2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 特色專題訓(xùn)練 專題03 直擊函數(shù)壓軸題中零點問題 理

專題03 直擊函數(shù)壓軸題中零點問題一、解答題1已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點，證明： .【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）依題可知，若在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點，由（1）可知，且，于是： ， 由得，設(shè)g(x)lnx，(x(0，1)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可（2）依題可知，若在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點，由（1）可知，且. 于是： 由得，設(shè)，則，因此在上單調(diào)遞減，又， 根據(jù)零點存在定理，故.點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,零點問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，零點存在性定理，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)的解題方法.2設(shè)函數(shù)f(x)x2bx1(bR)(1)當(dāng)b1時證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點；(2)若當(dāng)x1,2，不等式f(x)<1有解求實數(shù)b的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)性，再根據(jù)區(qū)間端點函數(shù)值異號，結(jié)合零點存在定理確定零點個數(shù)（2）先分離變量化為對應(yīng)函數(shù)最值問題： ，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值，即得實數(shù)b的取值范圍 (2)由題意可知x2bx1<1在區(qū)間1,2上有解，所以b<x在區(qū)間1,2上有解令g(x)x，可得g(x)在區(qū)間1,2上遞減，所以b<g(x)maxg(1)211 ，從而實數(shù)b的取值范圍為(，1)點睛：利用零點存在性定理不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點3已知函數(shù).（1）若，判斷函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知R且， ，求證：方程在區(qū)間上有實數(shù)根.【答案】見解析;見解析.【解析】試題分析：（1）利用判別式定二次函數(shù)的零點個數(shù)：（2）零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點個數(shù)問題，利用判別式處理即可；（3）方程在區(qū)間上有實數(shù)根，即有零點，結(jié)合零點存在定理可以證明. 試題解析：,當(dāng)時， ，函數(shù)有一個零點； 當(dāng)時， ，函數(shù)有兩個零點設(shè)，則 , 在區(qū)間上有實數(shù)根， 即方程在區(qū)間上有實數(shù)根. 點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解4已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為.(1)求的值;(2)若方程在內(nèi)有兩個不等實根,求的取值范圍(其中為自然對數(shù)的底).【答案】(1)a=2,b=1.(2) .【解析】試題分析：本題考查函數(shù)與方程，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出兩個方程，然后求解(2)先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h(x)=f(x)+m=2lnxx2+m的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性與極值點確定關(guān)系然后求解 (2)由（1）得f(x)=2lnxx2，令h(x)=f(x)+m=2lnxx2+m，則，令h'(x)=0，得x=1(x=1舍去)故當(dāng)x時，h'(x)0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，e時，h'(x)0，h(x)單調(diào)遞減方程h(x)=0在內(nèi)有兩個不等實根，解得實數(shù)的取值范圍為.點睛：根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值或范圍的方法（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)；（3）利用方程根的分布求解，轉(zhuǎn)化為不等式問題（4）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.5已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)， （I）若，函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若函數(shù)的值域為,求實數(shù)的取值范圍（II）若存在實數(shù),使得，且，求證： 【答案】（1）詳見解析實數(shù)的取值范圍是；（2）；試題解析：（1）當(dāng)時， .由得，由得.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.當(dāng)時， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞減，值域為,因為的值域為，所以，即. （2）.若時， ，此時在上單調(diào)遞增.由可得，與相矛盾，同樣不能有.不妨設(shè)，則有.因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時， .由，且，可得故.又在單調(diào)遞減，且，所以，所以，同理.即解得，所以.點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題.處理導(dǎo)數(shù)大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會.6已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求在上的值域；（2）試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）當(dāng)時， 只有一個零點；當(dāng)時， 有兩個零點（2）原方程等價于實根的個數(shù)，原命題也等價于在上的零點個數(shù)，討論， ， ，三種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象與零點存在定理可得結(jié)果.試題解析：（1）當(dāng)時， ，則，而在上恒成立，所以在上遞減， ，所以在上存在唯一的，使得，而且當(dāng)時， ， 遞增；當(dāng)時， 遞減；所以，當(dāng)時， 取極大值，也是最大值，即，所以， 在上的值域為.