆 ?4 2? ?1 0?1 2?16(20132江蘇)已知矩陣A?，B?，求矩陣AB. ? 0 2?0 6? ?a b?1解 設矩陣A的逆矩陣A?， ?c d? - 5 - ?1 0?a b?1 0?則?， ? 0 2?c d?0 1? ?a b?1 0?即? ? 2c 2d?0 1? 1故a1，b0，c0，d， 2 ?1 0? 從而A的逆矩陣A?1， ? 0 12? ?1 1所以AB? 0 ? ?1 2?. ? 0 3?1 2? 1?0 6?2?0? 7在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)設k為非零實數(shù)，矩陣 k 0?0 1?M?，N?B、C在矩陣MN對應的變換下得到的點分別為A1、B1、C1，A1B1C1?0 1?1 0?，點A、 的面積是ABC的面積的2倍，求k的值 解 由題設得 k 0?0 1?0 k?MN?0 1?1 0?1 0?. 0 k?0?0?由?1 0?0?0?， ?0 k?2?0?， ?1 0?0?2? ?0 k?2?k?， ?1 0?1?2? 可知A1(0,0)，B1(0，2)，C1(k，2) 計算得ABC的面積是1，A1B1C1的面積是|k|，由題設知|k|2312， 所以k的值為2或2. ? 1 2?5?8給定矩陣A?，B?. ?1 4?3? (1)求A的特征值1，2及對應的特征向量1，2； (2)求AB. 解 (1)設A的一個特征值為， ?1 2?由題意知?0，(2)(3)0，12，23， ? 1 4? ? 1 2?x?x?當12時，由?2?， ?1 4?y?y? ?2?得A的屬于特征值2的特征向量為1?， ?1?4 - 6 - ? 1 當23時，由?1 ?x?3?， 4?y?y?2?x? 得A的屬于特征值3的特征向量為 ?1?2?. ?1? ?5?2?1?(2)由于B?2? ?3?1?1? 212， 故ABA(212) 2(21)(32)321812 ?64?81?145?. ?32?81?113?4444 ?1?9已知二階矩陣M有特征值8及對應的一個特征向量e1?，并且矩陣M對應的變換將?1? 點(1,2)變換成(2,4) (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個特征值，及對應的一個特征向量e2的坐標之間的關系； (3)求直線l：xy10在矩陣M的作用下的直線l的方程 ?a b?解 (1)設M?， ?c d? ?a b?1?1?8?則?8?， ?c d?1?1?8? ?ab8，故? ?cd8.? ?a ?c ?b?1?2?a2b2，?，故?d? 2? 4?c2d4. 聯(lián)立以上兩方程組解得a6，b2，c4，d4， ?6 2?故M?. ?4 4? (2)由(1)知，矩陣M的特征多項式為 ?6 2?2f()?(6)(4)81016，故其另一個特征值為2.? 4 4? ?x?6x2y?x?設矩陣M的另一個特征向量是e2?，則Me2?2?，解得2xy0. y4x4y?y? (3)設點(x，y)是直線l上的任一點，其在矩陣M的變換下對應的點的坐標為(x，y)， ?6 2?x?x?則?， ?4 4?y?y? 1113即xy，yx，代入直線l的方程后并化簡得xy20，即x4848 - 7 - y20. ?1 10已知曲線C：y2x，在矩陣M?0 20?0 1?C1在矩陣N?對應的變換作用下得到曲線C1，?2?1 0? 對應的變換作用下得到曲線C2，求曲線C2的方程 ?0 1?1 0?0 2?解 設ANM，則A?， ?1 0?0 2?1 0? 設P(x，y)是曲線C上任一點，在兩次變換下，在曲線C2上的對應的點為P(x，y)， ?x?0 2?x?2y?則?， ?y1 0y x? ?x2y，即?yx，? xy，?1y.?2? 2 又點P(x，y)在曲線C：y2x上， 1212)2y，即yx. 28 ?a 11設曲線2x2xyy1在矩陣A?b 220?(a>0)對應的變換作用下得到的曲線為xy1?22 1. (1)求實數(shù)a，b的值； (2)求A的逆矩陣 解 (1)設曲線2x2xyy1上任意點P(x，y)在矩陣A對應的變換作用下的像是P(x，222 y) ?x?a 由?y?b 0?x?xax，? ax?，得?1?y?bxy?ybxy. 222 2又點P(x，y)在xy1上，所以xy1， 即ax(bxy)1， 整理得(ab)x2bxyy1. 22?ab2，?a1，?依題意得解得?2b2，?b1，? ?a1，因為a>0，所以?b1.?2222222 0? ?a1，或?b1.? 0?1 0?1 0?1 2，A?1?1 1?1 1?2 ?1 0?221所以|A|1，(A)?. ?2 1? ? 1 3?1 2?12已知矩陣A?，B?. ?1 1?0 1?(2)由(1)知，A? ?1 ?1 ?. 1?- 8 - (1)求(AB)； (2)求直線2xy50在(AB)對應變換作用下的直線方程 ? 1 3?1 2? 1 1?解 (1)AB?， ?1 1?0 1?1 3? 又|AB|314， 31 441(AB). 11 4411?(2)設P(x0，y0)是直線2xy50上任一點，P(x，y)是在變換作用下點P的像， 31 44?x0?x0?x?1?則有?(AB)?. yy11?0?y0? 44?31xxy，?44?11yx?44.0000 ?x0xy， ?y0x3y. 代入直線方程2xy50，得2(xy)(x3y)50，即x5y50，即為所求的直線方程 - 9 -