（I）若，則當(dāng)時， 恒成立，則沒有零點；當(dāng)時， ， ，又在上單調(diào)遞增的，所以有唯一的零點。（II）若，則當(dāng)時， 恒成立，則沒有零點；當(dāng)時， ， ，又在上單調(diào)遞增的，所以有唯一的零點（III）若，則當(dāng)時，由 ，則，則取，則，又，所以在有唯一的零點，當(dāng)時， ，又在上單調(diào)遞增的，所以有唯一的零點綜上所述，當(dāng)時， 只有一個零點；當(dāng)時， 有兩個零點7已知函數(shù)（1）若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍；（2）在（1）中， 取最小值時，設(shè)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明不等式： （且）.【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見解析.(2)由(1)可知， ，當(dāng)時， ， ， 在區(qū)間上恰有兩個零點，即關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根. 整理方程得， ，令， ， 令， ，則， ，于是， 在上單調(diào)遞增.因為，當(dāng)時， ，從而， 單調(diào)遞減，當(dāng)時， ，從而， 單調(diào)遞增， ， ， ，因為，所以實數(shù)的取值范圍是. (3)由(1)可知，當(dāng)時，有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.令，則有，其中 . 整理得： ， 當(dāng)時， ， ， ，上面?zhèn)€式子累加得： . 且，即.命題得證. 8已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在零點，求的范圍.【答案】（1）見解析；（2）的取值范圍是.解析：（1）定義域 故 則 若，則 在 上單調(diào)遞減；若，則 .（i） 當(dāng) 時，則 ，因此在 上恒有 ，即 在 上單調(diào)遞減；（ii）當(dāng)時， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. （ii）當(dāng)，考察函數(shù) ，由于 在 上必存在零點.設(shè)在 的第一個零點為，則當(dāng)時， ，故 在 上為減函數(shù)，又 ，所以當(dāng) 時， ，從而 在 上單調(diào)遞減，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令時，則有，由零點存在定理可知函數(shù) 在 上有零點，符合題意.點睛：導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的含參數(shù)的問題的討論，需要考慮下面的幾個方面：（1）把導(dǎo)函數(shù)充分變形，找出決定導(dǎo)數(shù)符號的核心代數(shù)式，討論其零點是否存在，零點是否在給定的范圍中；（2）零點不容易求得時，需要結(jié)合原函數(shù)的形式去討論，有時甚至需要把原函數(shù)放縮去討論，常見的放縮有等；（3）如果導(dǎo)數(shù)也比較復(fù)雜，可以進一步求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).9設(shè)函數(shù)， （）.（1）當(dāng)時，若函數(shù)與的圖象在處有相同的切線，求的值；（2）當(dāng)時，若對任意和任意，總存在不相等的正實數(shù)，使得，求的最小值；（3）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)與的圖象交于 兩點求證： .【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，又，解方程組可得的值；（2）先轉(zhuǎn)化條件為對應(yīng)方程有兩個不等實根，再根據(jù)實根分布充要條件列不等式組，解得的最小值；(3)先根據(jù)零點表示b，代入要證不等式化簡得.再構(gòu)造函數(shù)，以及，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即證得結(jié)論（2）當(dāng)時，則，又，設(shè)，則題意可轉(zhuǎn)化為方程在上有相異兩實根 即關(guān)于的方程在上有相異兩實根所以，得，所以對恒成立 因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又，所以的取值范圍是，所以故的最小值為. （3）當(dāng)時，因為函數(shù)與的圖象交于兩點，所以，兩式相減，得. 要證明，即證，即證，即證. 令，則，此時即證令，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增又，所以，即成立；再令，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，又，所以，即也成立綜上所述， 實數(shù)滿足.點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù). 10已知函數(shù).（）討論的單調(diào)性;（）當(dāng)函數(shù)有兩個不相等的零點時,證明: .【答案】(1)見解析(2)見解析試題解析：（）當(dāng)時， 在單調(diào)遞增；當(dāng)時， 在單調(diào)遞減； 在單調(diào)遞增；點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).11已知（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在及唯一正整數(shù)，使得，求的取值范圍【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是;(2) 的取值范圍是.【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過對導(dǎo)函數(shù)符號的討論可得函數(shù)的單調(diào)性（2）由題意得函數(shù)在上的值域為結(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，滿足的正整數(shù)解只有1個通過討論的單調(diào)性可得只需滿足，由此可得所求范圍（2）由（1）知當(dāng)時， 取得最小值，又，所以在上的值域為因為存在及唯一正整數(shù)，使得，所以滿足的正整數(shù)解只有1個因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，解得所以實數(shù)的取值范圍是點睛：本題中研究方程根的情況時，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲?、函數(shù)圖象的變化趨勢等，根據(jù)題目畫出函數(shù)圖象的草圖，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，使問題的解決有一個直觀的形象，然后在此基礎(chǔ)上再轉(zhuǎn)化為不等式（組）的問題，通過求解不等式可得到所求的參數(shù)的取值（或范圍）12設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在、滿足.求證： （其中為的導(dǎo)函數(shù)）【答案】（1）見解析（2）見解析試題解析：（1）由題知 .當(dāng)，此時函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)，此時函數(shù)在單調(diào)遞增.（2）因為，由（1）知不妨設(shè)，由得， 即， 所以. ， 總成立，原題得證.點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用13已知函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)時，若在上有零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（）見解析（）試題解析：解：（）函數(shù)的定義域為，.由得或.當(dāng)時， 在上恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，沒有單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時， 的變化情況如下表：所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時， 的變化情況如下表：所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.點睛：根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.14已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求實數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)，且，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增等價于在區(qū)間上恒成立，可得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減等價于在區(qū)間上恒成立，可得，綜合兩種情況可得結(jié)果；（2），由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，設(shè)該零點為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以只需在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點即可，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性討論的零點，從而可得結(jié)果（2）由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，設(shè)該零點為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點由（1）知，當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意；所以 15已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在零點，求的范圍.【答案】（1）見解析；（2）的取值范圍是.【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)可以得到，分三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號.（2）計算可以得到，其導(dǎo)數(shù)為，我們需要討論的符號，故需再構(gòu)建新函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，結(jié)合原函數(shù)的形式和的形式，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時恒成立；當(dāng)時， 在上有極小值點 ，結(jié)合可知 在上有零點；當(dāng)時， 恒成立，結(jié)合可知， 在上也是恒成立的，故而在上遞增恒成立.（i） 當(dāng) 時，則 ，因此在 上恒有 ，即 在 上單調(diào)遞減；（ii）當(dāng)時， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）設(shè) ,，設(shè)，則 . 先證明一個命題：當(dāng)時， .令， ，故在上是減函數(shù)，從而當(dāng)時， ，故命題成立.若 ,由 可知， .，故 ，對任意都成立，故 在上無零點，因此.（ii）當(dāng)，考察函數(shù) ，由于 在 上必存在零點.設(shè)在 的第一個零點為，則當(dāng)時， ，故 在 上為減函數(shù)，又 ，所以當(dāng) 時， ，從而 在 上單調(diào)遞減，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令時，則有，由零點存在定理可知函數(shù) 在 上有零點，符合題意. 點睛：導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的含參數(shù)的問題的討論，需要考慮下面的幾個方面：（1）把導(dǎo)函數(shù)充分變形，找出決定導(dǎo)數(shù)符號的核心代數(shù)式，討論其零點是否存在，零點是否在給定的范圍中；（2）零點不容易求得時，需要結(jié)合原函數(shù)的形式去討論，有時甚至需要把原函數(shù)放縮去討論，常見的放縮有等；（3）如果導(dǎo)數(shù)也比較復(fù)雜，可以進一步求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).16已知函數(shù)（且）（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，設(shè)，若有兩個相異零點，求證： .【答案】(1) 當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.(2)見解析.【解析】試題分析：（1）由知分， 兩種情況討論即得解；（2），設(shè)的兩個相異零點為，設(shè)，因為， ，所以， ，相減得，相加得.要證，即證，即，即，換元設(shè)上式轉(zhuǎn)化為.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)研究單調(diào)性即可得證.（2），設(shè)的兩個相異零點為，設(shè)， ， ， .要證，即證，即，即，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為.設(shè)，在上單調(diào)遞增，.點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了分類討論的思想，考查了不等式的證明，利用零點的式子進行變形，采用變量集中的方法構(gòu)造新函數(shù)即可證明，綜合性強屬于中檔題17設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2) 的取值范圍是.試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，則使的的取值范圍為， 故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根即，解得： 綜上所述， 的取值范圍是31